Глоссарий теории модулей

Теория модулей - это раздел математики, в котором изучаются модули . Это глоссарий некоторых терминов по данной теме.

См. Также: Словарь теории колец , Словарь теории представлений .

A [ править ]

алгебраически компактный

алгебраически компактный модуль (также называемый чисто инъективным модулем ) - это модуль, в котором все системы уравнений могут быть решены с помощью финитарных средств. В качестве альтернативы те модули, которые оставляют чисто точную последовательность точной после применения Hom.

аннигилятор

1. Аннулятором левого -модуля является множество . Это (слева) идеал в .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ textrm {Ann}} (M): = \ {r \ in R | rm = 0 \, \ forall m \ in M ​​\}}$${\ displaystyle R}$

2. Аннигилятор элемента - это множество .${\ displaystyle m \ in M}$${\ displaystyle {\ textrm {Ann}} (м): = \ {r \ in R | rm = 0 \}}$

Артиниан

Артинов модуль представляет собой модуль , в котором каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарным после того, как конечное число шагов.

связанный премьер

1. Ассоциированное простое число .

Адзумая

Теорема Адзумая утверждает, что два разложения на модули с локальными кольцами эндоморфизмов эквивалентны.

B [ править ]

сбалансированный

сбалансированный модуль

основа

Базис модуля - это такой набор элементов, в котором каждый элемент в модуле может быть уникальным образом выражен как конечная сумма элементов в базисе.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Бовиль – Ласло

Теорема Бовиля – Ласло

график

бимодуль

C [ править ]

персонаж

символьный модуль

последовательный

Когерентное модуль представляет собой конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули конечно представима .

полностью сводимый

Синоним « полупростой модуль ».

сочинение

Серия композиций Джордана Хёльдера

непрерывный

непрерывный модуль

циклический

Модуль называется циклическим модулем, если он порождается одним элементом.

D [ править ]

D

Д-модуль является модулем над кольцом дифференциальных операторов.

плотный

плотный подмодуль

прямая сумма

Прямая сумма модулей является модулем , который является прямой суммой базовой абелевой группы вместе с покомпонентным скалярным умножением.

двойной модуль

Двойственный модуль модуля M над коммутативным кольцом R - это модуль .${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, R)}$

Дринфельд

Модуль Дринфельда - это модуль над кольцом функций на алгебраической кривой с коэффициентами из конечного поля.

E [ править ]

Эйленберг-Мазур

Мошенничество Эйленберга-Мазура

элементарный

элементарный делитель

эндоморфизм

Кольцо эндоморфизмов .

существенный

Учитывая модуль M , существенный подмодуль N из M подмодуль , что каждый ненулевой подмодуль M пересекает нетривиально.

Ext функтор

Ext функтор .

расширение

Расширение скаляров использует гомоморфизм колец из R в S для преобразования R -модулей в S -модули.

F [ править ]

верный

Точный модуль является тот , где действие каждого ненулевого на нетривиалене (т.е. для некоторых ин ). Эквивалентно нулевой идеал.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle rx \ neq 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\displaystyle {\textrm {Ann}}(M)}$

конечный

Термин « конечный модуль » - это другое название конечно порожденного модуля .

конечная длина

Модуль конечной длины - это модуль, допускающий (конечный) композиционный ряд.

конечное представление

1. Конечное свободное представление модуля M - это точная последовательность, в которой - конечно порожденные свободные модули.${\displaystyle F_{1}\to F_{0}\to M}$${\displaystyle F_{i}}$

2. Конечно представленный модуль - это модуль, допускающий конечное свободное представление .

конечно порожденный

Модуль имеет конечное число образующих , если существует конечное число элементов в таким образом, что каждый элемент является конечной линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами из скалярного кольца .${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

примерка

идеальный вариант

пять

Пятая лемма .

плоский

Модуль называется плоским модулем , если тензорное произведение функтор является точным .${\displaystyle R}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -\otimes _{R}F}$

В частности, каждый проективный модуль плоский.

свободный

Свободный модуль является модулем , который имеет основу, или , что эквивалентно, который изоморфна прямой сумме копий скалярного кольца .${\displaystyle R}$

G [ править ]

Галуа

Модуль Галуа - это модуль над групповым кольцом группы Галуа.

H [ править ]

оцененный

Модуль над градуированным кольцом является градуированным модулем, если его можно выразить как прямую сумму и .${\displaystyle M}$${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i}}$${\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

гомоморфизм

Для двух левых -модулей гомоморфизм групп называется гомоморфизмом -модулей, если .${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle \phi :M_{1}\to M_{2}}$ R {\displaystyle R} ${\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\,\forall r\in R,m\in M_{1}}$

Hom

Функтор Hom .

Я [ править ]

неразложимый

Неразложимый модуль является ненулевой модуль , который не может быть записан в виде прямой суммы двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль неразложим (но не наоборот).

