В функциональном анализе и смежных отраслей математики , то теорема Банаха-Алаоглу (также известный как теорема Алаоглу ) утверждает , что замкнутый единичный шар в сопряженном пространстве в виде нормированного векторного пространства является компактным в слабой * топологии . [1] Обычное доказательство идентифицирует единичный шар со слабой * топологией как замкнутое подмножество произведения компактов с топологией произведения . Как следствие теоремы Тихонова , это произведение, а следовательно, и единичный шар внутри, компактны.
Эта теорема имеет приложения в физике, когда описывается множество состояний алгебры наблюдаемых, а именно то, что любое состояние может быть записано как выпуклая линейная комбинация так называемых чистых состояний.
История
По словам Лоуренса Narici и Эдвард Бекенштейн, то Алаогл теоремы является «очень важным результатом - возможно самым важным факт о слабой * топологии - [что] отголоски по всему функциональному анализу.» [2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного сопряженного пространствасчетно слабо- * компактно. [3] В 1932 году Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого сепарабельного нормированного пространства секвенциально слабо- * компактен (Банах рассматривал только секвенциальную компактность ). [3] Доказательство для общего случая было опубликовано в 1940 году математиком Леонидасом Алаоглу . Согласно Pietsch [2007], есть по крайней мере 12 математиков, которые могут претендовать на эту теорему или на ее важного предшественника. [2]
Теорема Бурбаки – Алаоглу является обобщением [4] [5] исходной теоремы Бурбаки на двойственные топологии на локально выпуклых пространствах . Эта теорема также называется теоремой Банаха-Алаоглу или теоремой о слабой компактности, а обычно ее называют просто теоремой Алаоглу [2]
Заявление
Если векторное пространство над полем тогда будет обозначать алгебраическое двойственное пространство ки эти два пространства впредь ассоциируются с билинейным оценочным отображением определяется
где тройка образует дуальную систему, называемую канонической дуальной системой .
Если является топологическим векторным пространством (TVS), то его непрерывное сопряженное пространство обозначим через где всегда держит. Обозначим слабую * топологию на от и обозначим слабую * топологию на от Слабая * топология также называется топологией поточечной сходимости, поскольку дано отображениеи сеть карт сеть сходится к в этой топологии тогда и только тогда, когда для каждой точки в домене сеть ценностей сходится к значению
Теорема Алаоглу [3] - Для любого топологического векторного пространства (TVS)( не обязательно хаусдорфово или локально выпуклое ) с непрерывным сопряженным пространством полярная
любого района происхождения в компактен в слабой * топологии [примечание 1] на Более того, равен полюсу относительно канонической системы и это также компактное подмножество
Доказательство с использованием теории двойственности
Обозначим нижележащим полем от что либо действительные числа или комплексные числа В этом доказательстве будут использоваться некоторые из основных свойств, перечисленных в статьях: полярное множество , двойственная система и непрерывный линейный оператор .
Чтобы начать доказательство, напомним некоторые определения и легко проверяемые результаты. Когданаделен слабой * топологией то это хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство обозначается через Космос всегда полная ТВС ; тем не мение, может не быть полным пространством, поэтому это доказательство включает в себя пространство В частности, это доказательство будет использовать тот факт, что подмножество полного хаусдорфова пространства компактно, если (и только если) оно замкнуто и вполне ограничено . Важно отметить, что топология подпространств, которая наследуется от равно В этом легко убедиться, показав, что при любом сетка в сходится к в одной из этих топологий тогда и только тогда, когда она также сходится к в другой топологии (вывод следует из того, что две топологии равны тогда и только тогда, когда они имеют точно такие же сходящиеся сети).
Тройка это двойная пара, хотя в отличие откак правило, двойная система не гарантируется. На всем протяжении, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонического спаривания.
