Полярная кривая
В алгебраической геометрии первой полярой или просто полярой алгебраической плоской кривой C степени n относительно точки Q является алгебраическая кривая степени n − 1, которая содержит каждую точку C , касательная которой проходит через Q. Он используется для исследования связи между кривой и двойственной ей , например, при выводе формул Плюккера .
Пусть C определяется в однородных координатах как f ( x, y, z ) = 0, где f — однородный полином степени n , и пусть однородные координаты Q равны ( a , b , c ). Определите оператора
Тогда ∆Qf является однородным полиномом степени n −1, а ∆Qf ( x , y , z ) = 0 определяет кривую степени n − 1 , называемую первой полярой C относительно Q.
В частности, P находится на пересечении C и его первой поляры относительно Q тогда и только тогда , когда Q находится на касательной к C в P . Для двойной точки C все частные производные от f равны 0, поэтому первая поляра также содержит эти точки.
Класс C может быть определен как количество касательных, которые могут быть проведены к C из точки, не принадлежащей C (с учетом кратностей и включая мнимые касательные). Каждая из этих касательных касается C в одной из точек пересечения C и первой поляры, и по теореме Безу их не более n ( n −1). Это устанавливает верхнюю границу n ( n −1) для класса кривой степени n . Класс можно вычислить точно, подсчитав количество и тип особых точек на C (см.Формула Плюкера ).
p-я поляра C для натурального числа p определяется как Δ Q p f ( x, y, z ) = 0. Это кривая степени n − p . Когда p равно n −1, p -я поляра является линией, называемой полярной линией C относительно Q . Точно так же, когда p равно n − 2 , кривая называется полярной коникой C .
