История преобразований Лоренца

История преобразований Лоренца включает развитие линейных преобразований , образующих группу Лоренца или группу Пуанкаре , сохраняющий Лоренца интервал и Минковского скалярное произведение . $-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ $-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}$

В математике , преобразование эквивалентно тому , что было позже известными как преобразования Лоренца в различных размерах были обсуждено в 19 веке по отношению к теории квадратичных форм , гиперболической геометрия , Мёбиус геометрии и геометрии сферы , которая связана с тем , что группа из движений гиперболического пространства , то группа Мёбиуса или проективная специальная линейная группа , а группа Лагерры является изоморфными к группе Лоренца .

В физике преобразования Лоренца стали известны в начале 20 века, когда было обнаружено, что они проявляют симметрию уравнений Максвелла . Впоследствии они стали фундаментальными для всей физики, потому что они легли в основу специальной теории относительности, в которой они демонстрируют симметрию пространства-времени Минковского , делая скорость света неизменной между различными инерциальными системами отсчета. Они связывают пространственно-временные координаты двух произвольных инерциальных систем отсчета с постоянной относительной скоростью v . В одном кадре положение события задается координатами x, y, z и временем t., а в другом кадре то же событие имеет координаты x ′, y ′, z ′ и t ′ .

Наиболее общие преобразования Лоренца [ править ]

Общая квадратичная форма д (х) с коэффициентами в симметричной матрицы А , связанная с билинейной формы В (х, у) , а линейные преобразования из д (х) и В (х, у) в Q (х ') и b (x ′, y ′), используя матрицу преобразования g , можно записать как ^[1]

{\begin{matrix}{\begin{aligned}{\begin{aligned}q=\sum _{0}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} \end{aligned}}&=q'=\mathbf {x} ^{\mathrm {\prime T} }\cdot \mathbf {A} '\cdot \mathbf {x} '\\b=\sum _{0}^{n}A_{ij}x_{i}y_{j}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {y} &=b'=\mathbf {x} ^{\mathrm {\prime T} }\cdot \mathbf {A} '\cdot \mathbf {y} '\end{aligned}}\quad \left(A_{ij}=A_{ji}\right)\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{i}^{\prime }&=\sum _{j=0}^{n}g_{ij}x_{j}=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\x_{i}&=\sum _{j=0}^{n}g_{ij}^{(-1)}x_{j}^{\prime }=\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\end{aligned}}\right|\mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} =\mathbf {A} '\end{matrix}}

( Q1 )

в этом случае n = 1 - двоичная квадратичная форма , n = 2 - тернарная квадратичная форма, n = 3 - четвертичная квадратичная форма.

Учебные материалы из Викиверситета: бинарная квадратичная форма была введена Лагранжем (1773) и Гауссом (1798/1801) , а троичная квадратичная форма - Гауссом (1798/1801) .

Общее преобразование Лоренца следует из ( Q1 ), если положить A = A ′ = diag (-1,1, ..., 1) и det g = ± 1. Он образует неопределенную ортогональную группу, называемую группой Лоренца O (1, n), а случай det g = + 1 образует ограниченную группу Лоренца SO (1, n). Квадратичная форма д (х) становится интервал Лоренца в терминах неопределенной квадратичной формы в пространстве Минковского (будучи частным случаем псевдо-евклидовом пространства ), и связанный с билинейной формой Ь (х) становитсяВнутренний продукт Минковского : ^[2]^[3]

