В плоской геометрии проблема Эйнштейна спрашивает о существовании единственного прототипа, который сам по себе образует апериодический набор прототипов , то есть форму, которая может замощить пространство, но только непериодическим образом. Такая форма называется «Эйнштейн» (не путать с физиком Альбертом Эйнштейном ), это игра немецких слов ein Stein , означающих одну плитку.. В зависимости от конкретных определений непериодичности и спецификаций того, какие наборы могут квалифицироваться как плитки и какие типы правил сопоставления разрешены, проблема либо открыта, либо решена. Проблему Эйнштейна можно рассматривать как естественное расширение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта , которая требует единственного многогранника, который мозаично покрывает евклидово 3-пространство, но так, чтобы мозаика этим многогранником не была изоэдральной . [1] Такие анизоэдральные плитки были обнаружены Карлом Рейнхардтом в 1928 году, но эти анизоэдральные плитки периодически занимают все пространство плитки.
Предлагаемые решения [ править ]
В 1988 году Питер Шмитт обнаружил единственный апериодический прототип в трехмерном евклидовом пространстве . Хотя ни одна мозаика с помощью этого прототипа не допускает трансляцию как симметрию, некоторые из них обладают винтовой симметрией . Винтовая операция включает в себя комбинацию сдвига и вращения на иррациональное кратное π, поэтому никакое количество повторных операций никогда не приведет к чистому переносу. Впоследствии эта конструкция была расширена Джоном Хортоном Конвеем и Людвигом Данцером на выпуклый апериодический прототип, плитку Шмитта-Конвея-Данцера . Наличие винтовой симметрии привело к переоценке требований непериодичности. [2] Хаим Гудман-ШтраусПредполагается , что черепица считается сильно апериодической , если она не допускает бесконечную циклическую группы из евклидовых движений как симметрии, и что только наборы плитки , которые обеспечение соблюдение сильной апериодичности называть сильно апериодическими, в то время как другие наборы называться слабо апериодическими . [3]
В 1996 году Петра Гуммельт построила декорированную десятиугольную плитку и показала, что когда разрешены два вида перекрытия между парами плиток, плитки могут покрывать плоскость, но только непериодически. [4] Под плиткой обычно понимается покрытие без нахлеста, поэтому плитка Gummelt не считается апериодическим прототипом. В начале 2010 года Джошуа Соколар и Джоан Тейлор предложили апериодический набор плиток на евклидовой плоскости , состоящий только из одной плитки - плитки Соколяра – Тейлора. [5]Эта конструкция требует правил сопоставления, правил, которые ограничивают взаимную ориентацию двух плиток и которые ссылаются на украшения, нарисованные на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. В качестве альтернативы можно построить плитку без украшений без правил сопоставления, но она не будет соединена. Конструкция может быть расширена до трехмерного связного тайла без правил сопоставления, но этот тайл допускает периодические в одном направлении мозаики, поэтому он является лишь слабо апериодическим. Тем более, что плитка не просто связана.
Существование сильно апериодического набора тайлов, состоящего из одного связного тайла без правил сопоставления, является нерешенной проблемой.
Ссылки [ править ]
- ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . С. 22–24. ISBN 0-521-57541-9.
- ^ Радин, Чарльз (1995). «Апериодические мозаики в высших измерениях» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество. 123 (11): 3543–3548. DOI : 10.2307 / 2161105 . JSTOR 2161105 . Руководство по ремонту 1277129 .
- ^ Гудман-Strauss, Хаим (2000-01-10). «Открытые вопросы в плитке» (PDF) . Архивировано 18 апреля 2007 года (PDF) . Проверено 24 марта 2007 .
- ^ Gummelt, Петра (1996). «Плитки Пенроуза как покрытия конгруэнтных декагонов». Geometriae Dedicata . 62 (1): 1–17. DOI : 10.1007 / BF00239998 .
- ^ Socolar, Джошуа ES; Тейлор, Джоан М. (2011). «Апериодическая шестиугольная плитка». Журнал комбинаторной теории, Серия А . 118 (8): 2207–2231. arXiv : 1003,4279 . DOI : 10.1016 / j.jcta.2011.05.001 .
