Формализм гравитационного линзирования

Часть цикла статей о
Гравитационное линзирование
Кольцо Эйнштейна Формализм Сильное линзирование Микролинзирование Слабое линзирование
Системы сильных линз Abell 1689  · Abell 2218 CL0024 + 17  · Пули связки QSO2237 + 0305  · SDSSJ0946 + 1006 B1359 + 154  · QSO 0957 + 561
Обзоры Сильный: CLASS  · SLACS ( SDSS ) Micro: OGLE  · Gaia Слабый: DLS  · Pan-STARRS  · CFHTLS  · DES  · LSST  · SNAP  · DESTINY
v т е

В общей теории относительности точечная масса отклоняет световой луч с прицельным параметром на угол, примерно равный${\ displaystyle b ~}$

${\ displaystyle {\ hat {\ alpha}} = {\ frac {4GM} {c ^ {2} b}}}$

где G - гравитационная постоянная , M - масса отклоняющегося объекта и c - скорость света . Наивное применение ньютоновской гравитации может дать ровно половину этого значения, если луч света рассматривается как массивная частица и рассеивается гравитационной потенциальной ямой. Это приближение хорошо, когда оно мало.${\ displaystyle 4GM / c ^ {2} b}$

В ситуациях, когда общая теория относительности может быть аппроксимирована линеаризованной гравитацией , отклонение из-за пространственно растянутой массы может быть записано просто как векторная сумма по точечным массам. В континуальном пределе это становится интегралом по плотности , и если отклонение невелико, мы можем аппроксимировать гравитационный потенциал вдоль отклоненной траектории потенциалом вдоль неотклоненной траектории, как в приближении Борна в квантовой механике. Отклонение тогда${\ displaystyle \ rho ~}$

${\ displaystyle {\ vec {\ hat {\ alpha}}} ({\ vec {\ xi}}) = {\ frac {4G} {c ^ {2}}} \ int d ^ {2} \ xi ^ {\ prime} \ int dz \ rho ({\ vec {\ xi}} ^ {\ prime}, z) {\ frac {\ vec {b}} {| {\ vec {b}} | ^ {2} }}, ~ {\ vec {b}} \ Equiv {\ vec {\ xi}} - {\ vec {\ xi ^ {\ prime}}}}}$

где - координата линии прямой видимости, а - векторный прицельный параметр фактической траектории луча от бесконечно малой массы, расположенной в координатах . ^[1]${\ displaystyle z}$${\displaystyle {\vec {b}}}$${\displaystyle d^{2}\xi ^{\prime }dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$${\displaystyle ({\vec {\xi }}^{\prime },z)}$

Аппроксимация тонкой линзы [ править ]

В пределах «тонкой линзы», когда расстояния между источником, линзой и наблюдателем намного больше, чем размер линзы (это почти всегда верно для астрономических объектов), мы можем определить прогнозируемую плотность массы

${\displaystyle \Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })=\int \rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)dz}$

где - вектор в плоскости неба. Тогда угол отклонения равен${\displaystyle {\vec {\xi }}^{\prime }}$

${\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int {\frac {({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime })\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|^{2}}}d^{2}\xi ^{\prime }}$

Как показано на диаграмме справа, разница между угловым положением без линзы и наблюдаемым положением - это угол отклонения, уменьшенный на соотношение расстояний, описываемое уравнением линзы${\displaystyle {\vec {\beta }}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {\theta }}-{\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\theta }}-{\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {D_{d}\theta }})}$

где - расстояние от линзы до источника, - это расстояние от наблюдателя до источника, и - это расстояние от наблюдателя до линзы. Для внегалактических линз это должны быть расстояния углового диаметра .${\displaystyle D_{ds}~}$${\displaystyle D_{s}~}$${\displaystyle D_{d}~}$

При сильном гравитационном линзировании это уравнение может иметь несколько решений, потому что один источник может быть линзирован на несколько изображений.${\displaystyle {\vec {\beta }}}$

Потенциал схождения и отклонения [ править ]

Приведенный угол отклонения можно записать как${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }{\frac {({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime })\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })}{|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|^{2}}}}$

где мы определяем сходимость

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {\Sigma ({\vec {\theta }})}{\Sigma _{cr}}}}$

