Это глоссарий теории представлений в математике .
Термин «модуль» часто используется как синоним представления; терминологию теории модулей см. также в глоссарии теории модулей .
См. Также Глоссарий групп Ли и алгебр Ли , список тем теории представлений и Категория: Теория представлений .
Обозначения : Пишем. Так, например, однопредставление (т. Е. Характер) группы G имеет вид.
А
- Адамс
- Операции Адамса .
- прилегающий
- Присоединенное представление группы Ли G является представление задается присоединенным действием G на алгебре Ли группы G (присоединенная действие получается, грубо говоря, путем дифференцирования действие конъюгации.)
- допустимый
- Представление вещественной редуктивной группы называется допустимым, если (1) максимальная компактная подгруппа K действует как унитарные операторы и (2) каждое неприводимое представление K имеет конечную кратность.
- чередование
- Переменная квадратные из представления V является подпредставлением второй тензорной степени.
- Артин
- 1. Эмиль Артин .
- 2. Теорема Артина о индуцированных характерах утверждает, что характер на конечной группе является рациональной линейной комбинацией характеров, индуцированных из циклических подгрупп.
- 3. Репрезентация Артина используется в определении дирижера Артина .
- автоморфный
- автоморфное представление
B
- Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
- Над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики теорема Бореля – Вейля – Ботта реализует неприводимое представление редуктивной алгебраической группы как пространство глобальных сечений линейного расслоения на многообразии флагов. (В случае положительной характеристики конструкция дает только модули Вейля , которые не могут быть неприводимыми.)
- разветвление
- правило ветвления
- Брауэр
- Теорема Брауэра о индуцированных характерах утверждает, что характер на конечной группе является линейной комбинацией с целыми коэффициентами характеров, индуцированных из элементарных подгрупп.
C
- Теория Картана – Вейля.
- Другое название теории представлений полупростых алгебр Ли .
- Элемент Казимира
- Казимира элемент является отмеченным элементом центра универсальной обертывающей алгебры Ли.
- категория представительств
- Представления и эквивариантные отображения между ними образуют категорию представлений .
- персонаж
- 1. Персонаж - это одномерное представление.
- 2. Характером конечномерного представления π является функция . Другими словами, это композиция .
- 3. Неприводимый характер (соответственно тривиальный характер ) - это характер неприводимого представления (соответственно тривиального представления).
- 4. группа характеров группы G является группой всех символов на G ; а именно, .
- 5. Характер кольцо является кольцом группы (над целыми числами) от характера группы G .
- 6. Виртуальный персонаж - это элемент кольца персонажей.
- 7. Распределительный характер может быть определен для бесконечномерного представления.
- 8. Бесконечно малый символ .
- Chevalley
- 1. Шевалле
- 2. Генераторы Шевалле
- 3. Группа Шевалле .
- 4. Ограничительная теорема Шевалле .
- функция класса
- Функция класса f на группе G - это такая функция, что ; это функция на классах сопряженности.
- кластерная алгебра
- Кластер алгебра является областью целостности с некоторой комбинаторной структурой на генераторах, введенной в попытке систематизировать понятие двойного канонического базиса .
- сопряженный
- Коприсоединенный является двойственным представлением присоединенного представления.
- полный
- «Полностью приводимый» - это еще один термин, обозначающий «полупростой».
- сложный
- 1. Комплексное представление - это представление группы G в комплексном векторном пространстве. Многие авторы называют сложные представления просто представлениями.
- 2. Комплексно-сопряженныйкомплексного представления V - это представление с той же основной аддитивной группой V с линейным действием группы G, но с действием комплексного числа через комплексное сопряжение.
- 3. Комплексное представление самосопряжено, если оно изоморфно своему комплексно-сопряженному.
- дополнительный
- Дополнительным представлением к подпредставлению W представления V является представление W ' такое, что V является прямой суммой W и W ' .
- куспидальный
- куспидальное представление
- кристалл
- кристаллическая основа
- циклический
- Циклический G -модуль - это G -модуль, порожденный одним вектором. Например, неприводимое представление обязательно циклическое.
D
- Дедекинд
- Теорема Дедекинда о линейной независимости характеров .
