В математике Gaussian изопериметрическая неравенство , доказанное Борис Цирельсоном и Владимир Судаков , [1] , а затем самостоятельно Кристер Борелл , [2] утверждает , что среди всех наборов данной гауссовой меры в п - мерном евклидовом пространстве , полупространства есть минимальная гауссовская граничная мера .
Математическая формулировка
Позволять быть измеримым подмножеством наделен стандартной гауссовой мерой с плотностью . Обозначим через
ε-расширение A . Тогда изопериметрическое неравенство Гаусса утверждает, что
где
Доказательства и обобщения
Оригинальные доказательства по Судакам, Цирельсон и Бореллам были основаны на Пол Леви «s сферического изопериметрического неравенства .
Сергей Бобков доказал функциональное обобщение гауссовского изопериметрического неравенства из некоего «двухточечного аналитического неравенства». [3] Бакри и Леду дали другое доказательство функционального неравенства Бобкова, основанное на полугрупповой технике, которое работает в гораздо более абстрактной обстановке. [4] Позже Барт и Мори дали еще одно доказательство с использованием броуновского движения . [5]
Изопериметрическое неравенство Гаусса также следует из неравенства Эрхарда . [6] [7]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Судаков, В.Н. Цирельсон Б.С. (1978-01-01) [Перевод из Записок научных семинаров Ленинградского отделения математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, Vol. 41, с. 14–24, 1974]. «Экстремальные свойства полупространств для сферически инвариантных мер». Журнал советской математики . 9 (1): 9–18. DOI : 10.1007 / BF01086099 . ISSN 1573-8795 .
- ^ Борелл, Кристер (1975). "Неравенство Брунна-Минковского в пространстве Гаусса" . Inventiones Mathematicae . 30 (2): 207–216. DOI : 10.1007 / BF01425510 . ISSN 0020-9910 .
- ^ Бобков, С.Г. (1997). «Изопериметрическое неравенство на дискретном кубе и элементарное доказательство изопериметрического неравенства в пространстве Гаусса» . Летопись вероятности . 25 (1): 206–214. DOI : 10.1214 / AOP / 1024404285 . ISSN 0091-1798 .
- ^ Бакры, Д .; Леду, М. (1996-02-01). "Изопериметрическое неравенство Леви – Громова для бесконечномерного диффузионного генератора". Inventiones Mathematicae . 123 (2): 259–281. DOI : 10.1007 / s002220050026 . ISSN 1432-1297 .
- ^ Barthe, F .; Мори, Б. (2000-07-01). «Некоторые замечания по изопериметрии гауссовского типа» . Annales де l'Institut Анри Пуанкаре B . 36 (4): 419–434. DOI : 10.1016 / S0246-0203 (00) 00131-X . ISSN 0246-0203 .
- ^ Латала, Рафал (1996). «Заметка о неравенстве Эрхарда» . Studia Mathematica . 2 (118): 169–174. ISSN 0039-3223 .
- ^ Борелл, Кристер (15 ноября 2003 г.). «Неравенство Эрхарда». Comptes Rendus Mathématique . 337 (10): 663–666. DOI : 10.1016 / j.crma.2003.09.031 . ISSN 1631-073X .