Теорема Грушко

В математической теме теории групп , то теорема Грушко или Грушко-Neumann теорема есть теорема о том , что ранг (то есть наименьшее количество элементов из порождающего множества ) из свободного произведения двух групп равно сумме ранги двух свободных факторов. Теорема была впервые получена в 1940 статье Грушко ^[1] , а затем, независимо друг от друга, в 1943 г. статьи Неймана . ^[2]

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть и B будет конечно порожденных групп и пусть * B является свободным произведением из A и B . потом

ранг ( A ∗ B ) = ранг ( A ) + ранг ( B ).

Очевидно , что ранг ( * B ) ≤ ранг ( ) + ранг ( В ) , так как , если Х представляет собой конечное порождающее множество из А и Y представляет собой конечное порождающее множество B , то X ∪ Y является порождающим множеством для А * B и что | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |, Противоположное неравенство, rank ( A ∗ B ) ≥ rank ( A ) + rank ( B ), требует доказательства.

Грушко, но не Нейман, доказал более точную версию теоремы Грушко в терминах эквивалентности Нильсена . Он утверждает, что если M = ( g ₁ , g ₂ , ..., g _n ) - это n -набор элементов из G = A ∗ B такой, что M порождает G , < g ₁ , g ₂ , ..., г _п > = G , то М является Нильсен эквивалент в G к п -кратного вида

M ' = ( a ₁ , ..., a _k , b ₁ , ..., b _{n - k} ), где { a ₁ , ..., a _k } ⊆ A - порождающий набор для A и где { b ₁ , ..., б _{п - к} } ⊆ B является порождающим множеством для B . В частности, rank ( A ) ≤ k , rank ( B ) ≤ n  -  k и rank ( A ) + rank (Б ) ≤ k  + ( n  -  k ) = n . Если взять M как минимальный порождающий кортеж для G , то есть с n = rank ( G ), это означает, что rank ( A ) + rank ( B ) ≤ rank ( G ). Поскольку противоположное неравенство, rank ( G ) ≤ rank ( A ) + rank ( B ), очевидно, отсюда следует, что rank ( G ) = rank ( A ) + rank ( B ), что и требуется.

История и обобщения [ править ]

После первоначальных доказательств Грушко (1940) и Неймана (1943) было много последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Близкая версия оригинального доказательства Грушко приводится в книге Куроша 1955 года . ^[3]

Как и исходные доказательства, доказательство Линдона (1965 г.) ^[4] основано на рассмотрении функций длины, но с существенными упрощениями. В статье Столлингса 1965 г. ^[5] дано сильно упрощенное топологическое доказательство теоремы Грушко.

В статье Цишанга 1970 г. ^{[6] была} дана версия эквивалентности Нильсена теоремы Грушко (изложенная выше) и даны некоторые обобщения теоремы Грушко для объединенных свободных произведений . Скотт (1974) дал другое топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленное методами топологии 3-многообразий ^[7]. Имрих (1984) ^[8] дал версию теоремы Грушко для свободных произведений с бесконечным числом множителей.

В статье Чизвелла 1976 г. ^{[9] было} дано относительно прямое доказательство теоремы Грушко по образцу доказательства Столлингса 1965 г., в котором использовались методы теории Басса – Серра . Этот аргумент непосредственно вдохновил механизм сверток для групповых действий на деревьях и графах групп, а также еще более прямое доказательство Дикса теоремы Грушко (см., Например, ^{[10] [11] [12]} ).

Теорема Грушко в некотором смысле является отправной точкой в ​​теории доступности Данвуди для конечно порожденных и конечно представленных групп . Поскольку ранги свободных факторов меньше ранга свободного произведения, из теоремы Грушко следует, что процесс повторного расщепления конечно порожденной группы G как свободного произведения должен завершаться за конечное число шагов (точнее, в самые ранговые ( G ) ступени). Естественный аналогичный вопрос возникает для итерационных расщеплений конечно порожденных групп над конечными подгруппами. Данвуди доказал, что такой процесс всегда должен завершаться, если группа G конечно представима.^[13], но может продолжаться бесконечно, если G конечно порождена, но не конечно представима. ^[14]