и критическая поверхностная плотность (не путать с критической плотностью Вселенной)

${\displaystyle \Sigma _{cr}={\frac {c^{2}D_{s}}{4\pi GD_{ds}D_{d}}}}$

Мы также можем определить потенциал отклонения

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })\ln |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|}$

таким образом, что масштабированный угол отклонения представляет собой просто градиент потенциала, а сходимость составляет половину лапласиана потенциала:

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\nabla }}\psi ({\vec {\theta }})}$

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {\theta }})}$

Потенциал отклонения также можно записать в виде масштабированной проекции ньютоновского гравитационного потенциала линзы ^[2]${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz}$

Якобианское линзирование [ править ]

Якобиан между unlensed и линзовых систем координат

${\displaystyle A_{ij}={\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}}}$

где - дельта Кронекера . Поскольку матрица вторых производных должна быть симметричной, якобиан можно разложить на диагональный член, включающий сходимость, и член без следов, включающий сдвиг${\displaystyle \delta _{ij}~}$ ${\displaystyle \gamma ~}$

${\displaystyle A=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1&0\\0&1\end{array}}\right]-\gamma \left[{\begin{array}{c c }\cos 2\phi &\sin 2\phi \\\sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{array}}\right]}$

где - угол между осью абсцисс и. Термин, связанный с конвергенцией, увеличивает изображение за счет увеличения его размера при сохранении поверхностной яркости. Термин, связанный со сдвигом, растягивает изображение по касательной вокруг линзы, как обсуждается в наблюдениях со слабым линзированием .${\displaystyle \phi ~}$${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$

Определенный здесь сдвиг не эквивалентен сдвигу, традиционно определяемому в математике, хотя и то, и другое растягивает изображение неравномерно.

Поверхность Ферма [ править ]

Существует альтернативный способ получения уравнения линзы, исходя из времени прихода фотона (поверхность Ферма).

${\displaystyle t=\int _{0}^{z_{s}}{ndz \over c\cos \alpha (z)}}$

где - время прохождения бесконечно малого линейного элемента вдоль прямой линии источник-наблюдатель в вакууме, которое затем корректируется множителем${\displaystyle dz/c}$

${\displaystyle 1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}}$

чтобы получить линейный элемент по изогнутой траектории с изменяющимся малым углом наклона и показателем преломления n для «эфира», т. е. гравитационного поля. Последнее может быть получено из того факта, что фотон движется по нулевой геодезической слабо возмущенной статической Вселенной Минковского.${\displaystyle dl={dz \over c\cos \alpha (z)}}$${\displaystyle \alpha (z),}$

${\displaystyle ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}}$

где неравномерный гравитационный потенциал приводит к изменению скорости света${\displaystyle \Phi \ll c^{2}}$

${\displaystyle c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)c.}$

Итак, показатель преломления

${\displaystyle n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi \over c^{2}}\right).}$

Показатель преломления больше единицы из-за отрицательного гравитационного потенциала .${\displaystyle \Phi }$

Сложите их вместе и соблюдайте главные термины, у нас есть поверхность времени прибытия

${\displaystyle t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi \over c^{2}}.}$

Первый член - это время прохождения по прямой траектории, второй член - это дополнительный геометрический путь, а третий - гравитационная задержка. Сделайте аппроксимацию треугольником для пути между наблюдателем и линзой и для пути между линзой и источником. Геометрический член задержки становится${\displaystyle \alpha (z)=\theta -\beta }$${\displaystyle \alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}}}$

${\displaystyle {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left[({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}){D_{d} \over D_{ds}}\right]^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.}$

(Как? Слева нет. Расстояния по угловому диаметру, как правило, не складываются простым способом.) Таким образом, поверхность Ферма становится${\displaystyle D_{s}}$

${\displaystyle t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left[{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}-\psi \right]}$

где - так называемая безразмерная временная задержка, а потенциал двумерного линзирования${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.}$

Изображения лежат в экстремумах этой поверхности, поэтому изменение t с равно нулю,${\displaystyle {\vec {\theta }}}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})}$

что является уравнением линзы. Возьмите уравнение Пуассона для трехмерного потенциала ${\displaystyle \Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}}$

и находим потенциал 2D-линзирования

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\sinh ^{-1}{|z-D_{i}| \over D_{i}|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|}\right]|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.}$

Здесь мы предположили, что линза представляет собой набор точечных масс с угловыми координатами и расстояниями. Используя для очень малых x, мы находим${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}_{i}}$${\displaystyle z=D_{i}.}$${\displaystyle \sinh ^{-1}1/x=\ln(1/x+{\sqrt {1/x^{2}+1}})\approx -\ln(x/2)}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}| \over 2}{D_{i} \over D_{is}}\right)\right].}$

Можно вычислить сходимость , применяя двумерный лапласиан двумерного линзирующего потенциала.

