В математике , особенно в коммутативной алгебре , теорема Гильберта о базисе утверждает, что кольцо многочленов над нётеровым кольцом является нётеровым.
Заявление
Если кольцо, пусть обозначим кольцо многочленов от неопределенного над . Гильберт доказал, что если "не слишком большой" в том смысле, что если Нётериан, то же самое должно быть верно для . Формально,
Базисная теорема Гильберта. Если является нётеровым кольцом, то является нётеровым кольцом.
Следствие. Если является нётеровым кольцом, то является нётеровым кольцом.
Это можно перевести в алгебраическую геометрию следующим образом: каждое алгебраическое множество над полем можно описать как множество общих корней конечного числа полиномиальных уравнений. Гильберт доказал теорему (для частного случая колец многочленов над полем) в ходе доказательства конечного порождения колец инвариантов. [1]
Гильберт произвел новаторское доказательство от противного, используя математическую индукцию ; его метод не дает алгоритма для создания конечного числа базисных многочленов для данного идеала: он только показывает, что они должны существовать. Базисные полиномы можно определить методом базисов Грёбнера .
Доказательство
- Теорема. Если является нётеровым слева (соответственно справа) кольцом , то кольцо многочленов также является нётеровым слева (соответственно справа) кольцом.
Замечание. Мы приведем два доказательства, в обоих рассматривается только «левый» случай; доказательство для правого случая аналогично.
Первое доказательство
Предполагать является неконечно порожденным левым идеалом. Тогда по рекурсии (используя аксиому зависимого выбора ) существует последовательность многочленов таких, что если левый идеал, порожденный тогда имеет минимальную степень. Ясно, что- неубывающая последовательность натуральных чисел. Позволять быть старшим коэффициентом и разреши быть левым идеалом в создан . С является ли Нётер цепочкой идеалов
должен прекратиться. Таким образом для некоторого целого числа . Так, в частности,
Теперь рассмотрим
чей главный член равен ; более того,. Тем не мение,, что обозначает имеет степень меньше чем , что противоречит минимальности.
Второе доказательство
Позволять быть левым идеалом. Позволять - множество старших коэффициентов членов . Очевидно, это левый идеал над, а значит, конечно порождается старшими коэффициентами конечного числа членов ; сказать. Позволять быть максимальным из набора , и разреши - множество старших коэффициентов членов , степень которого . Как и раньше, левые идеалы над , а значит, конечно порождены старшими коэффициентами конечного числа членов , сказать
со степенями . Теперь позвольте левый идеал, порожденный:
У нас есть и требовать также . Предположим, что это не так. Тогда пусть иметь минимальную степень, и обозначим его старший коэффициент через .
- Дело 1:. Независимо от этого условия, мы имеем , так это леволинейная комбинация
- коэффициентов . Рассмотреть возможность
- который имеет тот же главный член, что и ; более того пока . Следовательно а также , что противоречит минимальности.
- Случай 2:. потом так это леволинейная комбинация
- старших коэффициентов . Учитывая
- приходим к противоречию, аналогичному случаю 1.
Таким образом, наше утверждение выполнено, и который конечно порожден.
Обратите внимание, что единственная причина, по которой нам пришлось разделить на два случая, заключалась в том, чтобы гарантировать, что полномочия умножение факторов оказалось неотрицательным в конструкциях.
Приложения
Позволять - нётерово коммутативное кольцо. Теорема Гильберта о базисе имеет несколько непосредственных следствий.
- По индукции видим, что тоже будет нётерян.
- Поскольку любое аффинное многообразие над (то есть геометрическое место набора многочленов) может быть записано как геометрическое место идеала и далее, как геометрическое место его образующих, следует, что каждое аффинное многообразие является геометрическим местом конечного числа многочленов, т. е. пересечением конечного числа гиперповерхностей .
- Если конечно порожденный -алгебра, тогда мы знаем, что , где это идеал. Из теоремы о базисе следует, что должно быть конечно порожденным, скажем , т.е. это конечно представима .
Формальные доказательства
Формальные доказательства теоремы Гильберта о базисе были проверены в рамках проекта Mizar (см. Файл HILBASIS ) и Lean (см. Ring_theory.polynomial ).
Рекомендации
- ^ Гильберт, Дэвид (1890). "Ueber die Theorie der algebraischen Formen". Mathematische Annalen . 36 (4): 473–534. DOI : 10.1007 / BF01208503 . ISSN 0025-5831 .
Дальнейшее повторение
- Кокс, Литтл и О'Ши, Идеалы, разновидности и алгоритмы , Springer-Verlag, 1997.