Алгебраическое доказательство существенного обобщения теоремы Грушко с использованием аппарата группоидов было дано Хиггинсом (1966). ^[15] Теорема Хиггинса начинается с групп G и B со свободными разложениями G = ∗ _i G _i , B = ∗ _i B _i и f  : G → B морфизмом таким, что f ( G _i ) = B _i для всех i . Пусть H - подгруппа группы G такая, чтое ( Н ) = В . Тогда H имеет разложение H = ∗ _i H _i такое, что f ( H _i ) = B _i для всех i . Полную информацию о доказательствах и приложениях можно также найти в. ^{[10] [16]}

Теорема Грушко о разложении [ править ]

Полезным следствием исходной теоремы Грушко является так называемая теорема Грушко о разложении. Он утверждает, что любая нетривиальная конечно порожденная группа G может быть разложена как свободное произведение

G = A ₁ ∗ A ₂ ∗ ... ∗ A _r ∗ F _s , где s ≥ 0, r ≥ 0,

где каждая из групп A _i нетривиальна, свободно неразложима (т. е. не может быть разложена как свободное произведение) и не бесконечна циклическая, и где F _s - свободная группа ранга s ; более того, для данного G группы A ₁ , ..., A _r единственны с точностью до перестановки их классов сопряженности в G (и, в частности, последовательность типов изоморфизма этих групп единственна с точностью до перестановки ), а числа s и r также уникальны.

Точнее, если G = B ₁ ∗ ... ∗ B _k ∗ F _t - другое такое разложение, то k = r , s = t , и существует перестановка σ∈ S _r такая, что для каждого i = 1, .. ., г подгруппы _я и B _{σ ( я )} являются сопряженными в G .

Существование указанного разложения, называемого разложением Грушко группы G , является непосредственным следствием исходной теоремы Грушко, а утверждение о единственности требует дополнительных аргументов (см., Например, ^[17] ).

Алгоритмическое вычисление разложения Грушко для конкретных классов групп - сложная задача, которая в первую очередь требует возможности определить, является ли данная группа свободно разложимой. Положительные результаты доступны для некоторых классов таких групп, как без кручения слова гиперболических групп , некоторые классы относительно гиперболических групп , ^[18] фундаментальных группы конечных графов конечно порожденных свободных групп ^[19] и других.

Теорема Грушко о разложении является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнезера о разложении на простые числа для 3-многообразий, которая утверждает, что замкнутое 3-многообразие может быть однозначно разложено как связная сумма неприводимых 3-многообразий. ^[20]

Набросок доказательства с использованием теории Басса – Серра [ править ]

Ниже приводится набросок доказательства теоремы Грушко, основанного на использовании техники сверток для групп, действующих на деревьях ( полные доказательства с использованием этого аргумента см. В ^{[10] [11] [12]} ).

Пусть S = { g ₁ , ...., g _n } - конечное порождающее множество для G = A ∗ B размера | S | = n = ранг ( G ). Реализуйте G как фундаментальную группу графа групп Y, которая представляет собой одно ребро без петель с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Пусть будет покрытие дерево Басса-Серра для Y . Пусть F = F ( x ₁ , ...., x${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {Y}}}}$_n ) - свободная группа со свободным базисом x ₁ , ...., x _n, и пусть φ ₀ : F → G - гомоморфизм такой, что φ ₀ ( x _i ) = g _i для i = 1, ..., п . Представьте F как фундаментальную группу графа Z _0, который представляет собой клин из n окружностей, соответствующих элементам x ₁ , ...., x _n . Мы также думаем оZ ₀ как граф групп с основным графом Z ₀ и тривиальными группами вершин и ребер. Тогда универсальная крышка из Z ₀ и Басса-Серра покрытия дерева для Z ₀ совпадают. Рассмотрим φ ₀ -эквивариантное отображение, которое переводит вершины в вершины и ребра в пути-ребра. Эта карта не является инъективной, и, поскольку и источник, и цель карты являются деревьями, эта карта "сворачивает" некоторые пары ребер в источнике. Граф групп Z ₀ служит в качестве начального приближения для Y .${\ displaystyle {\ tilde {Z}} _ {0}}$${\ displaystyle r_ {0}: {\ tilde {Z}} _ {0} \ to {\ tilde {\ mathbf {Y}}}}$

