Тензор скорости деформации

Двумерный поток, который в выделенной точке имеет только компонент скорости деформации, без средней скорости или компонента вращения.

В механике сплошной среды , то тензор деформации скорости или скорости изменения напряжения тензор является физической величиной , которая описывает скорость изменения от деформации материала в окрестности некоторой точки, в определенный момент времени. Она может быть определена как производная от тензора деформации по отношению к времени, или в качестве симметричного компонента градиента (производной по отношению к положению) от скорости потока . В гидромеханике это также можно описать как градиент скорости , меру того, как скоростьжидкости меняется между разными точками внутри жидкости. ^[1] Хотя этот термин может относиться к различиям в скорости между слоями потока в трубе, ^[2] он часто используется для обозначения градиента скорости потока относительно его координат . ^[3] Эта концепция имеет значение в различных областях физики и техники , включая магнитогидродинамику , горное дело и водоочистку. ^{[4] [5] [6]}

Тензор скорости деформации - это чисто кинематическая концепция, описывающая макроскопическое движение материала. Следовательно, это не зависит от природы материала или от сил и напряжений, которые могут на него воздействовать; и это применимо к любой непрерывной среде , будь то твердой , жидкой или газовой .

С другой стороны, для любой жидкости, кроме сверхтекучей , любое постепенное изменение ее деформации (т. Е. Ненулевой тензор скорости деформации) приводит к возникновению вязких сил внутри ее из-за трения между соседними жидкостными элементами , которые стремятся противодействовать этому изменению . В любой точке жидкости эти напряжения могут быть описаны тензором вязких напряжений, который почти всегда полностью определяется тензором скорости деформации и некоторыми внутренними свойствами жидкости в этой точке. Вязкое напряжение также возникает в твердых телах в дополнение к упругому напряжению, наблюдаемому при статической деформации; когда он слишком велик, чтобы его можно было игнорировать, говорят, что материалвязкоупругий .

Размерный анализ [ править ]

Выполняя анализ размеров, можно определить размеры градиента скорости. Размеры скорости есть , а размеры расстояния есть . Поскольку градиент скорости можно выразить как . Таким образом, градиент скорости имеет те же размеры, что и это соотношение, то есть .${\ displaystyle M ^ {0} L ^ {1} T ^ {- 1}}$${\ displaystyle M ^ {0} L ^ {1} T ^ {0}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta {\ text {скорость}}} {\ Delta {\ text {distance}}}}}$${\ displaystyle M ^ {0} L ^ {0} T ^ {- 1}}$

В механике сплошных сред [ править ]

В трехмерном пространстве градиент скорости представляет собой тензор второго порядка (см. Ниже), который можно транспонировать как матрицу :${\ displaystyle \ nabla {\ bf {v}}}$${\ displaystyle {\ bf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {J}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {L}}}$

${\displaystyle {\bf {{L}=(\nabla {\bf {{v})^{\intercal }={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}}}}}$

${\displaystyle {\bf {L}}}$можно разложить на сумму симметричной матрицы и кососимметричной матрицы следующим образом${\displaystyle {\textbf {E}}}$ ${\displaystyle {\textbf {W}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {E}}&={\frac {1}{2}}\left({\bf {{L}+{\bf {{L}^{\textsf {T}}}}}}\right)\\{\bf {W}}&={\frac {1}{2}}\left({\bf {{L}-{\bf {{L}^{\textsf {T}}}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\textbf {E}}}$называется тензором скорости деформации и описывает скорость растяжения и сдвига. называется тензором спина и описывает скорость вращения. ^[7]${\displaystyle {\textbf {W}}}$

Связь между касательным напряжением и полем скорости [ править ]

Сэр Исаак Ньютон предположил, что напряжение сдвига прямо пропорционально градиенту скорости: ^[8]

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}}$.

Константа пропорциональности , , называется динамической вязкостью .${\displaystyle \mu }$

Формальное определение [ править ]

Рассмотрим материальное тело, твердое или жидкое, которое течет и / или движется в пространстве. Пусть v - поле скорости внутри тела; то есть гладкая функция из ℝ ³ × ℝ такая, что v ( p , t ) - это макроскопическая скорость материала, проходящего через точку p в момент времени t .

