Гипотеза Гилбрета

Гипотеза Гилбрета — это гипотеза теории чисел, касающаяся последовательностей, генерируемых путем применения оператора прямой разности к последовательным простым числам и оставления результатов без знака, а затем повторения этого процесса на последовательных элементах в результирующей последовательности и так далее. Утверждение названо в честь Нормана Л. Гилбрета , который в 1958 году представил его математическому сообществу после того, как случайно заметил закономерность, выполняя арифметические действия на салфетке. ^[1] Однако в 1878 году, за восемьдесят лет до открытия Гилбрета, Франсуа Прот опубликовал те же наблюдения вместе с попыткойдоказательство , которое позже оказалось ложным. ^[1]

Вычисление абсолютного значения разницы между термином n + 1 и термином n в этой последовательности дает последовательность

Если тот же самый расчет выполняется для терминов в этой новой последовательности и последовательности, которая является результатом этого процесса, и снова до бесконечности для каждой последовательности, которая является результатом такого вычисления, следующие пять последовательностей в этом списке

Гилбрет — а до него Франсуа Прот — заметили, что первый член в каждой серии разностей оказывается равным 1.

Формально сформулировать наблюдение Гилбрета значительно легче после разработки обозначений для последовательностей в предыдущем разделе. С этой целью обозначим упорядоченную последовательность простых чисел и определим каждый член последовательности как ${\ Displaystyle (р_ {п})}$ ${\ Displaystyle (д_ {п} ^ {1})}$

где положительный. Кроме того, для каждого целого числа , большего 1, пусть члены задаются формулой ${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle к}$ ${\ Displaystyle (д_ {п} ^ {к})}$