- определяется по
- Учитывая расширение поля , представление V группы G над K называется определенным над F, если для некоторого представления над F такое, что индуцируется ; т.е. . Здесь, называется F -формой V (и не обязательно единственной).
- Демазюр
- Формула характера Демазюра
- прямая сумма
- Прямая сумма представлений V , W является представлением , что есть прямая сумма векторных пространств вместе с действием линейной группы .
- дискретный
- Неприводимое представление группы Ли G называется дискретным рядом, если все его матричные коэффициенты интегрируемы с квадратом. Например, если G компактна, то каждое ее неприводимое представление находится в дискретной серии.
- доминирующий
- Неприводимые представления односвязной компактной группы Ли индексируются по их старшему весу. Эти доминирующие веса образуют точки решетки в ортанте в решетке весов группы Ли.
- двойной
- 1. Двойственное представление (или контрагредиентное представление) представления V - это представление, которое является двойственным векторным пространством вместе с действием линейной группы, сохраняющим естественное спаривание
- 2. Двойственный канонический базис является двойственным по отношению к каноническому базису Люстига .
E
- Эйзенштейн
- Серия Эйзенштейна
- эквивариантный
- Термин « G -эквивариантный» - это еще один термин « G- линейный».
- внешний вид
- Внешняя сила представительского V является представлением с действием группы, индуцированным .
F
- верный
- Точное представление такое представление, что является инъективны как функция.
- волоконный функтор
- волоконный функтор .
- Взаимность Фробениуса
- Взаимность Фробениуса утверждает , что для каждого представления из Н и представления группы G существует биекция
- фундаментальный
- Фундаментальное представление : для неприводимых представлений односвязной компактной группы Ли существует набор фундаментальных весов , индексированных вершинами диаграммы Дынкина группы G, такой, что доминирующие веса являются просто неотрицательными целыми линейными комбинациями фундаментальных весов . Соответствующие неприводимые представления являются фундаментальными представлениями группы Ли. В частности, из разложения доминирующего веса в терминах фундаментальных весов можно взять соответствующее тензорное произведение фундаментальных представлений и извлечь одну копию неприводимого представления, соответствующую этому доминирующему весу. В случае специальной унитарной группы SU ( n ) n - 1 фундаментальное представление является произведением клина
грамм
- G -линейный
- G -линейная картамежду представлениями - линейное преобразование, которое коммутирует с G -действиями; т.е. для каждого г в G .
- G -модуль
- Другое название представительства. Это позволяет использовать теоретико-модульную терминологию: например, тривиальный G -модуль, G -подмодули и т. Д.
- G -эквивариантное векторное расслоение
- G -эквивариантных векторное расслоение является векторным расслоением на G -пространстве X вместе с G- действием на E (скажем справа) таким, что является корректно определенным линейным отображением.
- хорошо
- Хорошая фильтрация из представления редуктивной группы G является фильтрация таким образом, что факторы изоморфны где - линейные пучки на многообразии флагов .
ЧАС
- Хариш-Чандра
- 1. Хариш-Чандра (11 октября 1923 - 16 октября 1983), индийско-американский математик.
- 2. Теорема Хариш-Чандры Планшереля .
- самый высокий вес
- 1. Для комплексной полупростой алгебры Ли , Подалгебра Картана и выбор положительной камеры Вейля - наивысший вес представления это вес -весовой вектор v такой, что для каждого положительного корня ( v называется вектором старшего веса).
- 2. Теорема о состояниях старшего веса (1) два конечномерных неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый старший вес и (2) для каждого доминирующего интеграла , существует конечномерное неприводимое представление, имеющее как его наибольший вес.
- Hom
- Представление Homпредставлений V , W - это представление с групповым действием, полученное отождествлением в векторном пространстве .
я
- неразложимый
- Неразложимое представление является представлением, которое не является прямой суммой по крайней мере два собственных subrepresebtations.
- индукция
- 1. Учитывая представление подгруппы H группы G , то индуцированное представление
- 2. В зависимости от приложений на функции обычно накладываются дополнительные условия. ; например, если требуется, чтобы функции имели компактный носитель, то полученная индукция называется компактной индукцией .
- бесконечно
- Два допустимых представления вещественной редуктивной группы называются бесконечно эквивалентными, если их ассоциированные представления алгебры Ли на пространстве K -конечных векторов изоморфны.
