Греки (финансы)

В финансовой математике , что греки являются величинами , представляющей чувствительность цены производных , таких как варианты для изменения основных параметров , по которым стоимость инструмента или портфеля из финансовых инструментов зависят. Это название используется потому, что наиболее распространенные из этих чувствительных факторов обозначаются греческими буквами (как и некоторые другие финансовые показатели). Взятые вместе, эти также были названы чувствительности риска , ^[1] меры риска ^{[2] : 742} или хеджевых параметры . ^[3]

Использование греков [ править ]

Спотовая цена (S) Волатильность ( )${\ displaystyle \ sigma}$ Время истечения ( )${\ Displaystyle \ тау}$ Значение (V)  ${\ displaystyle \ Delta}$ Дельта ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ Вега ${\ displaystyle \ Theta}$ Тета Дельта ( ) ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ Гамма Vanna Очарование Вега ( ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ Vanna Вомма Вета Тета ( ) ${\ displaystyle \ Theta}$ Очарование Вета Гамма ( ) ${\ displaystyle \ Gamma}$ Скорость Зомма Цвет Вомма  Ultima

Определение греков как чувствительность цены и риска опциона (в первой строке) к базовому параметру (в первом столбце). Греки первого порядка выделены синим цветом, греки второго порядка - зеленым, а греки третьего порядка - желтым. Обратите внимание, что vanna, charm и veta появляются дважды, поскольку частные перекрестные производные равны по теореме Шварца . Rho, lambda, epsilon и vera опущены, поскольку они не так важны, как остальные. Три места в таблице не заняты, поскольку соответствующие количества еще не определены в финансовой литературе.

Греки - жизненно важные инструменты в управлении рисками . Каждый грек измеряет чувствительность стоимости портфеля к небольшому изменению данного базового параметра, так что риски компонентов могут рассматриваться изолированно, а портфель соответственно перебалансирован для достижения желаемого риска; см., например, дельта-хеджирование .

Греки в модели Блэка – Шоулза относительно легко вычислить, что является желательным свойством финансовых моделей , и они очень полезны для трейдеров деривативов, особенно тех, кто стремится застраховать свои портфели от неблагоприятных изменений рыночных условий. По этой причине те греки, которые особенно полезны для хеджирования, такие как дельта, тета и вегета, хорошо определены для измерения изменений цены, времени и волатильности. Хотя rho является основным входом в модель Блэка – Шоулза, общее влияние на стоимость опциона, соответствующее изменениям безрисковой процентной ставки , обычно незначительно, и поэтому производные инструменты более высокого порядка, включающие безрисковую процентную ставку, не являются общий.

Наиболее распространенными среди греков являются производные первого порядка: дельта , вега , тета и ро, а также гамма , производная второго порядка функции ценности. Остальные уязвимости в этом списке достаточно распространены, чтобы иметь общие названия, но этот список ни в коем случае не является исчерпывающим.

Имена [ править ]

Использование греческих буквенных названий, вероятно, является продолжением общих финансовых терминов альфа и бета , а также использования сигмы (стандартное отклонение логарифмической доходности) и тау (время до истечения срока) в модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза . Было изобретено несколько имен, таких как «вега» и «зомма», но по звучанию они похожи на греческие буквы. Названия «цвет» и «очарование», по-видимому, происходят от использования этих терминов для обозначения экзотических свойств кварков в физике элементарных частиц .

Греки первого порядка [ править ]

Дельта [ править ]

Дельта , ^[4] , измеряет скорость изменения теоретического значения параметра по отношению к изменению цены базового актива. Дельта - это первая производная от стоимостиопциона по отношению к цене базового инструмента.${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$

Практическое использование [ править ]

Для ванильного опциона дельта будет числом от 0,0 до 1,0 для длинного колла (или короткого пути) и от 0,0 до -1,0 для длинного опциона пут (или короткого колла); в зависимости от цены опцион колл ведет себя так, как если бы кто-то владеет 100 акциями базовой акции (если в деньгах), или ничего не владеет (если далеко не в деньгах), или что-то среднее, и, наоборот, для опциона пут. Разница между дельтой колла и дельтой пут при одном и том же страйке равна единице. По паритету пут-колл длинный колл и короткий пут эквивалентны форварду F , который линейен в споте S, с единичным коэффициентом, поэтому производная dF / dS равна 1. См. Формулы ниже.