Позволять быть окрестностью начала координат в и разреши:
- быть полярником относительно канонического спаривания ;
- быть биполярным U {\ displaystyle U} относительно ;
- быть полярником относительно канонической дуальной системы
Хорошо известный факт о полярах множеств состоит в том, что
(1) Покажите, что это -замкнутое подмножество Позволять и предположим, что это сеть в что сходится к в Сделать вывод, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого Так как в скалярном поле и каждое значение принадлежит закрытому (в ) подмножество так же должен лимит этой сети принадлежат к этому набору. Таким образом
(2) Покажите, что а затем заключаем, что является замкнутым подмножеством обоих а также Включение выполняется, потому что каждый непрерывный линейный функционал (в частности) является линейным функционалом. Для обратного включения позволять чтобы что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом- линейный непрерывный функционал (т. е.) и другие по желанию. Используя (1) и тот факт, что пересечение замкнуто в топологии подпространств на претензия о быть закрытым следует.
(3) Покажите, что это - вполне ограниченное подмножествоПо биполярной теореме , где, потому что окрестности является поглощая подмножество из то же самое должно быть верно и для набора ; можно доказать, что отсюда следует, что это - ограниченное подмножество из Так как различает точку из подмножество является -ограничен тогда и только тогда, когда он - полностью ограничен . Так, в частности, это также -полностью ограничен.
(4) Сделайте вывод, что также -общенно ограниченное подмножество Напомним, что топология на идентична топологии подпространства, что наследуется от Этот факт вместе с (3) и определением «полностью ограниченного» влечет, что это -общенно ограниченное подмножество
(5) Наконец, выведите, что это -компактное подмножество Так как это полный TVS и является замкнутым (согласно (2)) и вполне ограниченным (согласно (4)) подмножеством следует, что компактный. ∎
Если является нормированным векторным пространством , то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в сопряженном пространстве. В частности, если - открытый (или закрытый) единичный шар в затем полярный замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве из (с обычной двойственной нормой ). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для:
- Теорема Банаха-Алаоглу : Если является нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве (наделенный своей обычной операторной нормой ) компактен относительно слабой * топологии .
Когда сплошное двойное пространство из является бесконечномерным нормированное пространство , то это невозможно для замкнутого единичного шара в быть компактным подмножеством, когда имеет обычную топологию нормы. Это потому, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (ср. Теорему Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности использования разных топологий в одном векторном пространстве.
Следует предупредить, что, несмотря на внешний вид, теорема Банаха – Алаоглу не означает, что слабая * топология локально компактна . Это связано с тем, что замкнутый единичный шар является только окрестностью начала координат в сильной топологии , но обычно не является окрестностью начала координат в слабой * топологии, поскольку он имеет пустую внутренность в слабой топологии, если только пространство не является конечномерный. Фактически, это результат Вейля, что все локально компактные хаусдорфовы топологические векторные пространства должны быть конечномерными.
Элементарное доказательство
Следующее доказательство включает только элементарные понятия из топологии, теории множеств и функционального анализа.
Обозначим нижележащим полем от что либо действительные числа или комплексные числа Для любого реального позволять
обозначим замкнутый шар радиуса в начале которое является компактным и замкнутым подмножеством
Так как является окрестностью начала координат в это также поглощающее подмножество из так что для каждого существует реальное число такой, что Позволять
обозначают полярную относительно канонической дуальной системы Как теперь показано, это полярное множество такой же, как полярный из относительно
Доказательство того, что Включение выполняется, потому что каждый непрерывный линейный функционал (в частности) является линейным функционалом. Для обратного включения позволять чтобы что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом- линейный непрерывный функционал (т. е.) и другие по желанию.
Остальная часть этого доказательства требует правильного понимания того, как декартово произведение определяется как пространство всех функций вида Теперь для заинтересованных читателей дается объяснение.
Премьера по идентификации функций с кортежами |
---|
Декартово произведение обычно рассматривается как совокупность всех -индексированные кортежи но, как теперь описано, его также можно отождествить с пространством всех функций, имеющих прототип
По этой причине многие авторы пишут, часто без комментариев, равенство и почему декартово произведение иногда принимают за определение множества отображений Однако, декартово произведение, являющийся (категориальный) продукт в категории из наборов (который является типом обратного предела ), а также оснащено связанными картами, которые известны как его (координаты) проекции . Каноническая проекция декартова произведения в любой момент это функция
где под указанным выше обозначением, отправляет функцию к На словах, за точку и функция "затыкание в "то же самое, что" затыкание " в ".