- интегрируемый
- Представление алгебры Каца – Муди называется интегрируемым, если (1) оно является суммой весовых пространств и (2) образующими Шевалле являются локально нильпотентна .
- переплетение
- Термин « оператор переплетения » - это старое название G- линейной карты между представлениями.
- инволюция
- Представление инволюции - это представление C * -алгебры в гильбертовом пространстве, сохраняющее инволюцию.
- несводимый
- Неприводимые представления является представлением, единственным подпредставления равны нулю и сам. Термин «неприводимый» является синонимом слова «простой».
- изоморфизм
- Изоморфизм между представлениями группы G - это обратимое G -линейное отображение между представлениями.
- изотипический
- 1. Принимая во внимание представления V и простое представление W (subrepresebtation или иной способом ), то изотипический компонент из V типа W есть прямая сумма всех подпредставлений V , изоморфные Вт . Например, пусть A - кольцо, а G - группа, действующая на нем как автоморфизмы. Если является полупрост как G - модуль, то кольцо инвариантов- изотипическая компонента A тривиального типа.
- 2. Изотипическое разложение полупростого представления - это разложение на изотипические компоненты.
J
- Жаке
- Функтор Жаке
K
- Kac
- Формула символа Каца
- K-конечный
- Вектор v в пространстве представления группы K называется K -конечным, если охватывает конечномерное векторное пространство.
- Кириллов
- Формула характера Кириллова
L
- решетка
- 1. Решетка корней - это свободная абелева группа, порожденная корнями.
- 2. Решетка весов - это группа всех линейных функционалов на подалгебре Картана которые являются неотъемлемыми: целое число для каждого корня .
- Littlemann
- Модель пути Литтельмана
M
- Теорема Машке
- Теорема Машке утверждает , что конечномерное представление над полем F конечной группы G является полупростым представлением , если характеристика Р не делит порядок G .
- Теория Макки
- Макки теории можно считать инструментом для ответа на вопрос: учитывая представление W подгруппы H группы G , когда это индуцированное представление неприводимое представление группы G ? [1]
- Маасс – Сельберг
- Соотношения Маасса – Сельберга .
- матричный коэффициент
- Матрица коэффициентов из представления является линейной комбинацией функций на G вида для v в V и в двойном пространстве . Обратите внимание, что это понятие имеет смысл для любой группы: если G - топологическая группа и непрерывна, то матрица коэффициентов матрицы будет непрерывной функцией на G . Если G и алгебраические, это будет регулярная функция на G .
- модульный
- Теория модульных представлений .
- Мольен
- Учитывая конечномерное комплексное представление V конечной группы G , теорема Molien в говорит о том , что ряд , где обозначает пространство -инвариантных однородных многочленов на V степени n , совпадает с . Теорема верна и для редуктивной группы при замене интегрированием по максимальной компактной подгруппе.
О
- Осциллятор
- Представление осциллятора
- орбита
- метод орбит , подход к теории представлений, использующий инструменты симплектической геометрии
п
- Питер – Вейл
- Теорема Питера – Вейля утверждает, что линейная оболочка матричных коэффициентов на компактной группе G плотна в .
- перестановка
- Для группы G , G -множества X и V векторного пространства функций из X в фиксированное поле, представление перестановкигруппы G на V - это представление, заданное индуцированным действием G на V ; т.е. . Например, если X - конечное множество, а V рассматривается как векторное пространство с базисом, параметризованным X , то симметрическая группа переставляет элементы базиса, и его линейное расширение является в точности представлением перестановки.
- Plancherel
- Формула планшереля
- представление положительной энергии
- представление положительной энергии .
- примитивный
- Термин «примитивный элемент» (или вектор) - это старый термин для вектора борелевских весов.
- проективный
- Проективное представление группы G является гомоморфизмом . С , проективное представление - это в точности групповое действие группы G на как автоморфизмы.
- правильный
- Надлежащее подпредставление представлению V является subrepresentstion , что это не V .
Q
- частное
- Учитывая представление V и подпредставление , фактор-представление - это представление дано .
- кватернионный
- Кватернионно представление группы G представляет собой комплексное представление , снабженный G -инвариантных кватернионна структурой .
- колчан
- Колчан , по определению, представляет собой ориентированный граф. Но обычно изучают изображения колчана.