Эти числа обычно представлены как процент от общего количества акций, представленных опционными контрактами. Это удобно, потому что опцион (мгновенно) будет вести себя как количество акций, указанное дельтой. Например, если портфель из 100 американских колл-опционов на XYZ каждый имеет дельту 0,25 (= 25%), он будет расти или терять стоимость, как 2500 акций XYZ, когда цена изменяется при небольших колебаниях цены (100 опционных контрактов покрывают 10 000 акций). Знак и процент часто опускаются - знак подразумевается в типе опциона (отрицательный для пут, положительный для колл), и процент понимается. Наиболее часто котируются 25 дельта пут, 50 дельта пут / 50 дельта колл и 25 дельта колл. 50 Delta put и 50 Delta call не совсем идентичны из-за того, что спот и форвард различаются коэффициентом дисконтирования,но они часто смешиваются.

Дельта всегда положительна для длинных коллов и отрицательна для длинных путов (если они не равны нулю). Общую дельту сложного портфеля позиций по одному и тому же базовому активу можно рассчитать, просто взяв сумму дельт для каждой отдельной позиции - дельта портфеля линейна по составляющим. Поскольку дельта базового актива всегда равна 1,0, трейдер может дельта-хеджировать всю свою позицию в базовом активе , покупая или продавая количество акций, указанное общей дельтой. Например, если дельта портфеля опционов в XYZ (выраженная в долях базового актива) равна +2,75, трейдер сможет дельта-хеджировать портфель, продавая короткие позиции.2,75 акции базового актива. Тогда этот портфель сохранит свою общую стоимость независимо от того, в каком направлении движется цена XYZ. (Хотя только для небольших движений базового актива, короткого промежутка времени и невзирая на изменения в других рыночных условиях, таких как волатильность и норма доходности для безрисковых инвестиций).

Как показатель вероятности [ править ]

(Абсолютное значение) дельты близко, но не идентично процентной денежности опциона, т. Е. Подразумеваемой вероятности того, что срок действия опциона истечет в деньгах (если рынок движется под броуновским движением в риске - нейтральная мера ). ^[5] По этой причине некоторые трейдеры опционами используют абсолютное значение дельты в качестве приближения к процентной денежности. Например, если не при деньгахУ опциона колл дельта 0,15, трейдер может оценить, что вероятность истечения опциона при деньгах составляет примерно 15%. Точно так же, если дельта контракта пут составляет -0,25, трейдер может ожидать, что опцион будет иметь 25% вероятность истечения при деньгах. Коллы и путы при деньгах имеют дельту приблизительно 0,5 и -0,5 соответственно с небольшим уклоном в сторону более высоких дельт для вызовов банкоматов. Фактическая вероятность того, что опцион закончится в деньгах, - это его двойная дельта , которая является первой производной от цены опциона по отношению к страйку. ^[6]

Связь между call и put delta [ править ]

Учитывая европейский опцион колл и пут для одного и того же базового актива, цену исполнения и время до погашения, а также без дивидендной доходности, сумма абсолютных значений дельты каждого опциона будет равна 1 - точнее, дельта колла ( положительный) минус дельта пут (отрицательный) равен 1. Это связано с паритетом пут-колл : длинный колл плюс короткий пут (колл минус пут) воспроизводит форвард, дельта которого равна 1.

Если значение дельты для опциона известно, можно рассчитать значение дельты опциона с той же страйк-ценой, базовым активом и сроком погашения, но напротив справа, вычитая 1 из известной дельты колл или прибавляя 1 к известной дельте пут .

${\ Displaystyle \ Delta (вызов) - \ Delta (положить) = 1}$, следовательно: и .${\ Displaystyle \ Delta (вызов) = \ Delta (положить) +1}$${\ Displaystyle \ Delta (положить) = \ Delta (вызов) -1}$

Например, если дельта колла равна 0,42, то можно вычислить дельту соответствующего опциона пут при той же цене страйка на 0,42 - 1 = -0,58. Чтобы вывести дельту колла из пут, аналогично можно взять -0,58 и прибавить 1, чтобы получить 0,42.