Теперь мы начинаем выполнять последовательность «складных ходов» на Z ₀ (и на его покрывающем дереве Басса-Серра), чтобы построить последовательность графов групп Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...., которые формируются лучше и лучшие приближения для Y . Каждый из графов групп Z _j имеет тривиальные группы ребер и имеет следующую дополнительную структуру: каждой нетривиальной группе его вершин назначено конечное порождающее множество этой группы вершин. Сложность с ( Z _J ) от Z _J- это сумма размеров порождающих множеств его вершинных групп и ранга свободной группы π ₁ ( Z _j ). Для графика начального приближения c ( Z ₀ ) = n .

Складные ходы, которые переводят Z _j в Z _{j +1,} могут быть одного из двух типов:

• складки, которые идентифицируют два ребра нижележащего графа с общей начальной вершиной, но разными конечными вершинами, в одно ребро; когда выполняется такое сворачивание, порождающие множества групп вершин и концевых ребер «объединяются» вместе в порождающий набор новой группы вершин; ранг фундаментальной группы нижележащего графа не меняется при таком движении.
• складки, идентифицирующие два ребра, у которых уже были общие начальные и общие конечные вершины, в одно ребро; такой ход понижает ранг фундаментальной группы нижележащего графа на 1, и элемент, который соответствует циклу в свертываемом графе, «добавляется» к порождающему множеству одной из групп вершин.

Видно, что складки не увеличивают сложность, но уменьшают количество ребер в Z _j . Следовательно, процесс сворачивания должен завершиться за конечное число шагов графом групп Z _k, который больше не может быть свернут. Из основных теории Басса-Серра соображений , что Z _K фактически должны быть равны краю групп Y и что Z _к оснащен конечных порождающих множеств для групп вершин A и B . Сумма размеров этих порождающих наборов составляет сложность Z _kчто, следовательно, меньше или равно c ( Z ₀ ) = n . Отсюда следует, что сумма рангов групп вершин A и B не превосходит n , т.е. rank ( A ) + rank ( B ) ≤rank ( G ), как требуется.

Набросок доказательства Столлинга [ править ]

Доказательство Столлингса теоремы Грушко следует из следующей леммы.

Лемма [ править ]

Пусть F конечно порожденная свободная группа с n образующими. Пусть G ₁ и G ₂ - две конечно определенные группы. Предположим, что существует сюръективный гомоморфизм , тогда существуют две подгруппы F ₁ и F ₂ группы F с и такие, что .${\ displaystyle \ phi: F \ rightarrow G_ {1} \ ast G_ {2}}$${\ displaystyle \ phi (F_ {1}) = G_ {1}}$${\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}}$${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}$

Доказательство: мы даем доказательство, предполагая, что F не имеет генератора, который отображается в тождество , поскольку, если такие генераторы существуют, они могут быть добавлены к любому из или .${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

При доказательстве используются следующие общие результаты.

1. Существует один или два мерных CW комплекс , Z с фундаментальной группой F . По теореме Ван Кампен , то клин п окружностей является одним из таких пространств.

2. Существует два комплекса, где - точка на одной клетке X такая, что X ₁ и X ₂ - два комплекса с фундаментальными группами G ₁ и G ₂ соответственно. Заметим, что по теореме Ван Кампена это означает, что фундаментальная группа X есть .${\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}$${\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}}$${\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}$

3. Существует такое отображение , что индуцированное отображение на фундаментальных группах такое же, как${\displaystyle f:Z\rightarrow X}$${\displaystyle f_{\ast }}$${\displaystyle \phi }$

Для удобства обозначим и . Поскольку ни один генератор F не отображает тождество, в наборе нет петель, поскольку, если это так, они будут соответствовать окружностям Z, которые отображаются в , которые, в свою очередь, соответствуют генераторам F, которые идут в тождество. Итак, компоненты стягиваемы. В том случае , когда имеется только один компонент, по теореме Ван Кампена, мы сделали, так как в этом случае: .${\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}}$${\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})}$

Общее доказательство следует путем сведения Z к пространству, гомотопически эквивалентного ему, но с меньшим количеством компонентов в , и, таким образом, индукцией по компонентам .${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

Такое уменьшение Z достигается за счет крепления дисков по стяжкам.

