Глоссарий функционального анализа

Это глоссарий терминологии из математической области функционального анализа .

На протяжении всей статьи, если не указано иное, базовым полем векторного пространства является поле действительных или комплексных чисел. Алгебры не считаются унитальными.

A [ править ]

*

* -гомоморфизм между инволютивными банаховыми алгебрами - это гомоморфизм алгебр, сохраняющий *.

A [ править ]

абелевский

Синоним слова «коммутативный»; например, абелева банахова алгебра означает коммутативную банахову алгебру.

Алаоглу

Теорема Алаоглу утверждает, что замкнутый единичный шар в нормированном пространстве компактен в слабой топологии .

прилегающий

Сопряженный ограниченного линейного оператора между гильбертовых пространств является ограниченным линейным оператором таким образом, что для каждого .${\ displaystyle T: H_ {1} \ to H_ {2}}$${\ displaystyle T ^ {*}: от H_ {2} \ до H_ {1}}$${\ displaystyle \ langle Tx, y \ rangle = \ langle x, T ^ {*} y \ rangle}$${\ displaystyle x \ in H_ {1}, y \ in H_ {2}}$

приблизительная личность

В необязательно единичной банаховой алгебре приблизительная идентичность - это последовательность или сеть элементов, таких как для каждого x в алгебре.${\ Displaystyle \ {и_ {я} \}}$${\displaystyle u_{i}x\to x,xu_{i}\to x}$${\displaystyle i\to \infty }$

свойство аппроксимации

Говорят, что банахово пространство обладает свойством аппроксимации, если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга.

B [ править ]

Baire

Теорема Бэра о категории утверждает, что полное метрическое пространство является пространством Бэра; если - последовательность открытых плотных подмножеств, то плотно.${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \cap _{1}^{\infty }U_{i}}$

Банах

1. Банахово пространство - это нормированное векторное пространство, полное как метрическое пространство.

2. Банахова алгебра - это банахово пространство, имеющее структуру, возможно, неунитальную ассоциативную алгебру такую, что

${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}$для каждого в алгебре.${\displaystyle x,y}$

Два вектора x и y в линейном нормированном пространстве называются ортогональными по Биркгофу, если для всех скаляров λ. Если линейное нормированное пространство является гильбертовым пространством, то оно эквивалентно обычной ортогональности.${\displaystyle \|x+\lambda y\|\geq \|x\|}$

C [ править ]

Калкин

Алгебра Калкина в гильбертовом пространстве есть фактор алгебры всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве по идеалу , порожденный компактными операторами.

Неравенство Коши – Шварца

Неравенство Коши-Шварца утверждает: для каждой пары векторов в пространстве с внутренней продукции,${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}$.

1. Другое название « централизатора »; т.е. коммутант подмножества S алгебры - это алгебра элементов, коммутирующих с каждым элементом S, и обозначается через .${\displaystyle S'}$

2. Теорема фон Неймана о двойном коммутанте утверждает, что невырожденная * -алгебра операторов в гильбертовом пространстве является алгеброй фон Неймана; то есть .${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}''={\mathfrak {M}}}$

C * алгебра является инволютивно банахово алгебра , удовлетворяющая .${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

Учитывая представление банаховой алгебры , циклический вектор - это вектор , плотный в .${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi (A)v}$${\displaystyle V}$

D [ править ]

непосредственный

С философской точки зрения прямой интеграл - это непрерывный аналог прямой суммы.

F [ править ]

фактор

Фактором является алгебра фон Неймана с тривиальным центром.

верный

Линейный функционал на инволютивной алгебре является точным, если для каждого ненулевого элемента в алгебре.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (x^{*}x)\neq 0}$${\displaystyle x}$

Фреше

Пространство Фреша является топологическим векторным пространством, топология которого задается счетным семейством полунорма (что делает его метрическое пространство) и полно как метрическое пространство.

Фредхольм

Оператор Фредгольма является ограниченным оператором таким образом, что он имеет замкнутую область и ядро оператора и сопряженные имеет конечную-размерность.

G [ править ]

Гельфанд

1. Теорема Гельфанда – Мазура утверждает, что банахова алгебра, являющаяся телом, является полем комплексных чисел.