Вега [ править ]

Vega ^[4] измеряет чувствительность к волатильности . Vega - это производная от стоимости опциона в отношении волатильности базового актива.

${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma}}}$

Вега - это не название из греческой буквы. Глиф используется нестандартный вариант Majuscule греческой буквы ню , , записывается в виде . Предположительно название vega было принято потому, что греческая буква nu выглядела как латинская vee , а слово vega произошло от слова vee по аналогии с тем, как бета , эта и тета произносятся в американском английском.${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Символ каппа , , иногда используется (учеными) вместо вега (как это тау ( ) или капитал лямбда ( ), ^{[7] : 315} , хотя они редки).${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ Lambda}$

Vega обычно выражается как сумма денег на базовую акцию, которую стоимость опциона получит или потеряет при повышении или понижении волатильности на 1 процентный пункт . Все опционы (как коллы, так и путы) будут иметь ценность с ростом волатильности.

Vega может быть важным греческим индикатором, за которым следует следить для опционного трейдера, особенно на волатильных рынках, поскольку стоимость некоторых опционных стратегий может быть особенно чувствительной к изменениям волатильности. Например, стоимость стрэддла опциона «при деньгах» сильно зависит от изменений волатильности.

Тета [ править ]

Тета , ^[4] , измеряет чувствительность значения производной к течению времени (см. Параметр «Значение времени» ): «временной спад».${\ displaystyle \ Theta}$

${\ displaystyle \ Theta = - {\ frac {\ partial V} {\ partial \ tau}}}$

Математический результат формулы для теты (см. Ниже) выражается в годовой стоимости. По соглашению, результат обычно делится на количество дней в году, чтобы получить величину, на которую упадет цена опциона по отношению к цене базовой акции. Тэта почти всегда отрицательна для длинных коллов и путов и положительна для коротких (или написанных) коллов и путов. Исключение составляет европейский пут с большой прибылью. Общая тэта для портфеля опционов может быть определена путем суммирования тэта для каждой отдельной позиции.

Стоимость опциона может быть проанализирована на две части: внутренняя стоимость и временная стоимость. Внутренняя стоимость - это сумма денег, которую вы получили бы, если бы вы исполнили опцион немедленно, поэтому колл со страйком 50 долларов по акции с ценой 60 долларов будет иметь внутреннюю стоимость 10 долларов, тогда как соответствующий пут будет иметь нулевую внутреннюю стоимость. Ценность времени - это ценность возможности подождать дольше, прежде чем принять решение о тренировке. Даже глубоко не в деньгахпут будет чего-то стоить, так как есть вероятность, что цена акции упадет ниже страйка до истечения срока действия. Однако по мере приближения срока погашения вероятность того, что это произойдет, уменьшается, поэтому временная стоимость опциона со временем уменьшается. Таким образом, если у вас длинная позиция по опциону, у вас короткая тэта: ваш портфель будет терять стоимость с течением времени (все остальные факторы остаются неизменными).

Ро [ править ]

Rho , ^[4] , меры чувствительности к процентной ставке: она является производной от стоимости опциона по отношению к безрисковой процентной ставке (за соответствующий выдающийся срок).${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ partial V} {\ partial r}}}$

За исключением чрезвычайных обстоятельств, стоимость опциона менее чувствительна к изменениям безрисковой процентной ставки, чем к изменениям других параметров. По этой причине ро является наименее используемым из греков первого порядка.

Rho обычно выражается как сумма денег на акцию базового актива, которую стоимость опциона получит или потеряет при повышении или понижении безрисковой процентной ставки на 1,0% в год (100 базисных пунктов).