Мы называем карту связывания галстук , если он удовлетворяет следующим свойствам${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$

1. Он монохроматический, т.е. или${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{1}}$${\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}}$

2. Галстук то есть и находиться в разных компонентах .${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (1)}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

3. Это нуль т.е. гомотопно нулю в X .${\displaystyle f\circ \gamma ([0,1])}$

Допустим, такая связывающая связь существует. Пусть будет связующим звеном.${\displaystyle \gamma }$

Рассмотрим карту, данную . Это отображение является гомеоморфизмом своего образа. Определите пространство как ${\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}}$${\displaystyle g(t)=e^{it}}$${\displaystyle Z^{'}}$

${\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim }$ куда :${\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ iff}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ or }}\\x=\gamma (t){\text{ and }}y=g(t){\text{ for some }}t\in [0,1]{\mbox{ or }}\\x=g(t){\text{ and }}y=\gamma (t){\text{ for some }}t\in [0,1]\end{cases}}}$

Обратите внимание, что деформация пространства Z ' стягивается в Z. Сначала расширим f до функции как ${\displaystyle f^{''}:Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }$

${\displaystyle f^{''}(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Так как гомотопен нулю, он распространяется на внутреннюю часть диска и, следовательно, на . Пусть i = 1,2 . Как и лежать в разных компонентах , на один компонент меньше .${\displaystyle f(\gamma )}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle Z^{'}}$ ${\displaystyle Z_{i}^{'}=f^{'-1}(X_{i})}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle \gamma (1)}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle Z_{1}^{'}\cap Z_{2}^{'}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$

Строительство связующего стяжки [ править ]

Обвязочный галстук изготавливается в два этапа.

Шаг 1. Построение нулевой связи :

Рассмотрим карту с и в различных компонентах . Так как сюръективна, там выходит из цикла на основе , по Г '(1), что и гомотопически эквивалент в X . Если мы определим кривую как для всех , то это будет нулевая связь.${\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z}$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle \gamma '(1)}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle f_{\ast }}$${\displaystyle \!\lambda }$${\displaystyle \!f(\gamma ')}$${\displaystyle \!f(\lambda )}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z}$${\displaystyle \gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \!\gamma }$

Шаг 2: Делаем нулевую галстук однотонной :

Связь может быть записана так: « где каждый является изгибом» или « если находится внутри , то внутри» и наоборот. Это также означает , что петля на базе р в X . Так,${\displaystyle \!\gamma }$${\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle \gamma _{i+1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

${\displaystyle [e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}$

Следовательно, для некоторого j . Если это галстук, то у нас есть однотонный нулевой галстук. Если не является ничьей, то конечные точки находятся в одной составляющей . В этом случае мы заменяем , скажем, на путь . Этот путь можно добавить, и мы получим новую нулевую привязку${\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}}$${\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}$${\displaystyle \!\gamma _{j}'}$${\displaystyle \!\gamma _{j-1}}$

${\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}}$, где .${\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}$

Таким образом, индукцией по m доказываем существование связывающей связи.

Доказательство теоремы Грушко [ править ]

Предположим, что это порождается . Позвольте быть свободной группе с -производителями, а именно. . Рассмотрим гомоморфизм, задаваемый , где .${\displaystyle G=A*B}$${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}$${\displaystyle h:F\rightarrow G}$${\displaystyle h(f_{i})=g_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

В силу леммы существует свободных групп и с такими , что и . Следовательно, и . Следовательно,${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}$${\displaystyle h(F_{1})=A}$${\displaystyle h(F_{2})=B}$${\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})}$${\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})}$${\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}$

См. Также [ править ]

• Теория Басса – Серра
• Генераторная группа группы

Примечания [ править ]