Восемнадцатая проблема Гильберта - одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году математиком Дэвидом Гильбертом . Он задает три отдельных вопроса о решетках и упаковке сфер в евклидовом пространстве. [1]
Группы симметрии в Габаритные размеры
Первая часть проблемы спрашивает, существует ли только конечное число существенно различных пространственных групп в-мерное евклидово пространство . На это утвердительно ответил Бибербах .
Анизоэдральная мозаика в 3-х измерениях
Вторая часть проблемы спрашивает, существует ли многогранник, который покрывает трехмерное евклидово пространство, но не является фундаментальной областью какой-либо пространственной группы; то есть, которая мозаика, но не допускает изоэдральной (тайлово- транзитивной ) мозаики. Такие плитки теперь известны как анизоэдральные . Задавая задачу в трех измерениях, Гильберт, вероятно, предполагал, что такой плитки не существует в двух измерениях; это предположение позже оказалось неверным.
Первая такая плитка в трех измерениях была обнаружена Карлом Рейнхардтом в 1928 году. Первый пример в двух измерениях был обнаружен Хишем в 1935 году. [2] Связанная проблема Эйнштейна требует формы, которая может мозаить пространство, но не с бесконечной циклической группой симметрий.
Упаковка сфер
Третья часть задачи требует наиболее плотной упаковки сфер или упаковки других заданных форм. Хотя он явно включает формы, отличные от сфер, обычно считается эквивалентным гипотезе Кеплера .
В 1998 году американский математик Томас Каллистер Хейлз представил компьютерное доказательство гипотезы Кеплера. Он показывает, что наиболее компактный способ упаковки сфер - это форма пирамиды. [3]
Рекомендации
- ^ Милнор 1976 .
- ^ Эдвардс 2003 .
- Перейти ↑ Hales 2005 .
- Эдвардс, Стив (2003), Черепица Heesch в , архивируются с оригинала на 18 июля 2011
- Hales, Томас С. (2005), "Доказательство гипотезы Кеплера" (PDF) , Анналы математики , 162 (3): 1065-1185, Arxiv : математика / 9811078 , DOI : 10,4007 / annals.2005.162.1065
- Милнор, Дж. (1976), «Проблема Гильберта 18», у Браудера, Феликс Э. (ред.), Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Труды симпозиумов по чистой математике, 28 , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-1428-1