Лямбда [ править ]

Лямбда , ^[4] , омега , ^[8] , или упругость ^[4] представляет собой процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение в цене базовой, мера рычагов ,иногда называют зубчатое зацепление.${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

${\displaystyle \lambda =\Omega ={\frac {\partial V}{\partial S}}\times {\frac {S}{V}}}$

Он держит это .${\displaystyle \lambda =\Omega =\Delta \times {\frac {S}{V}}}$

Эпсилон [ править ]

Эпсилон , ^[9] (также известный как фунтыквадратный дюйм,), это процентное изменение стоимости опциона в процентном изменении базовых дивидендов выхода, мера риски дивидендов. Влияние на дивидендную доходность на практике определяется с использованием 10% увеличения этой доходности. Очевидно, что эта чувствительность может применяться только к производным инструментам долевых продуктов.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \epsilon =\psi ={\frac {\partial V}{\partial q}}}$

Греки второго порядка [ править ]

Гамма [ править ]

Гамма , ^[4] , измеряет скорость изменения дельты по отношению к изменениям в базовой цене. Гамма - это вторая производная функции стоимости по отношению к базовой цене. ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$

Большинство длинных вариантов имеют положительную гамму, а самые короткие варианты - отрицательную. Длинные опционы имеют положительную связь с гаммой, потому что по мере роста цены гамма также увеличивается, в результате чего дельта приближается к 1 из 0 (длинный опцион колл) и 0 из -1 (длинный опцион пут). Обратное верно для коротких опционов. ^[10]

Гамма максимальна приблизительно при деньгах (банкомат) и уменьшается по мере того, как вы уходите в деньгах (ITM) или вне денег (OTM). Гамма важна, потому что она исправляет выпуклость значения.

Когда трейдер пытается установить эффективное дельта-хеджирование для портфеля, трейдер может также попытаться нейтрализовать гамму портфеля, поскольку это гарантирует, что хеджирование будет эффективным в более широком диапазоне движений базовой цены.

Ванна [ править ]

Ванна , ^[4] также упоминается как DvegaDspot ^[12] и DdeltaDvol , ^[12] является второй производной порядка стоимости опциона, как только к основной цене спот и один раз к волатильности. Математически эквивалентен DdeltaDvol., чувствительность дельты опциона к изменению волатильности; или, в качестве альтернативы, часть vega относительно цены базового инструмента. Vanna может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании портфеля, хеджируемого дельта- или вегетацией, поскольку vanna помогает трейдеру предвидеть изменения эффективности дельта-хеджирования по мере изменения волатильности или эффективности вегетарианского хеджирования против изменений в базовая спотовая цена.

Если базовое значение имеет непрерывные вторые частные производные, затем ,${\displaystyle {\text{Vanna}}={\frac {\partial \Delta }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S\partial \sigma }}}$

Очарование [ править ]

Charm ^[4] или дельта-распад ^[13] измеряет мгновенную скорость изменения дельты с течением времени.

${\displaystyle {\text{Charm}}=-{\frac {\partial \Delta }{\partial \tau }}={\frac {\partial \Theta }{\partial S}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \tau \,\partial S}}}$

Charm также называют DdeltaDtime . ^[12] Очарование может быть важным греческим фактором, который нужно измерять / контролировать при дельта-хеджировании позиции в выходные дни. Очарование - это производная второго порядка от стоимости опциона: один раз - цена, а второй - время. Это также производная от теты по цене базового актива.

Математический результат формулы очарования (см. Ниже) выражается в дельте / год. Часто бывает полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить дельта-спад за день. Это использование достаточно точно, когда количество дней, оставшихся до истечения срока опциона, велико. Когда срок действия опциона приближается к истечению, само очарование может быстро измениться, из-за чего оценки дельта-распада за целый день будут неточными.

Вомма [ править ]

Вомма , ^[4] волга , ^[14] вега выпуклость , ^[14] или ДвегаДвол ^[14] измеряют чувствительность второго порядка к волатильности . Vomma - это вторая производная от стоимости опциона по отношению к волатильности, или, другими словами, vomma измеряет скорость изменения к веге по мере изменения волатильности.

${\displaystyle {\text{Vomma}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma ^{2}}}}$

При положительной вомме позиция станет длинной вегой по мере увеличения подразумеваемой волатильности и короткой вегой по мере ее уменьшения, что может быть скальпировано способом, аналогичным длинной гамме. И изначально вегетативно-нейтральная позиция с длинной рвотой может быть построена из соотношения вариантов при разных ударах. Вомма положительна для опционов без денег, и изначально увеличивается с удалением от денег (но падает, когда вега падает). (В частности, vomma положительна, когда обычные члены d1 и d2 имеют один и тот же знак, что верно, когда d1 <0 или d2> 0.)