${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})}$

в соответствии с более ранним определением как отношение прогнозируемой плотности к критической плотности. Здесь мы использовали и${\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\Sigma \over \Sigma _{cr}}}$${\displaystyle \nabla ^{2}1/r=-4\pi \delta (r)}$${\displaystyle \nabla _{\vec {\theta }}=D_{d}\nabla .}$

Мы также можем подтвердить ранее определенный уменьшенный угол отклонения.

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}}$

где - так называемый угловой радиус Эйнштейна точечной линзы Mi. Для одноточечной линзы в начале координат мы получаем стандартный результат, заключающийся в том, что будут два изображения в двух решениях по существу квадратного уравнения${\displaystyle \theta _{Ei}}$

${\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.}$

Матрицу усиления можно получить двойными производными от безразмерной временной задержки

${\displaystyle A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\gamma _{1}&\gamma _{2}\\\gamma _{2}&1-\kappa +\gamma _{1}\end{array}}\right]}$

где мы определили производные

${\displaystyle \kappa ={\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}}$

который имеет смысл конвергенции и сдвига. Усиление является обратным якобиану.

${\displaystyle A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}}$

где положительное значение A означает либо максимум, либо минимум, а отрицательное значение A означает седловую точку на поверхности прихода.

Для одноточечного объектива можно показать (хотя и длительный расчет), что

${\displaystyle \kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.}$

Таким образом, усиление точечной линзы определяется выражением

${\displaystyle A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.}$

Примечание A расходится для изображений в радиусе Эйнштейна. ${\displaystyle \theta _{E}.}$

В случаях, когда имеется несколько точечных линз плюс гладкий фон из (темных) частиц поверхностной плотности, поверхность прихода времени равна${\displaystyle \Sigma _{\rm {cr}}\kappa _{\rm {smooth}},}$

${\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx {1 \over 2}\kappa _{\rm {smooth}}|\theta |^{2}+\sum _{i}\theta _{E}^{2}\left[\ln \left({|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|^{2} \over 4}{D_{d} \over D_{ds}}\right)\right].}$

Чтобы вычислить усиление, например, в начале координат (0,0), из-за одинаковых точечных масс, распределенных в, мы должны сложить общий сдвиг и включить сходимость гладкого фона, ${\displaystyle (\theta _{xi},\theta _{yi})}$${\displaystyle A=\left[(1-\kappa _{\rm {smooth}})^{2}-\left(\sum _{i}{(\theta _{xi}^{2}-\theta _{yi}^{2})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{(2\theta _{xi}\theta _{yi})\theta _{E}^{2} \over (\theta _{xi}^{2}+\theta _{yi}^{2})^{2}}\right)^{2}\right]^{-1}}$

Обычно это создает сеть критических кривых, линий, соединяющих точки изображения с бесконечным усилением.

Общее слабое линзирование [ править ]

При слабом линзировании крупномасштабной структурой приближение тонкой линзы может нарушиться, а протяженные структуры с низкой плотностью не могут быть хорошо аппроксимированы множеством плоскостей тонких линз. В этом случае отклонение можно получить, вместо этого предположив, что гравитационный потенциал медленно меняется повсюду (по этой причине это приближение не подходит для сильного линзирования). Этот подход предполагает, что Вселенная хорошо описывается метрикой FRW, возмущенной Ньютоном , но не делает никаких других предположений о распределении линзирующей массы.

