Число Дженокки

В математике , то число Genocchi G _п , названный в честь Анджело Джинокчи , являются последовательность из чисел , которые удовлетворяют соотношению

${\ displaystyle {\ frac {2t} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} G_ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n! }}}$

Первые несколько чисел Дженокки - 1, -1, 0, 1, 0, -3, 0, 17 (последовательность A036968 в OEIS ), см. OEIS :  A001469 .

Свойства [ править ]

• Определение производящей функции чисел Дженокки подразумевает, что они являются рациональными числами . Фактически, G _{2n + 1}  = 0 для n  ≥ 1 и (−1) ⁿ G _2n - нечетное положительное целое число.
• Числа Дженокки G _n связаны с числами Бернулли B _n формулой

${\ displaystyle G_ {n} = 2 \, (1-2 ^ {n}) \, B_ {n}.}$

Есть два случая для .${\ displaystyle G_ {n}}$

1.     из OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642${\ displaystyle B_ {1} = - 1/2}$

${\ displaystyle G_ {n_ {1}}}$= 1, -1, 0, 1, 0, -3 = OEIS :  A036968 , см. OEIS :  A224783

2.     из OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642${\ displaystyle B_ {1} = 1/2}$

${\ displaystyle G_ {n_ {2}}}$= -1, -1, 0, 1, 0, -3 = OEIS :  A226158 (n + 1) . Производящая функция: .${\ displaystyle {\ frac {-2} {1 + e ^ {- t}}}}$

OEIS :  A226158 - это автопоследовательность (последовательность, обратное биномиальное преобразование которой является последовательностью со знаком )первого типа (ее главная диагональ равна 0 = OEIS :  A000004 ). Автопоследовательность второго типа имеет главную диагональ, равную первой верхней диагонали, умноженной на 2. Пример: OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 .

- OEIS :  A226158 входит в семейство:

Строки соответственно OEIS :  A198631 (n) / OEIS :  A006519 (n + 1), - OEIS :  A226158 и OEIS :  A243868 .

Строка - это 0, за которым следует n (положительное значение), умноженное на предыдущую строку. Последовательности бывают поочередно второго и первого типа.

• Доказано, что −3 и 17 - единственные простые числа Дженокки.

Комбинаторные интерпретации [ править ]

Экспоненциальная производящая функция для подписанных четных чисел Genocchi (-1) ^п G _2n является

${\ displaystyle t \ tan \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) = \ sum _ {n \ geq 1} (- 1) ^ {n} G_ {2n} {\ frac {t ^ {2n}} {(2n)!}}}$

Они перечисляют следующие объекты:

• Перестановки в S _{2 n −1} со спусками после четных чисел и подъемами после нечетных.
• Перестановки π в S _{2 n −2} с 1 ≤  π (2 i −1) ≤ 2 n −2 i и 2 n −2 i  ≤  π (2 i ) ≤ 2 n −2.
• Пары ( a ₁ ,…, a _{n −1} ) и ( b ₁ ,…, b _{n −1} ) такие, что a _i и b _i находятся между 1 и i, и каждый k между 1 и n −1 встречается хотя бы один раз среди _я «ы и б _I » ы.
• Обратные чередующиеся перестановок ₁  <  ₂  >  ₃  <  ₄  > ...> _{2 п -1} [2 п -1] , чьи инверсии таблица имеет только четные записи.

См. Также [ править ]

• Число Эйлера

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Дженокки» . MathWorld .
• Ричард П. Стэнли (1999). Перечислительная комбинаторика , Том 2 , Упражнение 5.8. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-56069-1 
• Жерар Вьенно, Комбинации интерпретаций эйлерских имен и женокки , Seminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, том 11 (1981-1982)
• Серкан Араси, Мехмет Ацикгоз, Эрдоган Шен, Некоторые новые тождества чисел и многочленов Дженокки