р
- рациональный
- Представление V является рациональным, если каждый вектор v в V содержится в некотором конечномерном подпредставлении (в зависимости от v .)
- настоящий
- 1. Реальное представление векторного пространства - это представление в вещественном векторном пространстве.
- 2. Настоящий персонаж - это персонаж. группы G такой, что для всех г в G . [2]
- обычный
- 1. Регулярное представление конечной группы G является индуцированное представление G на групповой алгебры над полем G .
- 2. Регулярное представление линейной алгебраической группы G является индуцированное представление на координатном кольце G . См. Также: представление на координатных кольцах .
- представление
- 1. Линейное представление группы G является группой гомоморфизмиз G в полную линейную группу. В зависимости от группы G гомоморфизм часто неявно требуется, чтобы он был морфизмом в категории, к которой принадлежит G ; например, если G - топологическая группа , то должен быть непрерывным. Прилагательное «линейный» часто опускается.Теорию представлений легко определить: это изучение способов, которыми данная группа может действовать в векторных пространствах. Однако среди таких четко очерченных предметов он почти наверняка уникален по широте своего интереса для математиков. Это неудивительно: групповые действия повсеместно распространены в математике 20-го века, и там, где объект, на который действует группа, не является векторным пространством, мы научились заменять его таким, каким является (например, группа когомологий, касательное пространство и т. .). Как следствие, многие математики, помимо специалистов в данной области (или даже те, кто думают, что могут захотеть им стать), вступают в контакт с предметом различными способами.
Фултон, Уильям; Харрис, Джо, Теория представлений: первый курс
- 2. Эквивалентно линейное представление - это групповое действие группы G на линейном векторном пространстве V : действие таким образом, что для каждого г в G , является линейным преобразованием.
- 3. Виртуальное представление - это элемент кольца Гротендика категории представлений.
- представитель
- Термин « репрезентативная функция » - это еще один термин для матричного коэффициента .
S
- Schur
- 1. Иссай Шур
- 2. Лемма Шура утверждает, что G- линейное отображение неприводимых представлений должно быть либо биективным, либо нулевым.
- 3. Отношения ортогональности Шура на компактной группе говорят, что характеры неизоморфных неприводимых представлений ортогональны друг другу.
- 4. Функтор Шура. строит представления, такие как симметричные полномочия или внешние полномочия в соответствии с разделом . Персонажи являются полиномами Шура .
- 5. Двойственность Шура – Вейля вычисляет неприводимые представления, встречающиеся в тензорных степенях -модули.
- 6. Многочлен Шура - это симметричная функция типа, встречающегося в формуле характера Вейля, применяемой к унитарным группам.
- 7. Индекс Шура .
- 8. Комплекс Шура .
- полупростой
- Полупрост представление (также называется вполне приводимым представлением) является прямой суммой простых представлений.
- просто
- Еще один термин для «неприводимого».
- гладкий
- 1. сглаживать представление о виде локально проконечной группы G является комплексным представлением таким образом , что для каждого V в V , существует некоторая компактная открытая подгруппа К из G , что исправления v ; т.е. для каждого г в K .
- 2. Гладкий вектор в пространстве представления группы Ли - это вектор v такой, что - гладкая функция.
- Шпехт
- Модуль Specht
- Steinberg
- Представление Стейнберга .
- субпредставительство
- Подпредставление из представления из G представляет собой векторное подпространство W из V такой , что хорошо определены для каждого г в G .
- Лебедь
- Представление Swan используется для определения проводника Swan .
- симметричный
- 1. Симметричная степень представления V - это представление с действием группы, индуцированным .
- 2. В частности, симметричный квадрат представления V является представлением с действием группы, индуцированным .
- система импримитивности
- Концепция теории Макки . См. Систему импримитивности .
Т
- Таннакианская двойственность
- Tannakian двойственность примерно мысль о том , что группа может быть выделена из всех своих представлений.
- закаленный
- сдержанное представление
- тензор
- Тензорное представление примерно представление получается из тензорных произведений (некоторых представлений).
- тензорное произведение
- Тензорное произведение представлений V , W является представление , что есть тензорное произведение векторных пространств вместе с действием линейной группы .
- банальный
- 1. тривиальное представление группы G является представлением π таким образом, что π ( г ) является единицей для каждого г в G .