Как и в случае тонких линз, эффект может быть записан как отображение из unlensed углового положения в линзируемом положение . Якобиан из преобразования можно записать в виде интеграла по гравитационному потенциалу вдоль линии визирования ^[3]${\displaystyle {\vec {\beta }}}$${\displaystyle {\vec {\theta }}}$${\displaystyle \Phi ~}$

${\displaystyle {\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}+\int _{0}^{r_{\infty }}drg(r){\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {x}}(r))}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}}$

где - сопутствующее расстояние , - поперечные расстояния, а${\displaystyle r~}$${\displaystyle x^{i}~}$

${\displaystyle g(r)=2r\int _{r}^{r_{\infty }}dr'\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\right)W(r^{\prime })}$

- ядро линзирования , которое определяет эффективность линзирования для распределения источников .${\displaystyle W(r)~}$

Якобиан можно разложить на члены сходимости и сдвига, как и в случае тонкой линзы, и в пределе тонкой и слабой линзы их физические интерпретации одинаковы.${\displaystyle A_{ij}~}$

Наблюдаемые со слабым линзированием [ править ]

В слабом гравитационном линзировании , то якобиан отображаются путем наблюдения эффекта сдвига на эллиптичностях фоновых галактик. Этот эффект чисто статистический; В форме любой галактики будет преобладать ее случайная, несвязанная форма, но линзирование приведет к пространственно когерентному искажению этих форм.

Меры эллиптичности [ править ]

В большинстве областей астрономии эллиптичность определяется как , где - отношение осей эллипса . В слабом гравитационном линзировании обычно используются два разных определения, и оба являются комплексными величинами, которые определяют как соотношение осей, так и позиционный угол :${\displaystyle 1-q~}$${\displaystyle q={\frac {b}{a}}}$${\displaystyle \phi ~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}e^{2i\phi }={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}e^{2i\phi }}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1-q}{1+q}}e^{2i\phi }={\frac {a-b}{a+b}}e^{2i\phi }}$

Как и в случае традиционной эллиптичности, значения обеих этих величин варьируются от 0 (круговой) до 1 (отрезок линии). Позиционный угол кодируется в комплексной фазе, но из-за множителя 2 в тригонометрических аргументах эллиптичность инвариантна при повороте на 180 градусов. Этого следовало ожидать; эллипс не изменяется при повороте на 180 °. Взятые как мнимая и действительная части, действительная часть комплексной эллиптичности описывает удлинение по осям координат, а мнимая часть описывает удлинение под углом 45 ° от осей.

Эллиптичность часто записывается как двухкомпонентный вектор вместо комплексного числа, хотя это не настоящий вектор в отношении преобразований:

${\displaystyle \chi =\{\left|\chi \right|\cos 2\phi ,\left|\chi \right|\sin 2\phi \}}$

${\displaystyle \epsilon =\{\left|\epsilon \right|\cos 2\phi ,\left|\epsilon \right|\sin 2\phi \}}$

Источники реального астрономического фона - это не идеальные эллипсы. Их эллиптичность можно измерить, найдя наиболее подходящую эллиптическую модель к данным или измерив вторые моменты изображения относительно некоторого центроида. ${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum I(x,y)}}}$

Тогда комплексные эллиптичности равны

${\displaystyle \chi ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}+2{\sqrt {q_{xx}q_{yy}-q_{xy}^{2}}}}}}$

Это можно использовать, чтобы связать вторые моменты с традиционными параметрами эллипса:

${\displaystyle q_{xx}=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{yy}=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \,}$

${\displaystyle q_{xy}=(a^{2}-b^{2})\sin \theta \cos \theta \,}$

и наоборот:

${\displaystyle a^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}+{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}-{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2q_{xy}}{q_{xx}-q_{yy}}}}$

Невзвешенные вторые моменты выше проблематичны в присутствии шума, соседних объектов или протяженных профилей галактик, поэтому вместо них типично использовать аподизированные моменты:

${\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

${\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}}$

Вот весовая функция, которая обычно стремится к нулю или быстро приближается к нулю на некотором конечном радиусе.${\displaystyle w(x,y)~}$

Моменты изображения, как правило, нельзя использовать для измерения эллиптичности галактик без поправки на эффекты наблюдений , особенно на функцию рассеяния точки . ^[4]

Сдвиг и пониженный сдвиг [ править ]

Напомним, что линзирующий якобиан можно разложить на сдвиг и сходимость . Воздействуя на круговой фоновый источник с радиусом , линзирование создает эллипс с большой и малой осями.${\displaystyle \gamma ~}$${\displaystyle \kappa ~}$${\displaystyle R~}$

${\displaystyle a={\frac {R}{1-\kappa -\gamma }}}$

${\displaystyle b={\frac {R}{1-\kappa +\gamma }}}$

до тех пор, пока сдвиг и конвергенция не изменяются заметно по размеру источника (в этом случае линзовое изображение не является эллипсом). Однако галактики по своей природе не являются круглыми, поэтому необходимо количественно оценить влияние линзирования на ненулевую эллиптичность.

