Словарь групп Ли и алгебр Ли

Это глоссарий по терминологии применяется в математических теориях групп Ли и алгебр Ли . По вопросам теории представлений групп Ли и алгебр Ли см. Глоссарий теории представлений . Из-за отсутствия других опций глоссарий также включает некоторые обобщения, такие как квантовая группа .

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

Обозначения :

В глоссарии обозначает внутренний продукт евклидова пространства E и обозначает масштабированный внутренний продукт.${\ Displaystyle (\ cdot, \ cdot)}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle \ beta, \ alpha \ rangle = {\ frac {(\ beta, \ alpha)} {(\ alpha, \ alpha)}} \, \ forall \ alpha, \ beta \ in E.}$

A [ править ]

абелевский

1. Абелева группа Ли - это группа Ли, которая является абелевой группой.

2. Абелева алгебра Ли - это такая алгебра Ли, что для каждого в алгебре.${\ Displaystyle [х, у] = 0}$${\ displaystyle x, y}$

прилегающий

1. Присоединенное представление группы Ли :

${\ displaystyle \ operatorname {Ad}: G \ to \ operatorname {GL} ({\ mathfrak {g}})}$

такой, что является дифференциалом в единичном элементе сопряжения .${\ displaystyle \ operatorname {Ad} (g)}$${\ displaystyle c_ {g}: от G \ до G, x \ mapsto gxg ^ {- 1}}$

Теорема Адо : любая конечномерная алгебра Ли изоморфна подалгебре в некотором конечномерном векторном пространстве V.${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{V}}$

B [ править ]

B

1.   (B, N) пара

Борель

1.   Арман Борель (1923–2003), швейцарский математик.

2. Подгруппа Бореля .

3. Подалгебра Бореля - это максимальная разрешимая подалгебра.

4.   Теорема Бореля-Ботта-Вейля.

Брюа

1.   Разложение Брюа.

C [ править ]

Картан

1.   Эли Картан (1869 - 1951), французский математик.

2. Подалгебра Картана алгебры Ли - это нильпотентная подалгебра, удовлетворяющая условиям .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}$

3.   Критерий Картана разрешимости . Алгебра Ли разрешима тогда и только тогда .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$

4.   Критерий Картана для полупростоты : (1) Если невырожден, то полупрост. (2) Если полупростое поле имеет характеристику 0, то невырождено.${\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )}$

5. Матрица Картана корневой системы - это матрица , где - набор простых корней .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle )_{i,j=1}^{n}}$${\displaystyle \Delta =\{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}\}}$${\displaystyle \Phi }$

6.   Подгруппа Картана

7.   Разложение Картана.

Казимир

Инвариант Казимира , выдающийся элемент универсальной обертывающей алгебры.

Коэффициенты Клебша – Гордана

Коэффициенты Клебша – Гордана

центр

2. Централизатор подмножества алгебры Ли есть .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle C_{\mathfrak {g}}(X):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,X]=\{0\}\}}$

центр

1. Центр группы Ли - это центр группы.

2. Центр алгебры Ли является централизатором самой себя: ${\displaystyle Z(L):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,{\mathfrak {g}}]=0\}}$

центральная серия

1. Нисходящая центральная серия (или нижняя центральная серия) - это последовательность идеалов алгебры Ли, определяемая формулой${\displaystyle L}$${\displaystyle C^{0}(L)=L,\,C^{1}(L)=[L,L],\,C^{n+1}(L)=[L,C^{n}(L)]}$

2. Восходящий центральный ряд (или верхний центральный ряд) - это последовательность идеалов алгебры Ли, определяемая (центром L),, где - естественный гомоморфизм${\displaystyle L}$${\displaystyle C_{0}(L)=\{0\},\,C_{1}(L)=Z(L)}$${\displaystyle C_{n+1}(L)=\pi _{n}^{-1}(Z(L/C_{n}(L)))}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle L\to L/C_{n}(L)}$

Chevalley

1.   Клод Шевалле (1909 - 1984), французский математик.

2. Базис Шевалле - это базис, построенный Клодом Шевалле с тем свойством, что все структурные константы являются целыми числами. Шевалле использовал эти базисы для построения аналогов групп Ли над конечными полями , названных группами Шевалле .

комплексная группа отражений

комплексная группа отражений

корут

корут

Coxeter

1.   HSM Coxeter (1907 - 2003), канадский геометр британского происхождения.

2.   Группа Кокстера

3.   Число Кокстера

D [ править ]

производная алгебра

1. Производная алгебра алгебры Ли есть . Это подалгебра (фактически идеал).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

2. Производная серия - это последовательность идеалов алгебры Ли, полученная многократным взятием производных алгебр; то есть .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},D^{n}{\mathfrak {g}}=D^{n-1}{\mathfrak {g}}}$

Дынкин

1. Евгений Борисович Дынкин (1924-2014), советский и американский математик.

2.  

