Гипотезы о дзета-функции Харди – Литтлвуда

В математике гипотезы о дзета-функции Харди – Литтлвуда , названные в честь Годфри Гарольда Харди и Джона Эденсора Литтлвуда , представляют собой две гипотезы относительно расстояний между нулями и плотности нулей дзета-функции Римана .

Домыслы [ править ]

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал ^[1], что дзета-функция Римана имеет бесконечно много действительных нулей.${\ displaystyle \ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} + оно {\ bigr)}}$

Пусть - общее количество действительных нулей, - общее количество нулей нечетного порядка функции , лежащих на интервале .${\ Displaystyle N (T)}$${\ displaystyle N_ {0} (T)}$${\ displaystyle \ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} + оно {\ bigr)}}$${\ displaystyle (0, T]}$

Харди и Литтлвуд ^[2] выдвинули две гипотезы. Эти гипотезы - на расстоянии между вещественными нулями и о плотности нулей на интервалах при достаточно велики , и с как можно меньше значения , где находится сколь угодно малое число - открытие двух новых направления в исследовании дзеты Римана функция.${\ displaystyle \ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} + оно {\ bigr)}}$${\ displaystyle \ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} + оно {\ bigr)}}$${\ displaystyle (T, T + H]}$${\ displaystyle T> 0}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. Для любого существует такое, что при и интервал содержит нуль нечетного порядка функции .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.25+\varepsilon }}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

2. Для любого существуют такие и , что для и выполняется неравенство .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Статус [ править ]

В 1942 г. Атле Сельберг изучил задачу 2 и доказал, что для любого существует такое и , такое, что для и выполняется неравенство .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$

В свою очередь, Сельберг высказал гипотезу ^[3] о возможности уменьшения значения показателя степени, для которой 42 года спустя было доказано А.А. Карацуба . ^[4]${\displaystyle a=0.5}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$

Ссылки [ править ]