В математике операция когомология концепция стала центральной алгебраической топологии , в частности , теории гомотопий , с 1950 - х годов, в форме простого определения , что если F является функтором определения теории когомологий , то когомологическая операция должна быть естественное преобразование из F себе. Во всем было два основных момента:
- операции можно изучать комбинаторными средствами; а также
- эффект от операций состоит в том, чтобы получить интересную теорию бикоммутантов .
Происхождение этих исследований была работа Понтрягина, Постников и Стинрод , который первым определил квадрат Понтрягина , Постникова квадрат , и Стинрода квадратных операций для сингулярных когомологий , в случае мод 2 коэффициентов. Комбинаторный аспект здесь возникает как формулировка отказа естественного диагонального отображения на уровне коцепи . Общая теория алгебры операций Стинрода была приведена в тесную связь с теорией симметрической группы .
В последовательности Адамса спектральной бикоммутанте аспект подразумевается в использовании Ext функторов , в производных функторов из Хом-функторов; если есть бикоммутантный аспект, взятый над действующей алгеброй Стинрода, то это только на производном уровне. Сходим к группам в теории стабильной гомотопии , о которых трудно получить информацию. Эта связь установила глубокий интерес операций когомологий для теории гомотопий и с тех пор является темой исследований. Экстраординарная теория когомологий имеет свои собственные когомологические операции, и они могут демонстрировать более богатый набор на ограничениях.
Формальное определение
Когомологическая операция типа
является естественным преобразованием функторов
определены на комплексах CW .
Связь с пространствами Эйленберга – Маклейна.
Когомология CW комплексов представима с помощью пространства Эйленберга-Маклейна , так что с помощью Йонеды леммы операция когомология типазадается гомотопическим классом отображений. Используя представимость еще раз, операция когомологий задается элементом.
Символично, позволяя обозначим множество гомотопических классов отображений из к ,
Смотрите также
Рекомендации
- Мошер, Роберт Э .; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46664-4, MR 0226634
- Стинрод, NE (1962), Эпштейн, администратор баз данных (редактор), операции когомологии , Annals of Mathematics Studies, 50 , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07924-0, Руководство по ремонту 0145525