Диаграммы Дынкина

Диаграммы Дынкина .

E [ править ]

расширение

Точная последовательность или называется алгеброй Ли расширением из пути .${\displaystyle 0\to {\mathfrak {g}}'\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}^{''}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{''}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$

экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение для группы Ли G с представляет собой карту , которая не обязательно является гомоморфизмом , но удовлетворяют некоторое универсальное свойство.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$

экспоненциальный

E6 , E7 , E7½ , E8 , En , исключительная алгебра Ли

F [ править ]

свободная алгебра Ли

F

F4

фундаментальный

Для « фундаментальной камеры Вейля » см. #Weyl .

G [ править ]

грамм

G2

обобщенный

1. Для « Обобщенной матрицы Картана » см. #Cartan .

2. Относительно « Обобщенной алгебры Каца – Муди » см. # Алгебра Каца – Муди .

3. Для " Обобщенного модуля Verma " см. #Verma .

H [ править ]

гомоморфизм

1. Гомоморфизм групп Ли - это гомоморфизм групп, который также является гладким отображением.

2. Гомоморфизм алгебр Ли - это линейное отображение, такое что${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}$${\displaystyle \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\,\forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Хариш-Чандра

1.   Хариш-Чандра (1923 - 1983), индейский американский математик и физик.

2.   Гомоморфизм Хариш-Чандры.

наибольший

1. Теорема о старшем весе , утверждающая, что старшие веса классифицируют неприводимые представления.

2.   наибольший вес

3.   модуль наибольшего веса

Я [ править ]

идеальный

Идеал алгебры Ли является подпространством таким образом, что в отличие от теории колец, нет различимости левого идеала и правого идеала.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.}$

индекс

Индекс алгебры Ли

инвариантный выпуклый конус

Инвариант выпуклого конус является выпуклым замкнутым конусом в алгебре Ли связной группы Ли, инвариантные относительно внутренних автоморфизмов.

Разложение Ивасавы

Разложение Ивасавы

J [ править ]

Личность Якоби

1.  

Карл Густав Джейкоб Якоби

Карл Густав Якоб Якоби (1804 - 1851), немецкий математик.

2. Учитывая бинарную операцию , в тождества Якоби состояний: [[ х , у ], г ] + [[ у , г ], х ] + [[ г , х ], у ] = 0.${\displaystyle [,]:V^{2}\to V}$

K [ править ]

Алгебра Каца – Муди

Алгебра Каца – Муди

Убийство

1.   Вильгельм Киллинг (1847-1923), немецкий математик.

2. Форма Киллинга на алгебре Ли - это симметричная ассоциативная билинейная форма, определяемая формулой .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \kappa (x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}\,x\,{\textrm {ad}}\,y)\ \forall x,y\in {\mathfrak {g}}}$

Кириллов

Формула характера Кириллова

L [ править ]

Langlands

Разложение Ленглендса

Лэнглендс двойной

Ложь

1.  

Софус Ли

Софус Ли (1842 - 1899), норвежский математик

2. Группа Ли - это группа, имеющая согласованную структуру гладкого многообразия.

3. алгебры Ли является векторным пространством над полем с бинарной операцией [·, ·] (называется скобка Ли или сокр. Кронштейн ), которая удовлетворяет следующие условия: ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall a,b\in F,x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$

1. ${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]}$( билинейность )
2. ${\displaystyle [x,x]=0}$( попеременно )
3. ${\displaystyle [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}$( Тождество Якоби )

N [ править ]

нильпотентный

1. Нильпотентная группа Ли .

2. Нильпотентная алгебра Ли - это алгебра Ли, нильпотентная как идеал; то есть, какая - то сила равна нулю: .${\displaystyle [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},\dots ,[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\dots ]]]=0}$

3. Нильпотентным элементом полупростой алгебры Ли ^[1] называется такой элемент x , что присоединенный эндоморфизм является нильпотентным эндоморфизмом.${\displaystyle ad_{x}}$

4. Нильпотентный конус

нормализатор

Нормализатор подпространства алгебры Ли равен .${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle N_{\mathfrak {g}}(K):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,K]\subseteq K\}}$

M [ править ]

максимальный

1. Относительно « максимальной компактной подгруппы » см. #Compact .

2. Относительно « максимального тора » см. #Torus .

P [ править ]

параболический

1.   Параболическая подгруппа .

2.   Параболическая подалгебра .

положительный

Для « положительного корня » см. #Positive .

Q [ править ]

квант

квантовая группа .

квантованный

квантованная обертывающая алгебра .

R [ править ]

радикальный

1. Радикал группы Ли .

2. Радикал алгебры Ли является наибольшим (т. Е. Единственным максимальным) разрешимым идеалом алгебры .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

настоящий

реальная форма .

редуктивный

1. Редуктивная группа .

2. Редуктивная алгебра Ли .

отражение

Группа отражений, группа , порожденная отражениями.

обычный

1. Регулярный элемент алгебры Ли .

