Общий процесс продления

В математической теории вероятности , обобщенный процесс восстановления (GRP) или процесс G-обновление является процесс стохастический точка используется для модели отказа / ремонта поведения восстанавливаемых систем в надежности техники . Точечный процесс Пуассона - частный случай GRP.

Вероятностная модель [ править ]

Виртуальный век [ править ]

Кидзима и Сумита представили процесс G-обновления через понятие виртуального века ^[1] .

${\ displaystyle y_ {i} = qt_ {i}}$

где:

${\ displaystyle t_ {i}}$и - реальный и виртуальный возраст (соответственно) системы на момент / после i- ^го ремонта,${\ displaystyle y_ {i}}$

${\ displaystyle q}$является фактором восстановления (ака, ремонт фактор эффективности),

${\ displaystyle q = 0}$, представляет состояние безупречного ремонта, при котором возраст системы сбрасывается до нуля после ремонта. Это условие соответствует обычному процессу продления .

${\ displaystyle q = 1}$, представляет собой состояние минимального ремонта, при котором состояние системы после ремонта остается таким же, как и перед ремонтом. Это условие соответствует неоднородному пуассоновскому процессу .

${\ displaystyle 0 <q <1}$, представляет собой состояние общего ремонта, когда состояние системы находится между идеальным ремонтом и минимальным ремонтом. Это условие соответствует Общему процессу продления .

Каминский и Кривцов ^[2] расширили модели Киджимы, допустив q  > 1, так что ремонт повреждает (стареет) систему в большей степени, чем это было непосредственно перед соответствующим отказом.

Уравнение G-обновления [ править ]

Математически процесс G-обновления количественно оценивается путем решения уравнения G-обновления:

${\ Displaystyle W (t) = \ int _ {0} ^ {t} (g (\ tau \ mid 0) + \ int _ {0} ^ {\ tau} w (x) \ cdot (g (\ tau -x \ mid x) \, dx) \, d \ tau}$

где,

${\ Displaystyle г (\ тау \ середина х) = {\ гидроразрыва {(т + qx, \ theta)} {1-F (qx, \ theta)}}}$ ${\ Displaystyle т, х \ geq 0}$

${\ Displaystyle ш (х) = {\ гидроразрыва {dW (x)} {dx}}}$

f ( t ) - функция плотности вероятности (PDF) основного распределения времени отказа,

F ( t ) - кумулятивная функция распределения (CDF) основного распределения времени отказа,

q - коэффициент восстановления,

${\ displaystyle {\ theta}}$ - вектор параметров основного распределения времени отказа.

Закрытые формы решения уравнения G-обновления не представляется возможным. Кроме того, численные приближения трудно получить из-за повторяющегося бесконечного ряда. Монте - Карло на основе подход к решению G-обновление Equation была разработана Kaminiskiy и Кривцова ^{[2] [3]} .

Статистическая оценка [ править ]

Процесс G-восстановления приобрел практическую популярность в проектировании надежности только после того, как стали доступны методы оценки его параметров.

Подход Монте-Карло [ править ]

Оценка нелинейного LSQ процесса обновления G-была впервые предложена на Каминского & Кривцова ^[2] . Случайное время между прибытиями из параметризованного процесса G-Renewal определяется как:

${\ displaystyle X_ {i} = F ^ {- 1} (1-U_ {i} [1-F (qS_ {i-1})]) - qS_ {i-1}}$

где,

${\ displaystyle S_ {i-1}}$- совокупный реальный возраст до i- ^го прибытия,

${\ displaystyle U_ {i}}$ - равномерно распределенная случайная величина,

${\ displaystyle F}$- CDF основного распределения времени отказа.

Впоследствии решение Монте-Карло было улучшено ^[4] и реализовано в виде веб-ресурса ^[5] .

Подход максимального правдоподобия [ править ]

В максимальном правдоподобии процедура была впоследствии обсуждена Yañez, и др. др. ^[6] , а также Меттас и Чжао ^[7] . Оценка фактора восстановления G-обновления была подробно рассмотрена Kahle & Love ^[8] .

Метод регуляризации в оценке параметров GRP [ править ]

Оценка параметров процесса G-обновления является некорректно поставленной обратной задачей, и поэтому решение может быть не единственным и чувствительным к входным данным. Кривцов и Евкин ^{[9] [10]} предложили сначала оценить основные параметры распределения, используя только время до первых отказов. Затем полученные параметры используются в качестве начальных значений для второго шага, на котором все параметры модели (включая коэффициент (ы) восстановления) оцениваются одновременно. Такой подход позволяет, с одной стороны, избежать нерелевантных решений (неправильные локальные максимумы или минимумы целевой функции), а с другой стороны, повысить скорость вычислений, поскольку количество итераций существенно зависит от выбранных начальных значений.

Ссылки [ править ]