В математике , особенно в функциональном анализе , банахова алгебра , названная в честь Стефана Банаха , представляет собой ассоциативную алгебру A над действительными или комплексными числами (или над неархимедовым полным нормированным полем ), которая в то же время также является банаховым пространством , что есть нормированное пространство , полное в метрике, индуцированной нормой. Норма требуется для удовлетворения
Это гарантирует, что операция умножения будет непрерывной .
Банахова алгебра называется унитальной, если она имеет единичный элемент для умножения, норма которого равна 1, и коммутативной, если ее умножение коммутативно . Любая банахова алгебра (независимо от того, имеет ли она единичный элемент или нет) может быть изометрически вложена в унитальную банахову алгебру так, чтобы образовать замкнутый идеал алгебры . Часто априори предполагается, что рассматриваемая алгебра унитарна: поскольку большую часть теории можно развить, рассматриваяа затем применить результат в исходной алгебре. Однако это не всегда так. Например, нельзя определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества.
Теория реальных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.
Банаховы алгебры также могут быть определены над полями p -адических чисел . Это часть p -адического анализа .
Примеры [ править ]
Прототипным примером банаховой алгебры является пространство (комплекснозначных) непрерывных функций на локально компактном (хаусдорфовом) пространстве, обращающихся в нуль на бесконечности. унитален тогда и только тогда, когда X компактно. Комплексное сопряжение, будучи инволюцией, на самом деле является C * -алгеброй . В более общем смысле любая C * -алгебра является банаховой алгеброй.
- Множество действительных (или комплексных) чисел - это банахова алгебра с нормой, задаваемой модулем .
- Множество всех действительные или комплексные ˝n˝ матрицы с размерностью п матриц становится унитальной банахово алгеброй , если оснастить его суб-мультипликативного матричной нормой .
- Возьмем банахово пространство R n (или C n ) с нормой || х || = макс | х я | и определим умножение покомпонентно: ( x 1 , ..., x n ) ( y 1 , ..., y n ) = ( x 1 y 1 , ..., x n y n ).
- В кватернионах образуют 4-мерную вещественное банахово алгебры с нормой отдаются по абсолютной величине кватернионов.
- Алгебра всех ограниченных вещественно- или комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремум- нормой), является банаховой алгеброй с единицей.
- Алгебра всех ограниченных непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на некотором локально компактном пространстве (опять же с поточечными операциями и нормой супремума) является банаховой алгеброй.
- Алгебра всех непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве E (с функциональной композицией как умножение и операторной нормой как норма) является банаховой алгеброй с единицей. Множество всех компактных операторов на E является банаховой алгеброй и замкнутым идеалом. Он не имеет тождества, если dim E = ∞ . [1]
- Если G - локально компактная топологическая группа Хаусдорфа и μ - ее мера Хаара , то банахово пространство L 1 ( G ) всех μ -интегрируемых функций на G становится банаховой алгеброй относительно свертки xy ( g ) = ∫ x ( h ) y ( h −1 g ) d μ ( h ) для x , y в L 1 ( G ). [2]
- Равномерная алгебра : банахова алгебра, которая является подалгеброй комплексной алгебры C (X) с нормой супремума, содержит константы и разделяет точки X (которые должны быть компактным хаусдорфовым пространством).
- Естественная банахово алгебра функций : Однородная алгебра , у которых все символы оценка в точках X .
- C * -алгебра : банахова алгебра, которая является замкнутой * -подалгеброй алгебры ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
- Алгебра мер : банахова алгебра, состоящая из всех мер Радона на некоторой локально компактной группе , где произведение двух мер задается сверткой мер . [2]
Контрпримеры [ править ]
Алгебра кватернионов является реальной банаховой алгеброй, но это не комплексная алгебра (и, следовательно, не комплексная банахова алгебра) по той простой причине, что центр кватернионов - это действительные числа, которые не могут содержать копию комплексной числа.
Свойства [ править ]
Несколько элементарных функций , которые определены с помощью степенных рядов, могут быть определены в любой унитальной банаховой алгебре; примеры включают экспоненциальную функцию и тригонометрические функции , и в более общем случае любую целую функцию . (В частности, экспоненциальное отображение можно использовать для определения абстрактных индексных групп .) Формула для геометрического ряда остается верной в общих банаховых алгебрах с единицей. Бином теорема справедлива и для двух коммутирующих элементов алгебры Банаха.
Множество обратимых элементов в любой унитальной банаховой алгебре является открытым множеством , и операция обращения на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом), так что она образует топологическую группу при умножении. [3]
Если в банаховой алгебре есть единица 1 , то 1 не может быть коммутатором ; т.е. для любого х , у ∈ A . Это потому, что xy и yx имеют одинаковый спектр, за исключением, возможно, 0.
Различные алгебры функций, приведенные в приведенных выше примерах, обладают очень разными свойствами от стандартных примеров алгебр, таких как вещественные числа. Например:
- Каждая реальная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, - это комплексы. (Это известно как теорема Гельфанда – Мазура .)
- Каждый унитальная вещественное банахово алгебра, без делителей нуля , и в которой каждый главный идеал является закрыт , изоморфно реалов, комплексы или кватернионы. [4]
- Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей без делителей нуля изоморфна действительным или комплексным числам.
- Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
- Постоянно сингулярные элементы в банаховых алгебр являются топологическими делителями нуля , то есть , с учетом расширений В банаховых алгебр А некоторые элементы , которые являются особыми в данной алгебре А имеют мультипликативный обратный элемент в банаховом расширении алгебры B . Топологические делители нуля в А постоянно находятся в единственном числе любого банахов расширения B в A .
