Артин дирижер

В математике , то артины проводник является числом или идеальным связан с характером группы Галуа в виде локальной или глобальной области , введенной Артин  ( 1930 , 1931 ) в качестве выражения , появляющегося в функциональном уравнении в качестве L-функции Артина .

Местные дирижеры Артина [ править ]

Предположим , что L есть конечное расширение Галуа локального поля K , с группой Галуа G . Если является символом G , то дирижером Артина является число${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle е (\ чи) = \ сумма _ {я \ geq 0} {\ гидроразрыва {г_ {я}} {г_ {0}}} (\ чи (1) - \ чи (G_ {я})) }$

где G _i - i -я группа ветвления (в нижней нумерации ) порядка g _i , а χ ( G _i ) - среднее значение на G _i . ^[1] По результату Артина локальный проводник является целым числом. ^{[2] [3]} Эвристически проводник Артина измеряет, насколько действие высших групп ветвления далеки от тривиальности. В частности, если х неразветвленный, то его артиновский проводник равен нулю. Таким образом, если L неразветвлена ​​над K , то проводники Артина всех х равны нулю.${\ displaystyle \ chi}$

Дикий инвариант ^[3] или лебедь проводник ^[4] из персонажа

${\ Displaystyle е (\ чи) - (\ чи (1) - \ чи (G_ {0})),}$

другими словами, сумма членов высшего порядка с i > 0.

Дирижеры Global Artin [ править ]

Глобальный артинов проводник из представления группы Галуа G конечного расширения L / K глобального полей является идеалом K , определяется как${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ chi) = \ prod _ {p} p ^ {f (\ chi, p)}}$

где произведение берется по простым числам p поля K , а f (χ, p ) - локальный проводник Артина ограничения на группу разложения некоторого простого числа поля L, лежащего над p . ^[2] Так как локальная артинов проводника равна нуль в неразветвленных простых числах, вышеуказанный продукт должен быть взят только над простыми числами , которые разветвляются в L / K .${\ displaystyle \ chi}$

Изображение Артина и персонаж Артина [ править ]

Предположим , что L есть конечное расширение Галуа локального поля K , с группой Галуа  G . Артинов характер _G из G является символом

${\ Displaystyle а_ {G} = \ сумма _ {\ чи} е (\ чи) \ чи}$

а представление Артина A _G - это комплексное линейное представление группы G с этим характером. Вейль (1946) просил о прямом построении представления Артина. Серр ( 1960 ) показал, что представление Артина может быть реализовано над локальным полем Q _l для любого простого числа l, не равного характеристике вычета p . Фонтейн (1971) показал, что это может быть реализовано над соответствующим кольцом векторов Витта. Это, вообще говоря, не может быть реализовано ни над рациональными числами, ни над локальным полем Q _p, предполагая, что не существует простого способа явно построить представление Артина. ^[5]

Изображение лебедя [ править ]

Символ Swan sw _G задается формулой

${\ displaystyle sw_ {G} = a_ {G} -r_ {G} +1}$

где r _g - характер регулярного представления, а 1 - характер тривиального представления. ^[6] Лебедь характер характер представления G . Свон  ( 1963 ) показал, что существует единственное проективное представление группы G над l -адическими целыми числами с характером Свон.

Приложения [ править ]

Проводник Артина входит в формулу дискриминанта проводника для дискриминанта глобального поля. ^[5]

Оптимальный уровень в гипотезе модулярности Серра выражается в терминах проводника Артина.

Дирижер Артина фигурирует в функциональном уравнении L-функции Артина .

Представления Артина и Свана используются для определения проводника эллиптической кривой или абелевой разновидности.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Эмиль (1930), "Zur Theorie дер L-Reihen мит Allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Гамбург (на немецком языке ), 8 : 292-306, DOI : 10.1007 / BF02941010 , JFM  56.0173.02 , S2CID  120987633
• Артин, Эмиль (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1931 (164): 1–11, doi : 10.1515 / crll.1931.164.1 , ISSN  0075-4102 , S2CID  117731518 , Zbl  0001.00801
• Фонтен, Жан-Марк (1971), "Sur les représentations d'Artin", Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1969) , Mémoires de la Société Mathématique de France, 25 , Париж: Société Mathématique de France , С. 71–81, MR  0374106
• Серр, Жан-Пьер (1960), "Sur ли rationalité де ЗАЯВЛЕНИЯ d'Артин", Анналы математики , второй серия, 72 (2): 405-420, DOI : 10,2307 / 1970142 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970142 , Руководство по ремонту  0171775
• Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория поля локальных классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl  0153.07403
• Снайт, В. П. (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 40 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8, Zbl  0991.20005
• Лебедь, Ричард Г. (1963), "Гротендик кольцо конечной группы", Топология , 2 (1-2): 85-110, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (63) 90025-9 , ISSN  0040-9383 , Руководство по ремонту  0153722
• Weil, Андре (1946), "L'avenir des mathématiques", Bol. Soc. Мат. Сан-Паулу , 1 : 55–68, MR  0020961