В алгебре термин кольцо Эрмита (в честь Чарльза Эрмита ) применялся к трем различным объектам.
Согласно Капланскому (1949) (стр. 465), кольцо является эрмитовым справа, если для каждых двух элементов a и b кольца существует элемент d кольца и обратимая матрица M 2 на 2 над кольцом, такая как что (ab) M = (d 0) . (Термин « левый Эрмит» определяется аналогично.) Матрицы над таким кольцом могут быть приведены в нормальную форму Эрмита путем умножения справа на квадратную обратимую матрицу ( Капланский (1949) , стр. 468.) Лам (2006) (приложение к §I .4) называет это свойство K-Hermite , используя Hermite вместо этого в смысле, приведенном ниже.
Согласно Ламу (1978) (§I.4, с. 26), кольцо является эрмитовым справа, если любой конечно порожденный стабильно свободный правый модуль над кольцом свободен. Это эквивалентно требованию, чтобы любой вектор-строка (b 1 , ..., b n ) элементов кольца, которые его порождают как правый модуль (т. Е. B 1 R + ... + b n R = R ), мог быть завершается до (не обязательно квадратной) обратимой матрицы путем добавления некоторого количества строк. (Критерий левого Эрмита может быть определен аналогично.) Лисснер (1965) (стр. 528) ранее назвал коммутативное кольцо с этим свойством H-кольцом .
Согласно Кону (2006) (§0.4), кольцо является эрмитовым, если помимо того, что каждый стабильно свободный (левый) модуль свободен, оно имеет IBN .
Все коммутативные кольца, которые являются эрмитовыми в смысле Капланского, также являются эрмитами в смысле Лама, но обратное не обязательно верно. Все области Безу являются эрмитовыми в смысле Капланского, и коммутативное кольцо, которое является эрмитовым в смысле Капланского, также является кольцом Безу ( Lam (2006) , стр. 39-40).
Гипотеза кольца Эрмита , введенная Ламом (1978) (стр. Xi), утверждает, что если R - коммутативное кольцо Эрмита, то R [ x ] - кольцо Эрмита.
Рекомендации
- Кона, PM (2000), "От Эрмита колец к доменам Сильвестра", Труды Американского математического общества , 128 (7): 1899-1904, DOI : 10,1090 / S0002-9939-99-05189-8 , ISSN 0002-9939 , MR 1646314
- Кон, PM (2006), Бесплатные идеальные кольца и локализация в общих кольцах , Cambridge University Press, ISBN 9780521853378
- Капланский, Ирвинг (1949), "Элементарные делители и модули", Труды Американского математического общества , 66 : 464-491, DOI : 10,2307 / 1990591 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990591 , МР 0031470
- Lam, TY (1978), гипотеза Серра , Лекции по математике, 635 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0068340 , ISBN 978-3-540-08657-4, MR 0485842
- Лам, Т.Ю. (2006), Проблема Серра о проективных модулях , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-540-34575-6 , ISBN 978-3-540-23317-6
- Лисснер, Дэвид (1965), "Внешние кольца продукта", Труды Американского математического общества , 116 : 526-535, DOI : 10,2307 / 1994132 , ISSN 0002-9947 , MR 0186687