{\begin{matrix}{\begin{aligned}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}&=-x_{0}^{\prime }y_{0}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline \left.{\begin{matrix}\mathbf {x} '=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\\downarrow \\{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}g_{00}+x_{1}g_{01}+\dots +x_{n}g_{0n}\\x_{1}^{\prime }&=x_{0}g_{10}+x_{1}g_{11}+\dots +x_{n}g_{1n}\\&\dots \\x_{n}^{\prime }&=x_{0}g_{n0}+x_{1}g_{n1}+\dots +x_{n}g_{nn}\end{aligned}}\\\\\mathbf {x} =\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\\\downarrow \\{\begin{aligned}x_{0}&=x_{0}^{\prime }g_{00}-x_{1}^{\prime }g_{10}-\dots -x_{n}^{\prime }g_{n0}\\x_{1}&=-x_{0}^{\prime }g_{01}+x_{1}^{\prime }g_{11}+\dots +x_{n}^{\prime }g_{n1}\\&\dots \\x_{n}&=-x_{0}^{\prime }g_{0n}+x_{1}^{\prime }g_{1n}+\dots +x_{n}^{\prime }g_{nn}\end{aligned}}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} &=\mathbf {g} ^{-1}\\\mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} &=\mathbf {A} \\\mathbf {g} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }&=\mathbf {A} \\\\\end{aligned}}\\{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}g_{ij}g_{ik}-g_{0j}g_{0k}&=\left\{{\begin{aligned}-1\quad &(j=k=0)\\1\quad &(j=k>0)\\0\quad &(j\neq k)\end{aligned}}\right.\\\sum _{j=1}^{n}g_{ij}g_{kj}-g_{i0}g_{k0}&=\left\{{\begin{aligned}-1\quad &(i=k=0)\\1\quad &(i=k>0)\\0\quad &(i\neq k)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}\end{matrix}}\end{matrix}}

( 1а )

Учебные материалы из Викиверситета: такие общие преобразования Лоренца ( 1a ) для различных измерений использовали Гаусс (1818) , Якоби (1827, 1833) , Лебег (1837) , Бур (1856) , Сомов (1863) , Хилл (1882) в чтобы упростить вычисления эллиптических функций и интегралов. ^[4]^[5] Их также использовали Пуанкаре (1881) , Кокс (1881/82) , Пикар (1882, 1884) , Киллинг (1885, 1893) , Жерар (1892) , Хаусдорф (1899) ,Вудса (1901, 1903) , Либмана (1904/05) для описания гиперболических движений (т. Е. Жестких движений в гиперболической плоскости или гиперболическом пространстве ), которые были выражены в терминах координат Вейерштрасса модели гиперболоида, удовлетворяющей соотношению, или в терминах Кэли-Клейна метрика из проективной геометрии с использованием «абсолютную» форму . ^[6]^[7] Кроме того, бесконечно малые преобразования, связанные с алгеброй Ли группы гиперболических движений, были заданы в терминах координат Вейерштрасса формулой $-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-1$ $-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0$ $-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-1$ Убийство (1888-1897) .

Если в ( 1а ) интерпретировать как однородные координаты , то соответствующие неоднородные координаты следуют следующим образом: $x_{i},\ x_{i}^{\prime }$ $u_{s},\ u_{s}^{\prime }$

\left[{\frac {x_{0}}{x_{0}}},\ {\frac {x_{s}}{x_{0}}}\right]=\left[1,\ u_{s}\right],\ \left[{\frac {x_{0}^{\prime }}{x_{0}^{\prime }}},\ {\frac {x_{s}^{\prime }}{x_{0}^{\prime }}}\right]=\left[1,\ u_{s}^{\prime }\right],\ (s=1,2\dots n)

так что преобразование Лоренца становится гомографией, оставляя неизменным уравнение единичной сферы , которое Джон Лайтон Синдж назвал «наиболее общей формулой для композиции скоростей» в терминах специальной теории относительности (матрица преобразования g остается такой же, как в ( 1a )): ^[8]