Вета [ править ]

Veta ^[15] или DvegaDtime ^[14] измеряет скорость изменения веги с течением времени. Вета - вторая производная функции ценности; один раз к волатильности и один раз ко времени.

${\displaystyle {\text{Veta}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial \tau }}}$

Обычно математический результат веты делят на 100-кратное количество дней в году, чтобы уменьшить значение до процентного изменения веги за один день.

Вера [ править ]

Вера ^[16] (иногда rhova ) ^[16] измеряет скорость изменения rho относительно волатильности. Вера - вторая производная функции цены; один раз для волатильности и один раз для процентной ставки.

${\displaystyle {\text{Vera}}={\frac {\partial \rho }{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial r}}}$

Слово «Вера» было придумано Р. Нарышкиным в начале 2012 года, когда эту чувствительность нужно было использовать на практике для оценки влияния изменений волатильности на родохеджирование, но в доступной литературе такого названия еще не было. «Vera» было выбрано так, чтобы звучать как комбинация Vega и Rho, соответствующих греков первого порядка. Это имя сейчас используется более широко, включая, например, программу компьютерной алгебры Maple (которая имеет функцию BlackScholesVera в своем финансовом пакете).

Греки третьего порядка [ править ]

Скорость [ править ]

Скорость ^[4] измеряет скорость изменения гаммы по отношению к изменениям базовой цены.

${\displaystyle {\text{Speed}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{3}}}}$

Это также иногда называют гаммой гаммы ^{[2] : 799} или DgammaDspot . ^[12] Скорость - это третья производная функции стоимости по отношению к базовой спотовой цене. Скорость может быть важна для мониторинга при дельта-хеджировании или гамма-хеджировании портфеля.

Зомма [ править ]

Zomma ^[4] измеряет скорость изменения гаммы в зависимости от изменений волатильности.

${\displaystyle {\text{Zomma}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\text{vanna}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \sigma }}}$

Zomma также упоминается как DgammaDvol . ^[12] Zomma - это третья производная от стоимости опциона, дважды по отношению к цене базового актива и один раз по отношению к волатильности. Zomma может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании портфеля с гамма-хеджированием, поскольку zomma поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности хеджирования по мере изменения волатильности.

Цвет [ править ]

Color , ^{[12] [note 1]} gamma decay ^[17] или DgammaDtime ^[12] измеряет скорость изменения гаммы с течением времени.

${\displaystyle {\text{Color}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \tau }}}$

Цвет - это производная третьего порядка от стоимости опциона, дважды по отношению к цене базового актива и один раз по времени. Цвет может быть важной чувствительностью, которую необходимо контролировать при ведении портфеля с гамма-хеджированием, поскольку он может помочь трейдеру предвидеть эффективность хеджирования с течением времени.

Математический результат формулы для цвета (см. Ниже) выражается в гамме за год. Часто бывает полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить изменение гаммы за день. Это использование довольно точно, когда количество дней, оставшихся до истечения опциона, велико. Когда срок действия опциона истекает, сам цвет может быстро измениться, что делает оценки изменения гаммы за целый день неточными.

Ultima [ править ]

Ultima ^[4] измеряет чувствительность vomma опциона к изменению волатильности.

${\displaystyle {\text{Ultima}}={\frac {\partial {\text{vomma}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \sigma ^{3}}}}$

Ultima также упоминается как DvommaDvol . ^[4] Ultima - это производная третьего порядка от стоимости опциона к волатильности.

Греки за варианты с несколькими активами [ править ]

Если стоимость производного инструмента зависит от двух или более базовых активов , его греки расширяются, чтобы включить перекрестные эффекты между базовыми активами.

