В механике жидкости , теорема минимальной диссипации Гельмгольца ( по имени Германа фон Гельмгольца , который опубликовал его в 1868 году [1] [2] ) утверждает , что устойчивые Стокса движение потоком из в несжимаемой жидкости имеет наименьший скорость диссипации , чем любой другой несжимаемой движения с та же скорость на границе . [3] [4] Теорема также была изучена Дидериком Кортевегом в 1883 г. [5] и лордом Рэлеем в 1913 г. [6]
Эта теорема фактически верна для любого движения жидкости, где нелинейным членом уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости можно пренебречь или, что то же самое, когда , где - вектор завихренности . Например, теорема также относится к однонаправленным потокам , такие как Куэтта и поток Хагена-Пуазейль , где нелинейные члены исчезают автоматически.
Математическое доказательство
Позволять а также быть скорость, давление и тензор скорости деформации Из потоком Стокса и а также - тензор скорости, давления и скорости деформации любого другого несжимаемого движения сна границе. Позволять а также - представление тензора скорости и деформации в индексной записи , где индекс принимает значения от одного до трех.
Рассмотрим следующий интеграл
где в вышеприведенном интеграле остается только симметричная часть тензора деформации, потому что сжатие симметричного и антисимметричного тензора тождественно равно нулю. Интеграция по частям дает
Первый интеграл равен нулю, потому что скорости на границах двух полей равны. Теперь о втором интеграле, посколькуудовлетворяет уравнению Стокса , т. е., мы можем написать
Снова выполнение интеграции по частям дает
Первый интеграл равен нулю, потому что скорости равны, а второй интеграл равен нулю, потому что течение в несжимаемой среде, т. Е. . Следовательно, у нас есть тождество, которое говорит:
Полная скорость вязкой диссипации энергии по всему объему поля дан кем-то
и после перестановки с использованием указанного выше тождества мы получаем
Если - полная скорость вязкой диссипации энергии по всему объему поля , то имеем
- .
Второй интеграл неотрицателен и равен нулю, только если , тем самым доказывая теорему.
Теорема Пуазейля о потоке
Теорема Пуазейля [7] является следствием теоремы Гельмгольца, согласно которой стационарный ламинарный поток несжимаемой вязкой жидкости по прямой трубе произвольного поперечного сечения характеризуется тем свойством, что диссипация ее энергии является наименьшей среди всех ламинарных (или пространственно-периодический) течет по трубе с одинаковым общим потоком.
Рекомендации
- ^ Гельмгольц, Х. (1868). Верх. натургист.-мед. Вер. Wiss. Абх, 1, 223.
- ^ фон Гельмгольц, Х. (1868). Zur Theorie der stationären Ströme в reibenden Flüssigkeiten. Верх. Натур.-Мед. Вер. Хайдельб, 11, 223.
- ^ Лэмб, Х. (1932). Гидродинамика. Пресса Кембриджского университета.
- Перейти ↑ Batchelor, GK (2000). Введение в гидродинамику. Пресса Кембриджского университета.
- ^ Кортевег, DJ (1883). XVII. Об общей теореме об устойчивости движения вязкой жидкости. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 16 (98), 112-118.
- ^ Рэлей, Л. (1913). LXV. О движении вязкой жидкости. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 26 (154), 776-786.
- ^ Серрин, Дж. (1959). Математические основы классической механики жидкости. In Fluid Dynamics I / Strömungsmechanik I (стр. 125-263). Шпрингер, Берлин, Гейдельберг.