2. Регулярный элемент по отношению к корневой системе.

Позвольте быть корневой системой. называется регулярным, если .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \gamma \in E}$${\displaystyle (\gamma ,\alpha )\neq 0\,\forall \gamma \in \Phi }$

Для каждого набора простых корней из , существует регулярный элемент таким образом, что , наоборот , для каждого регулярно существует единственный набор базовых корней таким образом, что предыдущее условие выполнено для . Это можно определить следующим образом: пусть . Вызов элемента из разложит , если где , то есть множество всех неразложимых элементов${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \gamma \in E}$${\displaystyle (\gamma ,\alpha )>0\,\forall \gamma \in \Delta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Delta (\gamma )}$${\displaystyle \Delta =\Delta (\gamma )}$${\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )=\{\alpha \in \Phi |(\alpha ,\gamma )>0\}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )}$${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$${\displaystyle \alpha ',\alpha ''\in \Phi ^{+}(\gamma )}$${\displaystyle \Delta (\gamma )}$${\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )}$

4. Положительный корень корневой системы относительно набора простых корней - это корень, который представляет собой линейную комбинацию элементов системы с неотрицательными коэффициентами.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$

5. Отрицательный корень корневой системы по отношению к набору простых корней - это корень, который представляет собой линейную комбинацию элементов с неположительными коэффициентами.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$

8. Обратная корневая система: данная корневая система . Определите , называется обратной корневой системой.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ^{v}={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$${\displaystyle \Phi ^{v}=\{\alpha ^{v}|\alpha \in \Phi \}}$

${\displaystyle \Phi ^{v}}$снова является корневой системой и имеет ту же группу Вейля, что и .${\displaystyle \Phi }$

S [ править ]

Серр

Теорема Серра утверждает, что для данной (конечной приведенной) корневой системы существует единственная (с точностью до выбора базы) полупростая алгебра Ли с корневой системой .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

просто

1. Простая группа Ли - это неабелева связная группа Ли, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп.

2. Простая алгебра Ли - это неабелева алгебра Ли, имеющая только два идеала: сама и .${\displaystyle \{0\}}$

3.   просто связанная группа (простая группа Ли просто связанная, если ее диаграмма Дынкина не имеет кратных ребер).

4.   простой рут . Подмножество корневой системы называется набором простых корней, если оно удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$

• ${\displaystyle \Delta }$является линейным базисом .${\displaystyle E}$
• Каждый элемент представляет собой линейную комбинацию элементов с коэффициентами, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$

Классические алгебры Ли :

Специальная линейная алгебра	${\displaystyle A_{l}\ (l\geq 1)}$	${\displaystyle l^{2}+2l}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(l+1,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(l+1,F)|Tr(x)=0\}}$( бесследные матрицы)
Ортогональная алгебра	${\displaystyle B_{l}\ (l\geq 1)}$	${\displaystyle 2l^{2}+l}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2l+1,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l+1,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{l}\\0&I_{l}&0\end{pmatrix}}\}}$
Симплектическая алгебра	${\displaystyle C_{l}\ (l\geq 2)}$	${\displaystyle 2l^{2}-l}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2l,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}0&I_{l}\\-I_{l}&0\end{pmatrix}}\}}$
Ортогональная алгебра	${\displaystyle D_{l}(l\geq 1)}$	${\displaystyle 2l^{2}+l}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2l,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}0&I_{l}\\I_{l}&0\end{pmatrix}}\}}$

Исключительные алгебры Ли :

2. Разрешимая алгебра Ли - это такая алгебра Ли , что для некоторых ; где обозначает производную алгебру .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D^{n}{\mathfrak {g}}=0}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Подпространство алгебры Ли называется подалгеброй алгебры, если оно замкнуто относительно скобки, т. Е.${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g'}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.}$

Т [ править ]

Сиськи

Конус сисек .

торал

1.   торальная алгебра Ли

2. максимальная торная подалгебра

U [ править ]

• Унитарный трюк

V [ править ]

• Модуль Верма

W [ править ]

4.   Группа Вейля : группа Вейля корневой системы - это (обязательно конечная) группа ортогональных линейных преобразований , порожденная отражениями через гиперплоскости, нормальные к корням системы${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Phi }$

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie , Éléments de Mathématique, Hermann
• Эрдманн, Карин и Вильдон, Марк. Введение в алгебры Ли , 1-е издание, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0 
• Хамфрис, Джеймс Э. Введение в алгебры Ли и теорию представлений , второе издание, исправленное. Тексты для выпускников по математике, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5 
• Джейкобсон, Натан , алгебры Ли , переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4 
• Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46693-8.
• Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402 . 
• Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые комплексы Альжебра де Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], переведенный Джонс, Г.А., Спрингер, ISBN 978-3-540-67827-4.
• Ж.-П. Серр, "Алгебры Ли и группы Ли", Бенджамин (1965) (пер. С французского)