2. Представление Гельфанда коммутативной банаховой алгебры со спектром - это гомоморфизм алгебр , где обозначает алгебру непрерывных функций, равных нулю на бесконечности, которая задается формулой . Это * -сохраняющий изометрический изоморфизм, если является коммутативной C * -алгеброй.${\displaystyle A}$${\displaystyle \Omega (A)}$${\displaystyle F:A\to C_{0}(\Omega (A))}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)(\omega )=\omega (x)}$${\displaystyle A}$

Гротендик

Неравенство Гротендика .

H [ править ]

Хан-Банах

Теорема Хана – Банаха утверждает: для данного линейного функционала на подпространстве комплексного векторного пространства V , если модуль ограничен сверху полунормой на V , то он продолжается до линейного функционала на V, все еще ограниченного полунормой. Геометрически это обобщение теоремы об отделении гиперплоскостей .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

Гильберта

1. Гильбертово пространство - это внутреннее произведение, полное как метрическое пространство.

2. В теории Томиты – Такесаки (левая или правая) гильбертова алгебра - это некоторая алгебра с инволюцией.

Гильберта-Шмидта

1. Норма Гильберта – Шмидта ограниченного оператора в гильбертовом пространстве - это где - ортонормированный базис гильбертова пространства.${\displaystyle T}$${\displaystyle \sum _{i}\|Te_{i}\|^{2}}$${\displaystyle \{e_{i}\}}$

2. Оператор Гильберта – Шмидта - это ограниченный оператор с конечной нормой Гильберта – Шмидта.

Я [ править ]

индекс

1. Индекс оператора Фредгольма - целое число .${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle \operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T^{*}))-\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

2. Теорема Атьи – Зингера об индексе .

индексная группа

Индекс группа из унитальной банаховой алгебры является фактором - группой , где это единица группа А и компонента единицы группы.${\displaystyle G(A)/G_{0}(A)}$${\displaystyle G(A)}$${\displaystyle G_{0}(A)}$

внутренний продукт

1. Внутреннее произведение в вещественном или комплексном векторном пространстве - это функция , для каждого из которой (1) является линейным, а (2) черта означает комплексно сопряженное.${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v,w\in V}$${\displaystyle x\mapsto \langle x,v\rangle }$${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}}$

2. Внутреннее пространство продукта - это векторное пространство, снабженное внутренним продуктом.

инволюция

1. Инволюция банаховой алгебры A - это изометрический эндоморфизм, который сопряженно-линейен и такой, что .${\displaystyle A\to A,\,x\mapsto x^{*}}$${\displaystyle (xy)^{*}=(yx)^{*}}$

2. Инволютивная банахова алгебра - это банахова алгебра, снабженная инволюцией.

изометрия

Линейная изометрия между нормированными векторными пространствами является линейным отображением с сохранением нормой.

K [ править ]

Крейн – Мильман

Теорема Крейна – Мильмана утверждает: непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства имеет экстремальную точку.

L [ править ]

Локально выпуклая алгебра

Локально выпуклая алгебра является алгеброй, лежащего в основе векторного пространства является локально выпуклым пространством и чье умножение непрерывно по отношению к ЛВП топологии.

N [ править ]

невырожденный

Представление алгебры называется невырожденным, если для каждого вектора существует такой элемент , что .${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \pi (a)v\neq 0}$

некоммутативный

1. некоммутативное интегрирование

2.   некоммутативный тор

норма

1. Норма в векторном пространстве X - это вещественная функция, такая, что для каждого скаляра и векторов в (1) , (2) (треугольное неравенство) и (3), где равенство выполняется только для .${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|ax\|=|a|\|x\|}$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$${\displaystyle \|x\|\geq 0}$${\displaystyle x=0}$

2. Нормированное векторное пространство - это вещественное или комплексное векторное пространство, снабженное нормой . Это метрическое пространство с функцией расстояния .${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

ядерный

См. Ядерного оператора .

O [ править ]

один

Группа один параметра из унитальных банаховых алгебр А представляет собой непрерывный гомоморфизм групп из единичной группы A .${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

ортонормированный

1. Подмножество S гильбертова пространства ортонормировано, если для каждого u , v в наборе = 0, когда и когда .${\displaystyle \langle u,v\rangle }$${\displaystyle u\neq v}$${\displaystyle =1}$${\displaystyle u=v}$

2. Ортонормированный базис - это максимальное ортонормированное множество (примечание: это * не * обязательно базис векторного пространства.)