Дельта корреляции измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к изменению корреляции между базовыми активами. ^[18] Это также широко известно как cega . ^{[19] [20]}

Перекрестная гамма измеряет скорость изменения дельты одного актива к изменению уровня другого актива. ^[21]

Cross vanna измеряет скорость изменения веги в одном базовом активе из-за изменения уровня другого базового актива. Точно так же он измеряет скорость изменения дельты для второго базового актива из-за изменения волатильности первого базового актива. ^[18]

Cross Volga измеряет скорость изменения вегетарианской стоимости одного базового актива по отношению к изменению волатильности другого базового актива. ^[21]

Формулы для европейских опционов греков [ править ]

Греки европейских опционов ( звонки и ставит ) в рамках модели Блэка-Шоулза рассчитывается следующим образом , где (PHI) является стандартной нормальной функции плотности вероятности и является стандартной нормальной кумулятивная функция распределения . Обратите внимание, что формулы гаммы и веги одинаковы для коллов и путов.${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Для данного:

• Цена акции ,${\displaystyle S\,}$
• Цена исполнения ,${\displaystyle K\,}$
• Безрисковая ставка ,${\displaystyle r\,}$
• Годовая дивидендная доходность ,${\displaystyle q\,}$
• Время до погашения (представлено в виде доли одного года без единицы измерения), и${\displaystyle \tau =T-t\,}$
• Волатильность .${\displaystyle \sigma \,}$

	Звонки	Ставит
справедливая стоимость ( )${\displaystyle V}$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-r\tau }K\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }K\Phi (-d_{2})-Se^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
дельта ( )${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle e^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
Вега ( )${\displaystyle {\mathcal {V}}}$	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\phi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$
тета ( )${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
ро ( )${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
эпсилон ( )${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle -S\tau e^{-q\tau }\Phi (d_{1})}$	${\displaystyle S\tau e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})}$
лямбда ( )${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \Delta {\frac {S}{V}}\,}$
гамма ( )${\displaystyle \Gamma }$	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
Vanna	${\displaystyle -e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
очарование	${\displaystyle qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$	${\displaystyle -qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$
рвота	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$
вета	${\displaystyle -Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}\left[q+{\frac {\left(r-q\right)d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}-{\frac {1+d_{1}d_{2}}{2\tau }}\right]\,}$
скорость	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)=-{\frac {\Gamma }{S}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)\,}$
зомма	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})\left(d_{1}d_{2}-1\right)}{S\sigma ^{2}{\sqrt {\tau }}}}=\Gamma \cdot \left({\frac {d_{1}d_{2}-1}{\sigma }}\right)\,}$
цвет	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]\,}$
ультима	${\displaystyle {\frac {-{\mathcal {V}}}{\sigma ^{2}}}\left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right]}$
двойная дельта	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,}$
двойная гамма	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$

куда

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r-q+\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-q-\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}$

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy}$

В рамках модели Блэка (обычно используемой для сырьевых товаров и опционов на фьючерсы) греков можно рассчитать следующим образом:

	Звонки	Ставит
справедливая стоимость ( )${\displaystyle V}$	${\displaystyle e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
дельта ( )${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle =\partial V/\partial F}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
Вега ( )${\displaystyle {\mathcal {V}}}$	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\phi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$ (*)
тета ( )${\displaystyle \Theta }$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+rFe^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\phi (-d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-rFe^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
ро ( )${\displaystyle \rho }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
гамма ( )${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle ={\partial ^{2}V \over \partial F^{2}}}$	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{F\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{F^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$ (*)
Vanna${\displaystyle ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial F\partial \sigma }}}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\phi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{F}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
рвота	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$

куда

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

(*) Можно показать, что ${\displaystyle F\phi (d_{1})=K\phi (d_{2})}$

Связанные меры [ править ]

Некоторые соответствующие меры риска производных финансовых инструментов перечислены ниже.

Продолжительность и выпуклость связи [ править ]

При торговле ценными бумагами (облигациями) с фиксированным доходом используются различные меры дюрации облигации аналогично дельте опциона. Ближайшим аналогом дельты является DV01 , которая представляет собой снижение цены (в денежных единицах) при увеличении доходности на один базисный пункт (т.е. 0,01% годовых) (доходность является базовой переменной).

