Функция Ханна

Функция Ханна (слева) и ее частотная характеристика (справа)

Функция Hann длины используется для выполнения Hann сглаживания , ^[1] назван в честь австрийского метеоролога Юлиус фон Hann , является функция окна задается :${\ displaystyle L,}$

${\ Displaystyle w_ {0} (х) \ треугольник \ left \ {{\ begin {array} {ccl} {\ tfrac {1} {2}} \ left (1+ \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi x} {L}} \ right) \ right) = \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi x} {L}} \ right), \ quad & \ left | x \ right | \ leq L / 2 \\ 0, \ quad & \ left | x \ right |> L / 2 \ end {array}} \ right \}.}$   ^[2]

Для цифровой обработки сигнала функция может быть дискретизирована симметрично как :

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

где длина окна равна, а N может быть четным или нечетным. (см функции окна ) Он также известен как поднятом окна косинуса , Hann фильтр , окно фона Hann и т.д. ^{[3] [4]}${\displaystyle N+1,}$

Преобразование Фурье [ править ]

Вверху: 16 образцов DFT-четного окна Ханна. Внизу: его дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) и 3 ненулевых значения его дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Преобразование Фурье задается следующим образом:${\displaystyle w_{0}(x)}$

${\displaystyle W_{0}(f)={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi f(1-L^{2}f^{2})}}}$   ^[а]

Эквивалентное выражение находится из формулировки как линейная комбинация модулированных прямоугольных окон :

${\displaystyle \mathrm {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad L\cdot \mathrm {sinc} (Lf)={\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi f}}.}$

Используя формулу Эйлера для разложения члена косинуса, мы можем написать :

${\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\mathrm {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\mathrm {rect} (x/L),}$

чье преобразование Фурье справедливо :

${\displaystyle W_{0}(f)={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi f}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi L(f-1/L))}{\pi (f-1/L)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi L(f+1/L))}{\pi (f+1/L)}}.}$

Дискретные преобразования [ править ]

Дискретное время преобразования Фурье (ДВПФ) из N + 1 длины, последовательность со сдвигом во время определяются рядом Фурье, который также имеет 3-эквивалент термина , который является производным аналогично преобразованием Фурье выводу :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

Для четных значений N усеченная последовательность представляет собой DFT-четное (также известное как периодическое ) окно Ханна. Поскольку усеченная выборка имеет нулевое значение, из определения ряда Фурье ясно, что ДВПФ эквивалентны. Однако использованный выше подход приводит к существенно иному, но эквивалентному трехчленному выражению :${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

ДПФ N-длины оконной функции производит выборку ДПФ с частотами для целых значений. Из выражения, приведенного непосредственно выше, легко увидеть, что только 3 из N коэффициентов ДПФ не равны нулю. А из другого выражения очевидно, что все имеют настоящую ценность. Эти свойства привлекательны для приложений реального времени, которым требуются как оконные, так и не оконные (прямоугольные оконные) преобразования, поскольку оконные преобразования могут быть эффективно получены из не оконных преобразований путем свертки . ^{[5] [b] [c]}${\displaystyle f=k/N,}$${\displaystyle k.}$

Имя [ редактировать ]

Функция названа в честь фон Ханна, который использовал метод трехчленного сглаживания средневзвешенного значения для метеорологических данных. ^{[6] [3]} Тем не менее, ошибочная ^[2] функция «Ханнинга» также иногда встречается, происходящая из статьи, в которой она была названа, где термин «обработка сигнала» использовался для обозначения применения окна Ханна. к нему. ^{[7] [8]} Путаница возникла из-за похожей функции Хэмминга , названной в честь Ричарда Хэмминга .

См. Также [ править ]

• Оконная функция
• Аподизация
• Распределение приподнятого косинуса
• Фильтр с приподнятым косинусом

Цитирование страниц [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Функция Ханна в MathWorld