Набор предполагается, что наделен топологией продукта . Хорошо известно, что топология произведения идентична топологии поточечной сходимости . Это потому, что данои сеть где и каждый является элементом тогда сеть сходится в топологии продукта тогда и только тогда, когда
где а также Таким образом сходится к в топологии продукта тогда и только тогда, когда он сходится к точечно на В этом доказательстве также будет использоваться тот факт, что топология поточечной сходимости сохраняется при переходе к топологическим подпространствам . Это означает, например, что если для каждого - некоторое (топологическое) подпространство в то топология поточечной сходимости (или, что то же самое, топология произведения) на равна топологии подпространства, что множество наследуется от |
Установив, что [примечание 2], чтобы уменьшить беспорядок в символах, этостарое множество будем обозначать
если не делается попытка привлечь внимание к определению или же
Доказательство теоремы будет завершено после проверки следующих утверждений:
- является замкнутым подмножеством
- Здесь наделена топологией поточечной сходимости, идентичной топологии произведения .
- обозначает замкнутый шар радиуса сосредоточен на Для каждого был определен в начале этого доказательства как любой действительный это удовлетворяет (так, в частности, правильный выбор для каждого ).
Эти утверждения подразумевают, что является замкнутым подмножеством где это пространство произведения компактно по теореме Тихонова [примечание 3] (поскольку каждый замкнутый шаркомпактное пространство). Поскольку замкнутое подмножество компакта компактно, отсюда следует, что компактно, что является основным выводом теоремы Банаха – Алаоглу.
Доказательство (1) :
Алгебраическое двойственное пространство всегда является закрытым подмножеством (это доказывается в следующей лемме для читателей, которые не знакомы с этим результатом). Чтобы доказать, что закрыт в достаточно показать, что множество определяется
является замкнутым подмножеством потому что тогда является пересечением двух замкнутых подмножеств Позволять и предположим, что это сеть в что сходится к в Сделать вывод, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого (или, что то же самое, ). Так как в скалярном поле и каждое значение принадлежит закрытому (в ) подмножество так же должен лимит этой сети принадлежат к этому закрытому множеству. Таким образом что завершает доказательство (1).
В качестве дополнительного примечания, это доказательство можно обобщить, чтобы доказать следующий более общий результат, из которого вышеприведенный вывод следует как частный случай а также
- Предложение : Если любой набор и если это замкнутое подмножество топологического пространства тогда является замкнутым подмножеством по топологии поточечной сходимости.
Доказательство (2) :
Для любой позволять обозначим проекцию на -я координата (как определено выше). Чтобы доказать, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого Так исправь и разреши ; осталось показать, что Определяющее условие на было это откуда следует, что Так как линейный функционал удовлетворяет и другие подразумевает
Таким образом что показывает, что по желанию.
Приведенное выше элементарное доказательство фактически показывает, что если любое подмножество, удовлетворяющее (например, любое поглощающее подмножество из), тогда является слабым * компактным подмножеством
В качестве дополнительного примечания с помощью приведенного выше элементарного доказательства можно показать (см. Эту сноску) [примечание 4], что
где определяется для каждого с участием (как в доказательстве) и
По факту,
- а также
где обозначает пересечение всех множеств, принадлежащих
Это означает (среди прочего [примечание 5] ), чтоуникальный наименьший элемент из относительно ; это может быть использовано как альтернативное определение этого (обязательно выпуклого и сбалансированного ) множества. Функцияявляется Полунормом и не изменится , еслизаменяются выпуклой уравновешенной оболочкой из (так как ). Точно так же, потому что также не меняется, если заменяется закрытием в
Лемма - алгебраическое сопряженное пространство любого векторного пространства над полем (где является или же ) является замкнутым подмножеством в топологии поточечной сходимости. (Векторное пространство не нужно наделять какой-либо топологией).
