В математической теме теории групп , то гипотеза Хана Нейман является утверждение о ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп в виде свободной группы . Гипотеза была высказана Ханной Нойманн в 1957 г. [1] В 2011 г. усиленная версия гипотезы (см. Ниже ) была независимо доказана Джоэлем Фридманом [2] и Игорем Минеевым. [3]
В 2017 году Андреем Яикиным-Запирейным было опубликовано третье доказательство гипотезы Усиленной Ханны Нойман, основанное на гомологических аргументах, вдохновленных соображениями про-p-группы . [4]
История
Предмет этой гипотезы был изначально мотивирован 1954 теоремы Хаусона [5] , который доказал , что пересечение любых два конечно порожденных подгрупп одного свободной группы всегда конечно порожден, то есть, имеет конечный ранг . В этой статье Хаусон доказал, что если H и K - подгруппы свободной группы F ( X ) конечных рангов n ≥ 1 и m ≥ 1, то ранг s группы H ∩ K удовлетворяет:
- с - 1 ≤ 2 мин - м - п .
В статье 1956 года [6] Ханна Нойман улучшила эту оценку, показав, что:
- s - 1 ≤ 2 mn - 2m - n .
В приложении 1957 г. [1] Ханна Нойман дополнительно улучшила эту оценку, чтобы показать, что при сделанных выше предположениях
- s - 1 ≤ 2 ( m - 1) ( n - 1).
Она также предположила, что множитель 2 в приведенном выше неравенстве необязателен и что всегда
- s - 1 ≤ ( m - 1) ( n - 1).
Это утверждение стало известно как гипотеза Ханны Нойман .
Официальное заявление
Пусть Н , К ≤ Р ( Х ) два нетривиальных конечно порожденных подгрупп свободной группы F ( X ) , и пусть L = H ∩ K пересечение H и K . Гипотеза гласит, что в этом случае
- ранг ( L ) - 1 ≤ (ранг ( H ) - 1) (ранг ( K ) - 1).
Здесь для группы G величина ранга ( G ) является ранг из G , то есть, самый маленький размер генераторной установки для G . Каждая подгруппа из свободной группы , как известно, свободна сама и ранг из свободной группы равен размеру любой свободной основе этой свободной группы.
Усиленная гипотеза Ханны Нойман
Если H , K ≤ G две подгруппы группы G , и если , б ∈ G определяют один и тот же двойной класс Hák = HBK , то на подгруппы H ∩ AKA -1 и Н ∩ BKB -1 являются сопряженными в G , и , таким образом , иметь такой же ранг . Известно, что если H , K ≤ F ( X ) - конечно порожденные подгруппы конечно порожденной свободной группы F ( X ), то существует не более конечного числа классов двойных смежных классов HaK в F ( X ) таких, что H ∩ aKa −1 ≠ {1}. Предположим, что существует хотя бы один такой двойной класс смежности, и пусть a 1 , ..., a n - все различные представители таких двойных классов смежности. Укреплена Ханна Neumann гипотеза , сформулированная ее сын Вальтер Neumann (1990), [7] утверждает , что в этой ситуации
Усиленная гипотеза Ханны Нойман была доказана в 2011 году Джоэлем Фридманом. [2] Вскоре после этого Игорь Минеев дал еще одно доказательство. [3]
Частичные результаты и другие обобщения
- В 1971 г. Бернс улучшил [8] оценку Ханны Нойман 1957 г. и доказал, что при тех же предположениях, что и в статье Ханны Нойман,
- s ≤ 2 мин - 3 м - 2 п + 4.
- В статье 1990 года [7] Вальтер Нойман сформулировал усиленную гипотезу Ханны Нойман (см. Утверждение выше).
- Тардос (1992) [9] установил усиленную гипотезу Ханны Нейман для случая, когда хотя бы одна из подгрупп H и K в F ( X ) имеет ранг два. Как и большинство других подходов к гипотезе Ханны Нойман, Тардос использовал технику графов подгрупп Столлингса [10] для анализа подгрупп свободных групп и их пересечений.
- Уоррен Дикс (1994) [11] установил эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нойман и теоретико-графического утверждения, которое он назвал гипотезой об объединенном графе .
- Аржанцева (2000) доказала [12], что если H - конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в F ( X ), то в определенном статистическом смысле для типичной конечно порожденной подгруппы в , Мы имеем Н ∩ ГКГ -1 = {1} для всех г в F . Таким образом, усиленная гипотеза Ханны Нойман верна для любого H и K общего положения .
