Минковское содержание ( по имени Герман Минковского ), или граничная мера , из набора является основной концепцией , которая использует понятия из геометрии и мер теории обобщить понятие длины в виде плавной кривой в плоскости, а площадь гладкой поверхности в пространстве к произвольным измеримым множествам .
Обычно он применяется к фрактальным границам областей в евклидовом пространстве , но его также можно использовать в контексте общих пространств с метрической мерой.
Он связан с мерой Хаусдорфа , хотя и отличается от нее .
Определение
Для , и каждое целое m с, верхнее содержание Минковского m -мерного содержания равно
а m -мерное нижнее содержание Минковского определяется как
где - объем ( n - m ) -шара радиуса r и является -мерная мера Лебега .
Если верхнее и нижнее m- мерное содержание Минковского A равны, то их общее значение называется содержанием Минковского M m ( A ). [1] [2]
Характеристики
- Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, m- мерное содержание Минковского в R n не является мерой, если m = 0, и в этом случае это считающая мера . Действительно, очевидно, что содержание Минковского присваивает то же значение множеству A, а также его закрытию .
- Если является закрытыми м - спрямляемое множество в R п , учитывая , как образ ограниченного множества из R м под липшицевой функцией , то м - мерное содержание Минковского A существует и равен м - мерной мера Хаусдорфа из A . [3]
Смотрите также
Сноски
- ^ Федерер 1969 , стр. 273 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFFederer1969 ( справка )
- Перейти ↑ Krantz 1999 , p. 74
- ^ Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория меры . Springer. п. 275, теорема 3.2.39.
Рекомендации
- Федерер, Герберт (1969), геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
- Кранц, Стивен Дж .; Паркс, Гарольд Р. (1999), Геометрия областей в пространстве , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5, Руководство по ремонту 1730695.