Доказательство леммы |
---|
нетто в по определению является функцией из непустого направленного множества Каждая последовательность в которая по определению является просто функцией вида это тоже сеть. Как и в случае с последовательностями, стоимость сети по индексу обозначается ; однако для этого доказательства это значение может также обозначаться обычным обозначением функции в круглых скобках Аналогично для композиции функции , если - это любая функция, а затем сеть (или последовательность), возникающая в результате "подключения в "это просто функция хотя обычно это обозначается (или если является последовательностью). В этом доказательстве эта результирующая сеть может быть обозначена любым из следующих обозначений в зависимости от того, какая запись наиболее точна или наиболее четко передает предполагаемую информацию. В частности, если непрерывно и в тогда вывод обычно записывается как вместо этого можно записать как или же Начало доказательства : Позволять и предположим, что это сеть в сходится к в Если тогда будет обозначать чистая стоимость на Сделать вывод, что необходимо показать, что является линейным функционалом, поэтому пусть быть скаляром и пусть Топология на является топологией поточечной сходимости, поэтому, рассматривая точки а также сближение в следует, что каждая из следующих сетей скаляров сходится в
что доказывает, что Потому что также и ограничения в уникальны, отсюда следует, что по желанию.
что доказывает, что Потому что также следует, что по желанию. |
Следствие леммы - когда алгебраическое сопряженное пространство векторного пространства оснащен топологией поточечной сходимости (также известной как слабая * топология), то результирующее топологическое векторное пространство (TVS)является полной хаусдорфовой локально выпуклой ТВП.
Доказательство следствия |
---|
Поскольку основное поле является полным хаусдорфовым локально выпуклым TVS, то же самое верно и для декартова произведения Замкнутое подмножество полного пространства полно, поэтому по лемме пространство завершено. |
Последовательная теорема Банаха – Алаоглу.
Частным случаем теоремы Банаха – Алаоглу является секвенциальная версия теоремы, которая утверждает, что замкнутый единичный шар двойственного пространства сепарабельного нормированного векторного пространства секвенциально компактен в слабой * топологии. Фактически, слабая * топология на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству метризуема , а значит, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны.
В частности, пусть быть отделимым нормированным пространством и закрытый единичный шар в С отделимо, пусть - счетное плотное подмножество. Тогда следующее определяет метрику, где для любого
в котором обозначает пару двойственности с участием Последовательная компактность в этой метрике можно показать с помощью аргумента диагонализации, аналогичного тому, который использовался при доказательстве теоремы Арцела – Асколи .
Из-за конструктивного характера доказательства (в отличие от общего случая, основанного на выбранной аксиоме) последовательная теорема Банаха – Алаоглу часто используется в области дифференциальных уравнений в частных производных для построения решений PDE или вариационных задач. . Например, если кто-то хочет минимизировать функционал на двойственном сепарабельном нормированном векторном пространстве одна общая стратегия - сначала построить минимизирующую последовательность который приближается к нижнему пределу используйте последовательную теорему Банаха – Алаоглу, чтобы выделить подпоследовательность, которая сходится в слабой * топологии к пределу а затем установить, что минимизатор Последний шаг часто требует подчиняться (последовательному) свойству полунепрерывности снизу в слабой * топологии.
Когда - пространство конечных радоновских мер на вещественной прямой (так что является пространством непрерывных функций, исчезающих на бесконечности по теореме Рисса о представлении ), секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу эквивалентна селекционной теореме Хелли .
Для каждого позволять
а также
Потому что каждый компактное подмножество комплексной плоскости, также компактен в топологии произведения по теореме Тихонова .
Закрытый шар в единице можно идентифицировать как подмножество естественным образом:
Это отображение инъективно и непрерывно, с имеющий топологию weak- * и топология продукта. Инверсия этой карты, определенная на ее диапазоне, также является непрерывной.
Чтобы завершить доказательство этой теоремы, теперь будет показано, что диапазон приведенного выше отображения замкнут. Учитывая чистую
в функционал, определяемый
заключается в
Последствия
- Последствия для нормированных пространств
Предположить, что является нормированным пространством и наделяет его непрерывным двойственным пространствомс обычной двойственной нормой .
- Закрытый шар в единице слабо- * компактный. [3] Итак, еслибесконечномерно, то его замкнутый единичный шар обязательно не компактен в топологии нормы по теореме Ф. Рисса (несмотря на то, что он слабо- * компактен).
- Банахово пространство является рефлексивно тогда и только тогда , когда замкнутый единичный шар-компактный. [3]
- Если является рефлексивное банахово пространство , то каждая ограниченная последовательностьимеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха – Алаоглу к слабо метризуемому подпространству в; или, более кратко, применяя теорему Эберлейна – Шмулиана .) Например, предположим, что это пространство L п ( μ ) {\ Displaystyle L ^ {р} (\ му)}
, Позволять - ограниченная последовательность функций из Тогда существует подпоследовательность и такой, что
- Последствия для гильбертовых пространств
- В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертовы пространства рефлексивны ).