ортогональный

1. Учитывая гильбертово пространство Н и замкнутое подпространство М , то ортогональное дополнение в М есть замкнутое подпространство .${\displaystyle M^{\bot }=\{x\in H|\langle x,y\rangle =0,y\in M\}}$

2. В обозначениях выше ортогональный проектор на M - это (единственный) ограниченный оператор на H такой, что${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P,P^{*}=P,\operatorname {im} (P)=M,\operatorname {ker} (P)=M^{\bot }.}$

P [ править ]

Парсеваль

Тождество Парсеваля гласит: дан ортонормированный базис S в гильбертовом пространстве . ^[1]${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}}$

положительный

Линейный функционал на инволютивной банаховой алгебре называется положительным, если для каждого элемента алгебры.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (x^{*}x)\geq 0}$${\displaystyle x}$

Q [ править ]

квазитраса

Quasitrace .

R [ править ]

Радон

См. Радоновую меру .

Разложение Рисса

рефлексивный

Рефлексивное пространство является топологическим векторным пространством таким образом, что естественное отображение из векторного пространства ко второму (топологическому) двойного является изоморфизмом.

противовоспалительное средство

Резольвентное элемента х из унитальных банаховых алгебр является дополнением в спектра х .${\displaystyle \mathbb {C} }$

S [ править ]

самосопряженный

Самосопряженный оператор является ограниченным оператором, присоединенным сам.

отделяемый

Разъемное гильбертовы пространство гильбертово пространство , допускающее конечный или счетный ортонормированный базис.

спектр

1. Спектр элемента х из унитальной банаховой алгебры является множеством комплексных чисел таких , что не является обратимым.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x-\lambda }$

2. Спектр коммутативной банаховой алгебры - это множество всех характеров (гомоморфизм в ) на алгебре.${\displaystyle \mathbb {C} }$

спектральный

1. Спектральный радиус элемента x унитальной банаховой алгебры - это место, где sup находится над спектром x .${\textstyle \sup _{\lambda }|\lambda |}$

2. Спектральная теорема отображения состояния: если х является элементом унитальной банаховой алгебры и F является голоморфной функцией в окрестности спектра от х , то , где есть элемент алгебры банаховом , определенной с помощью интегральной формулы Коши .${\displaystyle \sigma (x)}$${\displaystyle f(\sigma (x))=\sigma (f(x))}$${\displaystyle f(x)}$

государственный

Состояние представляет собой положительный линейный функционал нормы одного.

Т [ править ]

тензорное произведение

См. Топологическое тензорное произведение . Обратите внимание, что определение или разработка правильного тензорного произведения топологических векторных пространств, включая банаховы пространства, все еще остается открытой проблемой.

топологический

Топологическое векторное пространство векторное пространство оснащено топологией такой , что (1) топология Хаусдорфа и (2) добавление , а также скалярное умножение непрерывны.${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$${\displaystyle (\lambda ,x)\mapsto \lambda x}$

U [ править ]

неограниченный оператор

Неограниченный оператор является частично определенным линейным оператором, как правило , ограниченным оператором на некотором плотном подпространстве.

принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности гласит: для заданного набора операторов между банаховыми пространствами, если sup над множеством для каждого x в банаховом пространстве, то .${\textstyle \sup _{T}|Tx|<\infty }$${\textstyle \sup _{T}\|T\|<\infty }$

унитарный

1. Унитарный оператор между гильбертовыми пространствами - это обратимый ограниченный линейный оператор, обратный к которому является сопряженным.

2. Два представления инволютивного банахов алгебра А на гильбертовых пространствах , называется унитарно эквивалентными , если существует унитарный оператор таким образом, что для каждого х в А .${\displaystyle (\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})}$${\displaystyle H_{1},H_{2}}$${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle \pi _{2}(x)U=U\pi _{1}(x)}$

W [ править ]

Вт *

AW * -алгебра - это C * -алгебра, которая допускает точное представление в гильбертовом пространстве такое, что образ представления является алгеброй фон Неймана.

Ссылки [ править ]

• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
• Бурбаки, Векторная топология Espaces.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• М. Такесаки, Теория операторных алгебр I , Springer, 2001 г., 2-е издание первого издания 1979 г.
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

Дальнейшее чтение [ править ]

• Записи лекций Энтони Вассерманна на http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/
• Лекционные заметки Якоба Лурье по алгебре фон Неймана на https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html