Пространство Хэмминга

Пространство Хэмминга двоичных строк длины 3. Расстояние между вершинами в графе куба равно расстоянию Хэмминга между строками.

В статистике и теории кодирования , Хэмминга пространство , как правило , множество всех двоичных строк длины N . ^[1]^[2] Он используется в теории кодирования сигналов и передачи. ${\ displaystyle 2 ^ {N}}$

В более общем смысле Хэмминга пространство может быть определено по любому алфавита (набор) Q как множество слов фиксированной длины N с буквами из Q . ^[3]^[4] Если Q представляет собой конечное поле , то Хэмминг пространство над Q представляет собой N - мерное векторное пространство над Q . В типичном двоичном случае поле, таким образом, является GF (2) (также обозначается Z ₂ ). ^[3]

В теории кодирования, если Q имеет q элементов, то любое подмножество C (обычно предполагаемое мощностью не менее двух) N -мерного пространства Хэмминга над Q называется q-ичным кодом длины N ; элементы C называются кодовыми словами . ^[3]^[4] В случае, когда C - линейное подпространство своего пространства Хэмминга, оно называется линейным кодом . ^[3] Типичным примером линейного кода является код Хэмминга.. Коды, определенные через пространство Хэмминга, обязательно имеют одинаковую длину для каждого кодового слова, поэтому они называются блочными кодами, когда необходимо отличать их от кодов переменной длины , которые определяются уникальной факторизацией на моноиде.

Расстояние Хэмминга наделяет пространство Хэмминга метрикой , которая важна для определения основных понятий теории кодирования, таких как коды обнаружения и исправления ошибок . ^[3]

Также рассматривались пространства Хэмминга над неполевыми алфавитами, особенно над конечными кольцами (особенно над Z ₄ ), приводящими к модулям вместо векторных пространств и кольцевым линейным кодам (отождествленным с подмодулями ) вместо линейных кодов. Типичная метрика, используемая в этом случае, - расстояние Ли . Существует изометрия Грея между (то есть GF (2 ^2m )) с расстоянием Хэмминга и (также обозначается как GR (4, m)) с расстоянием Ли. ^[5]^[6]^[7] ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} ^ {2m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} ^ {m}}$

Ссылки [ править ]

^ Бейлис, DJ (1997), Коды с исправлением ошибок: математическое введение , Chapman Hall / CRC Mathematics Series, 15 , CRC Press, p. 62, ISBN 9780412786907
^ Коэн, G .; Хонкала, I .; Лицын, С .; Лобштейн А. (1997), Покрывающие коды , Математическая библиотека Северной Голландии, 54 , Elsevier, стр. 1, ISBN 9780080530079
^ а б в г д Дерек Дж. С. Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. С. 254–255. ISBN 978-3-11-019816-4.
^ a b Коэн и др., Прикрывающие коды , стр. 15
^ Маркус Греферат (2009). «Введение в теорию линейного кодирования». В Массимилиано Сала; Тео Мора; Людовик Перре; Сёдзиро Саката; Карло Траверсо (ред.). Основы Грёбнера, кодирование и криптография . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.
^ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes
^ JH ван Линт (1999). Введение в теорию кодирования (3-е изд.). Springer. Глава 8: Коды ₄ . ISBN 978-3-540-64133-9.

Эта статья по алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Бейлис, DJ (1997), Коды с исправлением ошибок: математическое введение , Chapman Hall / CRC Mathematics Series, 15 , CRC Press, p. 62, ISBN 9780412786907

[2] Коэн, G .; Хонкала, I .; Лицын, С .; Лобштейн А. (1997), Покрывающие коды , Математическая библиотека Северной Голландии, 54 , Elsevier, стр. 1, ISBN 9780080530079

[Robinson2003-3] а б в г д Дерек Дж. С. Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. С. 254–255. ISBN 978-3-11-019816-4.

[cc15-4] Коэн и др., Прикрывающие коды , стр. 15

[Greferath2009-5] Маркус Греферат (2009). «Введение в теорию линейного кодирования». В Массимилиано Сала; Тео Мора; Людовик Перре; Сёдзиро Саката; Карло Траверсо (ред.). Основы Грёбнера, кодирование и криптография . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.

[6] ttp://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes

[Lint1999-7] JH ван Линт (1999). Введение в теорию кодирования (3-е изд.). Springer. Глава 8: Коды ₄ . ISBN 978-3-540-64133-9.

[1]