- Будучи замкнутыми по норме, выпуклые множества слабо замкнуты ( теорема Хана – Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
- Замкнутые и ограниченные множества в предкомпактны относительно слабой операторной топологии (слабая операторная топология слабее, чем сверхслабая топология, которая, в свою очередь, является слабой * топологией по отношению к предуальной топологиичто класс следов операторы). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие,обладает свойством Гейне – Бореля , если он снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией.
Отношение к аксиоме выбора
Поскольку теорема Банаха – Алаоглу обычно доказывается с помощью теоремы Тихонова , она опирается на аксиоматическую структуру ZFC и, в частности, на аксиому выбора . Большинство основных функций функционального анализа также опираются на ZFC. Однако теорема не опирается на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. Выше ): в этом случае фактически имеется конструктивное доказательство. В неотделимом случае лемма об ультрафильтре , которая строго слабее выбранной аксиомы, достаточна для доказательства теоремы Банаха-Алаоглу и фактически эквивалентна ей.
Смотрите также
- Теорема Бишопа – Фелпса
- Теорема Банаха – Мазура.
- Теорема дельта-компактности
- Теорема Эберлейна – Шмулиана - связывает три различных типа слабой компактности в банаховом пространстве.
- Теорема Голдстайна
- Теорема Джеймса
- Теорема Крейна-Мильмана
- Лемма Мазура - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
Заметки
- ^ Явно подмножество называется «компактным (соответственно вполне ограниченным и т. д.) в слабой топологии», если когда дана слабая * топология и подмножествозадана топология подпространства, унаследованная от тогда - компактное (соответственно вполне ограниченное и т. д.) пространство.
- ^ Если обозначает топологию, которая (изначально) наделен, то равенство показывает, что полярный из зависит только от (а также ) и что остальная часть топологии можно игнорировать. Чтобы пояснить, что имеется в виду, предположим есть ли топология TVS на такой, что набор является (также) окрестностью начала координат в Обозначим непрерывное двойственное пространство к от и обозначим полярную относительно от
- ^ Потому что каждыйтакже является хаусдорфовым пространством , вывод о том, чтокомпактно требует только так называемой «теоремы Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтрах и строго более слабая, чем выбранная аксиома .
- ^ Для любого непустого подмножества равенство выполняется (пересечение слева - это замкнутый, а не открытый диск - возможно, радиуса - потому что это пересечение замкнутых подмножеств и так сам должен быть закрыт). Для каждого позволять так что равенство предыдущего множества влечет Из следует, что а также тем самым делая наименьший элемент из относительно (На самом деле семья замкнуто относительно ( ненулевых ) произвольных пересечений, а также относительно конечных объединений хотя бы одного множества). Утверждение (2) приведенного выше элементарного доказательства показало, что а также не пустые и, более того, это даже показало, что имеет элемент это удовлетворяет для каждого откуда следует, что для каждого Включение немедленно, поэтому, чтобы доказать обратное включение, пусть По определению, если и только если так что давайте и осталось показать, что Из следует, что откуда следует, что по желанию.
- ^ Этот кортежэто наименьший элемент изотносительно естественного индуцированного поточечного частичного порядка, определяемого формулой если и только если для каждого Таким образом, каждое соседство происхождения в можно связать с этой единственной (минимальной) функцией Для любой если таково, что тогда так что, в частности, а также для каждого
Рекомендации
- ^ Рудин 1991 , теорема 3.15.
- ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , стр. 235-240.
- ^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 225-273.
- ^ Кёте 1969 , теорема (4) в п. 20.9.
- ^ Meise & Vogt 1997 , теорема 23.5.
- Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Нью-Йорк: Springer-Verlag. См. §20.9.
- Мейсе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9.См. Теорему 23.5, с. 264.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .См. Теорему 3.15, с. 68.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
дальнейшее чтение
- Джон Б. Конвей (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. См. Главу 5, раздел 3.
- Питер Б. Лакс (2002). Функциональный анализ . Wiley-Interscience. С. 120–121. ISBN 0-471-55604-1.