Скорость v ( p + r , t ) в точке, смещенной от p на небольшой вектор r, можно записать в виде ряда Тейлора :

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$

где ∇ v градиент поля скорости, понимаемый как линейная карта, которая переводит вектор смещения r в соответствующее изменение скорости.

В произвольной системе отсчета , ∇ v связана с матрицы Якоби поля, а именно в 3 -х измерениях это матрица 3 × 3

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$

где v _i - компонент v, параллельный оси i, а ∂ _j f обозначает частную производную функции f по пространственной координате x _j . Обратите внимание, что J является функцией p и t .

В этой системе координат приближение Тейлора для скорости вблизи p имеет вид

${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$

или просто

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$

если v и r рассматриваются как матрицы 3 × 1.

Симметричные и антисимметричные детали [ править ]

Любую матрицу можно разложить на сумму симметричной матрицы и антисимметричной матрицы . Применяя это к матрице Якоби J = ∇ v с симметричной и антисимметричной компонентами E и R соответственно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физическое значение. Тогда поле скорости можно аппроксимировать как

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$

это,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$

Антисимметричный член R представляет собой жесткое вращение жидкости вокруг точки p . Его угловая скорость равна ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$

Произведение ∇ × v называется ротором вращения векторного поля. Жесткое вращение не изменяет относительного положения элементов жидкости, поэтому антисимметричный член R градиента скорости не влияет на скорость изменения деформации. Таким образом, фактическая скорость деформации описывается симметричным членом E , который является тензором скорости деформации .

Скорость сдвига и степень сжатия [ править ]

Симметричный член E градиента скорости (тензор скорости деформации) может быть далее разбит как сумма скаляра, умноженного на единичный тензор, который представляет постепенное изотропное расширение или сжатие; и бесследный симметричный тензор, который представляет собой постепенную деформацию сдвига без изменения объема: ^[9]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$

Это,

${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}D_{ij}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)\left(1-\delta _{ij}\right)} _{{\text{rate-of-shear tensor }}S_{ij}},}$

Здесь δ - единичный тензор , такой, что δ _ij равно 1, если i = j, и 0, если i ≠ j . Это разложение не зависит от выбора системы координат и поэтому имеет физическое значение.

Тензор скорости расширения равен 1/3от дивергенции поля скоростей:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$

это скорость, с которой объем фиксированного количества жидкости увеличивается в этой точке.

Тензор скорости сдвига представлен симметричной матрицей 3 × 3 и описывает поток, который объединяет потоки сжатия и расширения вдоль трех ортогональных осей, так что объем не изменяется. Этот тип течения возникает, например, когда резиновую полоску растягивают, потянув за концы, или когда мед падает с ложки гладкой непрерывной струей.

Для двумерного потока дивергенция v имеет только два члена и количественно определяет изменение площади, а не объема. Фактор 1/3 в члене коэффициента расширения следует заменить на1/2 в этом случае.

Примеры [ править ]

Изучение градиентов скорости полезно при анализе материалов, зависящих от траектории, и при последующем изучении напряжений и деформаций; например, пластическая деформация из металлов . ^[3] Пристенный градиент скорости несгоревших реагентов, вытекающих из трубы, является ключевым параметром для характеристики стабильности пламени. ^{[5] : 1–3} Градиент скорости плазмы может определять условия для решений фундаментальных уравнений магнитной гидродинамики. ^[4]

Жидкость в трубе [ править ]

Рассмотрим поле скоростей жидкости, текущей по трубе . Слой жидкости, контактирующей с трубой, обычно находится в состоянии покоя по отношению к трубе. Это называется условием прилипания . ^[10] Если разница скоростей между слоями жидкости в центре трубы и по бокам трубы достаточно мала, то течение жидкости наблюдается в виде сплошных слоев. Этот тип течения называется ламинарным .

Скорость потока разность между соседними слоями может быть измерена в терминах градиента скорости, задается . Где - разница в скорости потока между двумя слоями, а - расстояние между слоями.${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$${\displaystyle \Delta u}$${\displaystyle \Delta y}$

См. Также [ править ]

• Тензор напряжения (значения)
• Теория конечных деформаций # Производная по времени градиента деформации , пространственного градиента и градиента скорости материала из механики сплошной среды

Ссылки [ править ]