- В 2001 году Дикс и Форманек установили усиленную гипотезу Ханны Нойман для случая, когда хотя бы одна из подгрупп H и K группы F ( X ) имеет ранг не выше трех. [13]
- Хан (2002) [14] и, независимо, Микин и Вейл (2002), [15] показали, что заключение усиленной гипотезы Ханны Нейман верно, если одна из подгрупп H , K в F ( X ) положительно порождена , т.е. есть, порожденный конечным набором слов, которые включают только элементы X, но не X −1 как буквы.
- Иванов [16] [17] и Дикс и Иванова [18] , полученные аналоги и обобщение результатов Hanna Неймана для пересечения подгрупп H и K о наличии свободного произведения нескольких групп.
- Уайз (2005) утверждал [19], что усиленная гипотеза Ханны Нойман влечет за собой еще одну давнюю теоретико-групповую гипотезу, согласно которой каждая группа с одним соотношением и кручением когерентна (то есть каждая конечно порожденная подгруппа в такой группе конечно представима ).
Смотрите также
- Геометрическая теория групп
Рекомендации
- ^ а б Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Дополнение. Publicationes Mathematicae Debrecen , vol. 5 (1957), стр. 128
- ^ a b Джоэл Фридман, "Пучки на графах, их гомологические инварианты и доказательство гипотезы Ханны Нойман", American Mathematical Soc., 2014
- ^ a b Игорь Миневев, "Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нойман". Аня. матем., 175 (2012), вып. 1, 393-414.
- ^ Андрей Яикин-Запирейн, Аппроксимация подгруппами конечного индекса и гипотеза Ханны Нойман , Duke Mathematical Journal , 166 (2017), no. 10. С. 1955–1987.
- ^ А.Г. Хаусон. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Журнал Лондонского математического общества , вып. 29 (1954), стр. 428–434.
- ^ Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.
- ^ a b Вальтер Нойман. О пересечениях конечно порожденных подгрупп свободных групп. Группы - Канберра, 1989, стр. 161–170. Конспект лекций по математике, т. 1456, Спрингер, Берлин, 1990; ISBN 3-540-53475-X
- ^ Роберт Г. Бернс. О пересечении конечно порожденных подгрупп свободной группы. Mathematische Zeitschrift , т. 119 (1971), стр. 121–130.
- ^ Габор Тардос. О пересечении подгрупп свободной группы. Inventiones Mathematicae , т. 108 (1992), нет. 1. С. 29–36.
- ^ Джон Р. Столлингс. Топология конечных графов. Inventiones Mathematicae , т. 71 (1983), нет. 3. С. 551–565.
- ^ Уоррен Дикс. Эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нейман и гипотезы об объединенном графе. Inventiones Mathematicae , т. 117 (1994), нет. 3. С. 373–389.
- ^ GN Аржанцева. Об одном свойстве подгрупп бесконечного индекса в свободной группе Proc. Амер. Математика. Soc. 128 (2000), 3205–3210.
- ^ Уоррен Дикс и Эдвард Форманек . Случай третьего ранга гипотезы Ханны Нойман. Журнал теории групп, т. 4 (2001), нет. 2. С. 113–151.
- ↑ Билал Хан. Положительно порожденные подгруппы свободных групп и гипотеза Ханны Нойман. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 / Хобокен, штат Нью-Джерси, 2001), 155–170, Contemporary Mathematics, vol. 296, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2002; ISBN 0-8218-2822-3
- ^ J. Микин, П. Вайль. Подгруппы свободных групп: вклад в гипотезу Ханны Нойман. Труды конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000). Geometriae Dedicata , vol. 94 (2002), стр. 33–43.
- ^ Иванов С.В. Пересечение свободных подгрупп в свободных произведениях групп. Международный журнал алгебры и вычислений, вып. 11 (2001), нет. 3. С. 281–290.
- ^ Иванов С.В. О ранге Куроша пересечения подгрупп в свободных произведениях групп . Успехи в математике , т. 218 (2008), нет. 2. С. 465–484.
- ↑ Уоррен Дикс и С.В. Иванов. О пересечении свободных подгрупп в свободных произведениях групп. Математические труды Кембриджского философского общества, вып. 144 (2008), нет. 3. С. 511–534.
- ^ Когерентность групп одного отношения с кручением и гипотеза Ханны Нейман. Бюллетень Лондонского математического общества , т. 37 (2005), нет. 5. С. 697–705.