инъективный

1. -модуля называется инъективным модулем , если дан -модулей , и инъективны -модули , существуют -модули таких , что .${\displaystyle R}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g:X\to Q}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h:Y\to Q}$${\displaystyle f\circ h=g}$

Модуль Q инъективен, если диаграмма коммутирует

Следующие условия эквивалентны:

• Контравариантный функтор является точным .${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(-,I)}$
• ${\displaystyle I}$ является инъективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность разбивается.${\displaystyle 0\to I\to L\to L'\to 0}$

J [ править ]

Якобсон

теорема плотности

K [ править ]

Капланский

Теорема Капланского о проективном модуле утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Крулл – Шмидт

Теорема Крулля – Шмидта утверждает, что (1) модуль конечной длины допускает неразложимое разложение и (2) любые два его неразложимых разложения эквивалентны.

L [ править ]

длина

Длиной модуля является общей длиной любого состава серии модуля; длина бесконечна, если нет композиционного ряда. Длина над полем более известна как размер .

локализация

Локализация модуль преобразует R модулей S модулей, где S представляет собой локализацию из R .

M [ править ]

Теорема вложения Митчелла

Теорема вложения Митчелла

Mittag-Leffler

Условие Миттаг-Леффлера (ML)

модуль

1. Левый модуль над кольцом - это абелева группа с операцией (называемой скалярным умножением), удовлетворяющей следующему условию: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (M,+)}$${\displaystyle R\times M\to M}$

${\displaystyle \forall r,s\in R,m,n\in M}$,

1. ${\displaystyle r(m+n)=rm+rn}$
2. ${\displaystyle r(sm)=(rs)m}$
3. ${\displaystyle 1_{R}\,m=m}$

2. Правый модуль над кольцом - это абелева группа с операцией, удовлетворяющая следующему условию:${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (M,+)}$${\displaystyle M\times R\to M}$

${\displaystyle \forall r,s\in R,m,n\in M}$,

1. ${\displaystyle (m+n)r=mr+nr}$
2. ${\displaystyle (ms)r=r(sm)}$
3. ${\displaystyle m1_{R}=m}$

N [ править ]

Нётерян

Нетерово модуль является модулем таким образом, что каждый подмодуль конечно порожден. Точно так же каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.

нормальный

нормальные формы для матриц

P [ править ]

главный

Главным неразложимый модуль представляет собой циклический неразложимы проективный модуль.

начальный

Первичного подмодуль

проективный

Характеристическое свойство проективных модулей называется подъемом .

Модуль называется проективным модулем , если дан -модулей и сюръективны -модули , существует -модули таких , что .${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g:P\to M}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h:P\to N}$${\displaystyle f\circ h=g}$

Следующие условия эквивалентны:

• Ковариантный функтор является точным .${\displaystyle {\textrm {Hom}}_{R}(P,-)}$
• ${\displaystyle M}$ является проективным модулем.
• Каждая короткая точная последовательность разбивается.${\displaystyle 0\to L\to L'\to P\to 0}$
• ${\displaystyle M}$ является прямым слагаемым свободных модулей.

В частности, каждый свободный модуль проективен.

Q [ править ]

частное

Учитывая левый -модуль и подмодуль , фактор-группа может быть сделана левым -модулем с помощью for . Он называется факторным модулем или факторным модулем .${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M/N}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r(m+N)=rm+N}$${\displaystyle r\in R,\,m\in M}$

R [ править ]

радикальный

Радикал модуля является пересечением максимальных подмодулей. Для артиновых модулей наименьший подмодуль с полупростым фактором.

рациональный

рациональная каноническая форма

рефлексивный

Рефлексивный модуль представляет собой модуль , который изоморфен с помощью естественного отображения на его второй двойной.

разрешающая способность

разрешающая способность

ограничение

Ограничение скаляров использует гомоморфизм колец из R в S для преобразования S -модулей в R -модули.

S [ править ]

Шануэль

Лемма Шануэля

змея

Лемма о змее

цоколь

Цоколь является крупнейшим полупрост подмодуль.

полупростой

Полупростой модуль является прямой суммой простых модулей.

просто

Простой модуль представляет собой модуль ненулевого которого только Подмодули равен нуль и сам.

стабильно бесплатно

Стабильно свободный модуль

структурная теорема

Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов говорит , что конечно порожденные модули над PIDs конечные прямые суммы первичных циклических модулей.

подмодуль

Учитывая -модуль , аддитивная подгруппа из подмодуль , если .${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle RN\subset N}$

поддерживать

Поддержка модуля над коммутативным кольцом множество простых идеалов , на которых локализации модуля отличны от нуля.

Т [ править ]

тензор

Тензорное произведение модулей

Тор

Функтор Tor .

без кручения

Модуль без кручения .

U [ править ]

униформа

Равномерный модуль является модулем , в котором каждые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение.

Ссылки [ править ]

• Джон А. Бичи (1999). Вводные лекции по кольцам и модулям (1-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 0-521-64407-0.
• Голан, Джонатан С .; Хед, Том (1991), Модули и структура колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 147 , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-8555-0, Руководство по ремонту  1201818
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Серж Ланг (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-55540-9.
• Пассман, Дональд С. (1991), курс теории колец , серия Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-13776-2, Руководство по ремонту  1096302