- 2. Тривиальный характер группы G - это характер, тривиальный как представление.
U
- равномерно ограниченный
- Равномерно ограниченно представление локально компактной группы является представлением в алгебре ограниченных операторов, непрерывные в сильной операторной топологии , и это таким образом, что норма оператора данного каждой группы элементы равномерно ограничена.
- унитарный
- 1. унитарного представление группы G является представление π таким образом, что π ( г ) представляет собой унитарный оператор для каждого г в G .
- 2. Унитаризуемое представление - это представление, эквивалентное унитарному представлению.
V
- Модуль Верма
- Для комплексной полупростой алгебры Ли , подалгебра Картана и выбор положительной камеры Вейля - модуль Верма связанный с линейным функционалом является фактором обертывающей алгебры левым идеалом, порожденным для всех положительных корней также как и для всех . [3]
W
- масса
- 1. Термин «вес» - это еще одно название персонажа.
- 2. Весовое подпространство представления V веса подпространство это имеет положительное измерение.
- 3. Аналогично для линейного функционала комплексной алгебры Ли , это вес -модуль V, если имеет положительное измерение; ср. # наибольший вес .
- 4. весовая решетка
- 5. Доминирующий вес: вес \ лямбда является доминирующим, если для некоторых
- 6. фундаментальный доминантный вес:: дан набор простых корней. , это основа . является основой тоже; двойственная основа определяется , называется фундаментальными доминантными весами.
- 7. наибольший вес
- Weyl
- 1. Герман Вейль
- 2. Формула характера Вейля выражает характер неприводимого представления комплексной полупростой алгебры Ли через старшие веса.
- 3. Формула интегрирования Вейль говорит: дана компактная связная группа Ли G с максимальным тором Т , существует вещественная непрерывная функция у на Т такая , что для любой непрерывной функции F на G ,
- 4. Модуль Вейля .
- 5. Фильтрация Вейля - это фильтрация такого представления редуктивной группы, что факторы изоморфны модулям Вейля .
Y
- Молодой
- 1. Альфред Янг
- 2. Симметризатор Юнга - это G -линейный эндоморфизм тензорной степени G -модуля V, определенного по заданному разбиению . По определению функтор Шура представления V сопоставляет V образ .
Z
- нуль
- Нулевое представление является нульмерная представление. Примечание: в то время как нулевое представление является тривиальным представлением, тривиальное представление не обязательно должно быть нулем (поскольку «тривиальное» среднее G действует тривиально).
Заметки
- ^ https://www.dpmms.cam.ac.uk/~nd332/Mackey.pdf
- ^ Джеймс, Гордон Дуглас (2001). Представления и персонажи групп . Либек, Martin W . 1954- (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521003926. OCLC 52220683 .
- ^ От редакции : это определение дано в ( Humphreys 1972 , § 20.3.), А также ( Gaitsgory 2005 , § 1.2.) половина суммы положительных корней. и отличается от оригинала на
Рекомендации
- Адамс, JF (1969), Лекции по группам Ли , University of Chicago Press
- Теодор Брёкер и Таммо Том Дик, Представления компактных групп Ли , Тексты для выпускников по математике 98 , Springer-Verlag, Берлин, 1995.
- Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 335 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-31511- X , ISBN 978-3-540-31486-8, Руководство по ремонту 2234120
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Д. Гайцгори, Теория геометрических представлений, Math 267y, осень 2005 г.
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для выпускников по математике. 9 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
- Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN. 978-0-691-09089-4
- Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402 .
- Серр, Жан-Пьер (1977-09-01). Линейные представления конечных групп . Тексты для выпускников по математике , 42 . Нью-Йорк – Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Руководство по ремонту 0450380 . Zbl 0355.20006 .
- Н. Валлах , Действительные редуктивные группы, 2 тома, Academic Press, 1988,
дальнейшее чтение
- M. Duflo et M. Vergne, La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, в «Представлениях групп Ли»; Киото, Хиросима (1986), углубленные исследования чистой математики 14, 1988.
- Люстиг, G .: Квантовые деформации некоторых простых модулей над обертывающими алгебрами, Adv. Математика. 70 (1988), 237–249.
Внешние ссылки
- https://math.stanford.edu/~bump/