Спектральная теория [ править ]
Унитальные банаховы алгебры над комплексным полем обеспечивают общую основу для развития спектральной теории. Спектр элемента х ∈ A , обозначаемый , состоит из всех тех сложных скаляры Л , такие , что х - λ - не обратит в А . Спектр любого элемента x является замкнутым подмножеством замкнутого диска в C с радиусом || х || и центр 0, и поэтому компактный . Кроме того, спектр элемента х является непустым и удовлетворяет спектральный радиус формула:
При х ∈ , то голоморфное функциональное исчисление позволяет определить ƒ ( х ) ∈ A для любой функции ƒ голоморфная в окрестности того, спектрального картирования теорема:
- [5]
Когда банахова алгебра A является алгеброй L ( X ) ограниченных линейных операторов в комплексном банаховом пространстве X (например, алгебра квадратных матриц), понятие спектра в A совпадает с обычным в теории операторов . Для ƒ ∈ C ( X ) (с компактным хаусдорфовым пространством X ) видно, что:
Норма нормального элемента x C * -алгебры совпадает с его спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов.
Пусть A - комплексная банахова алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент x обратим (алгебра с делением). Для любого a ∈ A существует такое λ ∈ C , что a - λ 1 не обратима (поскольку спектр a не пуст), следовательно, a = λ 1 : эта алгебра A естественно изоморфна C (комплексный случай алгебры Теорема Гельфанда – Мазура).
Идеалы и персонажи [ править ]
Пусть А унитальная коммутативной банахово алгебра над C . Так как тогда коммутативное кольцо с единицей, каждый необратимый элемент A принадлежит некоторому максимальному идеалу из А . Поскольку максимальный идеал в A замкнут, является банаховой алгеброй, которая является полем, и из теоремы Гельфанда – Мазура следует, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов A и множеством ∆ ( A ) всех ненулевые гомоморфизмы от А до с . Множество Δ ( A ) называется " структурным пространством"или" пространство символов " A и его члены" символы ".
Характер χ является линейным функционалом на A, который в то же время является мультипликативным, χ ( ab ) = χ ( a ) χ ( b ), и удовлетворяет условию χ ( 1 ) = 1. Каждый характер автоматически непрерывен от A к C , так как ядро характера является максимальным идеалом, который замкнут. Более того, норма ( т. Е. Операторная норма) символа равна единице. Обладая топологией поточечной сходимости на A ( т. Е. Топологией, индуцированной слабой * топологией A ∗) пространство характеров ∆ ( A ) является хаусдорфовым компактным пространством.
Для любого х ∈ A ,
где это представление Гельфанда из й определяются следующим образом : является непрерывной функция от А ( A ) до C дается спектром в приведенной выше формуле, является спектр , как элемент алгебры С (Δ ( )) комплексным непрерывными функции на компакте Δ ( A ). Ясно,
- .
Как алгебра унитальная коммутативная банахова алгебра полупроста (т. Е. Ее радикал Джекобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда ее представление Гельфанда имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная C * -алгебра. Фактически, когда A - коммутативная унитальная C * -алгебра, тогда представление Гельфанда является изометрическим * -изоморфизмом между A и C (∆ ( A )). [а]
Банаховы * -алгебры [ править ]
Банахова * -алгебра A - это банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением *: A → A, которое обладает следующими свойствами:
- ( x *) * = x для всех x в A (так что карта является инволюцией ).
- ( Х + у ) * = х + у * для всех х , у в А .
- для любого λ из C и любого x из A ; здесь обозначает комплексно сопряженное к λ.
- ( Х ) * = у * х * для всех х , у в А .
Другими словами, банахова * -алгебра - это банахова алгебра, над которой также является * -алгеброй .
В большинстве природных примеров, один также , что инволюция изометрическая , то есть,
- || х * || = || х || для всех х в А .
Некоторые авторы включают это изометрическое свойство в определение банаховой * -алгебры.
См. Также [ править ]
- Примерная личность
- Гипотеза Капланского
- Операторная алгебра
- Шиловский рубеж
Примечания [ править ]
- ^ Доказательство: поскольку каждый элемент коммутативной C * -алгебры нормален, представление Гельфанда изометрично; в частности, он инъективен и его образ замкнут. Но образ представления Гельфанда плотен по теореме Стоуна – Вейерштрасса .
Ссылки [ править ]
- ^ Кануэй 1990 , пример VII.1.8.
- ^ a b Конвей 1990 , Пример VII.1.9.
- ^ Конвей 1990 , теорема VII.2.2.
- ↑ Гарсия, Мигель Кабрера; Паласиос, Анхель Родригес (1995). «Новое простое доказательство теоремы Гельфанда-Мазура-Капланского» . Труды Американского математического общества . 123 (9): 2663–2666. DOI : 10.2307 / 2160559 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Такесаки 1979 , предложение 2.8.
- Боллобаш, Б. (1990). Линейный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38729-9.
- Bonsall, FF ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
- Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
- Dales, HG; Aeina, P .; Eschmeier, J; Laursen, K .; Уиллис, Джорджия (2003). Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-53584-0.
- Мосак, RD (1975). Банаховы алгебры . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета). ISBN 0-226-54203-3.
- Такэсаки, М. (1979). Теория операторных алгебр I . Энциклопедия математических наук. 124 (1-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN 0938-0396 .