В математике , в работе Adams , обозначаемый ψ к для натуральных чисел к , является когомологической операцией в топологических К-теории , или любой союзнической операции в алгебраических К-теории или других типах алгебраической конструкции, определенных на шаблоне , введенной Frank Adams . Основная идея состоит в том, чтобы реализовать некоторые фундаментальные тождества в теории симметричных функций на уровне векторных расслоений или другого представляющего объекта в более абстрактных теориях.
В более общем случае операции Адамса можно определить в любом λ-кольце над рациональными числами.
Операции Адамса в K-теории [ править ]
Операции Адамса ψ k теории K (алгебраические или топологические) характеризуются следующими свойствами.
- ψ k - гомоморфизмы колец .
- ψ k (l) = l k, если l - класс линейного расслоения .
- ψ к являются функториальна .
Основная идея состоит в том, что для векторного расслоения V на топологическом пространстве X существует аналогия между операторами Адамса и внешними степенями , в которых
- ψ k ( V ) соответствует Λ k ( V )
как
- в сумме мощности Е а к является к K -й элементарной симметрической функции σ к
корней α многочлена P ( t ). (См . Тождества Ньютона .) Здесь Λ k обозначает k -ю внешнюю степень. Из классической алгебры известно, что степенные суммы - это некоторые целые полиномы Q k от σ k . Идея состоит в том, чтобы применить те же многочлены к Λ k ( V ), взяв вместо σ k . Это вычисление может быть определено в K -группе, в которой векторные пучки могут быть формально объединены путем сложения, вычитания и умножения ( тензорное произведение ). Многочлены здесь называютсяНьютон полиномы (не, однако, Ньютон многочлены из интерполяционной теории).
Обоснование ожидаемых свойств происходит из случая линейного расслоения, где V - сумма Уитни линейных расслоений. В этом частном случае результатом любой операции Адамса является, естественно, векторное расслоение, а не линейная комбинация единиц в K -теории. Формальное рассмотрение прямых факторов линейного расслоения как корней является чем-то довольно стандартным в алгебраической топологии (см. Теорему Лере – Хирша ). В общем случае механизм сведения к этому случаю исходит из принципа расщепления векторных расслоений.
Операции Адамса в теории представлений групп [ править ]
Операция Адамса имеет простое выражение в теории представлений групп. [1] Пусть G - группа и р - представление группы G с характером χ. Представление ψ k (ρ) имеет характер
Ссылки [ править ]
- ^ Snaith, В. П. (1994). Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. 40 . Издательство Кембриджского университета . п. 108 . ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005 .
- Адамс, Дж. Ф. (май 1962 г.). «Векторные поля на сферах». Анналы математики . Вторая серия. 75 (3): 603–632. DOI : 10.2307 / 1970213 . Zbl 0112.38102 .