Мы можем определить комплексный сдвиг по аналогии с комплексными эллиптичностями, определенными выше.

${\displaystyle \gamma =\left|\gamma \right|e^{2i\phi }}$

а также пониженный сдвиг

${\displaystyle g\equiv {\frac {\gamma }{1-\kappa }}}$

Линзирующий якобиан теперь можно записать как

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c c }1-\kappa -\mathrm {Re} [\gamma ]&-\mathrm {Im} [\gamma ]\\-\mathrm {Im} [\gamma ]&1-\kappa +\mathrm {Re} [\gamma ]\end{array}}\right]=(1-\kappa )\left[{\begin{array}{c c }1-\mathrm {Re} [g]&-\mathrm {Im} [g]\\-\mathrm {Im} [g]&1+\mathrm {Re} [g]\end{array}}\right]}$

Для уменьшенного сдвига и некомплексной комплексной эллиптичности и линзовые эллиптичности равны${\displaystyle g~}$${\displaystyle \chi _{s}~}$${\displaystyle \epsilon _{s}~}$

${\displaystyle \chi ={\frac {\chi _{s}+2g+g^{2}\chi _{s}^{*}}{1+|g|^{2}+2\mathrm {Re} (g\chi _{s}^{*})}}}$

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\epsilon _{s}+g}{1+g^{*}\epsilon _{s}}}}$

В пределе слабого линзирования, и , так${\displaystyle \gamma \ll 1}$${\displaystyle \kappa \ll 1}$

${\displaystyle \chi \approx \chi _{s}+2g\approx \chi _{s}+2\gamma }$

${\displaystyle \epsilon \approx \epsilon _{s}+g\approx \epsilon _{s}+\gamma }$

Если мы можем предположить, что источники ориентированы случайным образом, их комплексные эллиптичности в среднем равны нулю, поэтому и . Это главное уравнение слабого линзирования: средняя эллиптичность галактик заднего плана является прямой мерой сдвига, вызванного массой переднего фона.${\displaystyle \langle \chi \rangle =2\langle \gamma \rangle }$${\displaystyle \langle \epsilon \rangle =\langle \gamma \rangle }$

Увеличение [ править ]

В то время как гравитационное линзирование сохраняет поверхностную яркость, как это диктуется теоремой Лиувилля , линзирование действительно изменяет видимый телесный угол источника. Величина увеличения определяется отношением площади изображения к исходной области. Для круглосимметричной линзы коэффициент увеличения μ определяется выражением

${\displaystyle \mu ={\frac {\theta }{\beta }}{\frac {d\theta }{d\beta }}}$

С точки зрения конвергенции и сдвига

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\det A}}={\frac {1}{[(1-\kappa )^{2}-\gamma ^{2}]}}}$

По этой причине якобиан также известен как «матрица обратного увеличения».${\displaystyle A~}$

Приведенный сдвиг инвариантен с масштабированием якобиана скаляром , что эквивалентно преобразованиям и .${\displaystyle A~}$${\displaystyle \lambda ~}$${\displaystyle 1-\kappa ^{\prime }=\lambda (1-\kappa )}$${\displaystyle \gamma ^{\prime }=\lambda \gamma }$

Таким образом, можно определить только до преобразования , которое известно как «массовое вырождение слоя». В принципе, это вырождение может быть нарушено, если доступно независимое измерение увеличения, поскольку увеличение не инвариантно относительно вышеупомянутого преобразования вырождения. В частности, масштабируется с помощью as .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa \rightarrow \lambda \kappa +(1-\lambda )}$${\displaystyle \mu ~}$${\displaystyle \lambda ~}$${\displaystyle \mu \propto \lambda ^{-2}}$

Ссылки [ править ]