Аналогом лямбда является модифицированная дюрация , которая представляет собой процентное изменение рыночной цены облигации (облигаций) для изменения доходности на единицу (то есть эквивалентно DV01, деленному на рыночную цену). В отличии от лямбда, который представляет собой эластичность (процентное изменение выходного сигнала на процентное изменение на входе), модифицированная длительность вместо этого пола -elasticity -a процентного изменение выходного сигнала на единицу изменение входного сигнала.

Выпуклость облигации - это мера чувствительности дюрации к изменениям процентных ставок , вторая производная от цены облигации по отношению к процентным ставкам (дюрация - это первая производная). В целом, чем выше выпуклость, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигаций - одна из самых основных и широко используемых форм выпуклости в финансах .

Для облигации со встроенным опционом при расчетах стандартной доходности к погашению здесь не учитывается, как изменения процентных ставок повлияют на денежные потоки из-за исполнения опциона. Чтобы решить эту проблему, вводятся эффективная продолжительность и эффективная выпуклость . Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от единственной доходности к погашению), и, следовательно, фиксируют поведение исполнения в каждый момент срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок. ; см. Модель решетки (финансы) # Деривативы процентной ставки .

Бета [ править ]

Бета (β) из запаса или портфель представляет собой число , описывающее волатильности актива по отношению к волатильности ориентира , что указанный актив сравнивается с. Этот ориентир обычно представляет собой общий финансовый рынок и часто оценивается с помощью репрезентативных индексов , таких как S&P 500 .

Бета актива равна нулю, если его доходность изменяется независимо от изменений доходности рынка. Положительная бета означает, что доходность актива обычно соответствует доходности рынка в том смысле, что оба они имеют тенденцию быть выше своих соответствующих средних значений вместе, или оба имеют тенденцию быть ниже своих соответствующих средних значений вместе. Отрицательная бета означает, что доходность актива обычно движется в противоположном направлении от доходности рынка: одна будет обычно выше своего среднего значения, когда другое ниже среднего.

Фугит [ править ]

Fugit ожидаемое время исполнить опцион американский или бермудский. Его полезно вычислить для целей хеджирования - например, можно представить потоки американского свопциона, такие как потоки свопа, начинающиеся с фугита, умноженные на дельту, а затем использовать их для вычисления чувствительности.

См. Также [ править ]

• Альфа (финансы)
• Бета (финансы)
• Дельта-нейтральный
• Греческие буквы, используемые в математике, естествознании и инженерии.
• Цены на Ванна – Волга

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Теория

• Дельта, Гамма, ГаммаП, Гамма-симметрия, Ванна, Скорость, Очарование, Гамма седла: Ванильные варианты - Эспен Хауг ,
• Волга, Ванна, Скорость, Очарование, Цвет: Варианты Ванили - Уве Виступ , Варианты Ванили - Уве Виступ

Пошаговые математические выводы опционов греков

• Расчет стоимости звонка в европейском стиле
• Производное от европейской ванильной дельты вызова
• Получение европейской ванильной гаммы
• Получение скорости европейского ванильного вызова
• Производное от European Vanilla Call Vega
• От слова European Vanilla Call Volga
• Производное от European Vanilla Call Vanna как производного от Vega в отношении базового
• Получение европейской Vanilla Call Vanna как производной от дельты в отношении волатильности
• Производное от европейского ванильного Call Theta
• Производное от европейского ванильного Call Rho
• Вывод цены европейского ванильного пут
• Производное от European Vanilla Put Delta
• Производное от European Vanilla Put Gamma
• Производное от European Vanilla Put Speed
• Производное от European Vanilla Put Vega
• Производное от European Vanilla Put Volga
• Производное от европейской ванили (European Vanilla), в которой Vanna является производной от Vega по отношению к основному
• Производная от европейской ванили, поставив Ванну как производную от дельты в отношении волатильности
• Производное от European Vanilla Put Theta
• Производное от European Vanilla Put Rho

Онлайн-инструменты

• Графики поверхности греков Блэка-Шоулза , Крис Мюррей
• Онлайн-цены опционов в режиме реального времени и калькулятор греков при нормальном распределении базового актива, Razvan Pascalau, Univ. Алабамы
• Инструмент на основе Excel для расчета греков , бесплатный лист Excel, предоставленный Pristine