{\begin{matrix}{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}&\rightarrow &{\begin{aligned}-1+u_{1}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}&={\scriptstyle {\frac {-1+u_{1}^{\prime 2}+\cdots +u_{n}^{\prime 2}}{\left(g_{00}+g_{01}u_{1}^{\prime }+\dots +g_{0n}u_{n}^{\prime }\right)^{2}}}}\\{\scriptstyle {\frac {-1+u_{1}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}}{\left(g_{00}-g_{10}u_{1}-\dots -g_{n0}u_{n}\right)^{2}}}}&=-1+u_{1}^{\prime 2}+\cdots +u_{n}^{\prime 2}\end{aligned}}\\\hline -x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}=0&\rightarrow &-1+u_{1}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}=-1+u_{1}^{\prime 2}+\cdots +u_{n}^{\prime 2}=0\end{matrix}}\\\hline {\begin{aligned}u_{s}^{\prime }&={\frac {g_{s0}+g_{s1}u_{1}+\dots +g_{sn}u_{n}}{g_{00}+g_{01}u_{1}+\dots +g_{0n}u_{n}}}\\\\u_{s}&={\frac {-g_{0s}+g_{1s}u_{1}^{\prime }+\dots +g_{ns}u_{n}^{\prime }}{g_{00}-g_{10}u_{1}^{\prime }-\dots -g_{n0}u_{n}^{\prime }}}\end{aligned}}\left|{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}g_{ij}g_{ik}-g_{0j}g_{0k}&=\left\{{\begin{aligned}-1\quad &(j=k=0)\\1\quad &(j=k>0)\\0\quad &(j\neq k)\end{aligned}}\right.\\\sum _{j=1}^{n}g_{ij}g_{kj}-g_{i0}g_{k0}&=\left\{{\begin{aligned}-1\quad &(i=k=0)\\1\quad &(i=k>0)\\0\quad &(i\neq k)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}\right.\end{matrix}}

( 1b )

Учебные материалы из Викиверситета: такие преобразования Лоренца для различных измерений использовали Гаусс (1818) , Якоби (1827–1833) , Лебег (1837) , Бур (1856) , Сомов (1863) , Хилл (1882) , Калландро (1885) чтобы упростить вычисления эллиптических функций и интегралов, Пикаром (1882–1884) применительно к эрмитовым квадратичным формам или Вудсом (1901, 1903) в терминах модели Бельтрами – Клейна гиперболической геометрии. Кроме того, бесконечно малые преобразования в терминах алгебры Лигруппы гиперболических движений, оставляющих инвариантной единичную сферу, были даны Ли (1885–1893), Вернером (1889) и Киллингом (1888–1897) . $-1+u_{1}^{\prime 2}+\cdots +u_{n}^{\prime 2}=0$

Преобразование Лоренца через мнимое ортогональное преобразование [ править ]

С помощью мнимых величин в х , а также (с = 1,2 ... N) в г , преобразование Лоренца ( 1а ) принимает форму ортогонального преобразования в евклидовом пространстве , образующего ортогональной группы О (п) , если Det g = ± 1 или специальная ортогональная группа SO (n), если det g = + 1, интервал Лоренца становится евклидовой нормой , а скалярное произведение Минковского становится скалярным произведением : ^[9] $[{\mathfrak {x}}_{0},\ {\mathfrak {x}}'_{0}]=\left[ix_{0},\ ix_{0}^{\prime }\right]$ $[{\mathfrak {g}}_{0s},\ {\mathfrak {g}}_{s0}]=\left[ig_{0s},\ ig_{s0}\right]$

{\begin{matrix}{\begin{aligned}{\mathfrak {x}}_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&={\mathfrak {x}}_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\{\mathfrak {x}}_{0}{\mathfrak {y}}_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}&={\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }{\mathfrak {y}}_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }y_{1}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\mathbf {x} '=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} =\mathbf {\mathbf {g} ^{-1}} \cdot \mathbf {x} '\end{matrix}}\left|{\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}g_{ij}g_{ik}&=\left\{{\begin{aligned}1\quad &(j=k)\\0\quad &(j\neq k)\end{aligned}}\right.\\\sum _{j=0}^{n}g_{ij}g_{kj}&=\left\{{\begin{aligned}1\quad &(i=k)\\0\quad &(i\neq k)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}\right.\end{matrix}}

( 2а )

Учебные материалы из Викиверситета: случаи n = 1,2,3,4 ортогональных преобразований в терминах реальных координат обсуждались Эйлером (1771) и в n измерениях - Коши (1829) . Случай, когда одна из этих координат является мнимой, а другие остаются действительными, упоминался Ли (1871) в терминах сфер с мнимым радиусом, в то время как интерпретация мнимой координаты как относящейся к измерению времени, а также явная формулировка преобразований Лоренца с n = 3 была дана Минковским (1907) и Зоммерфельдом (1909) .

Хорошо известным примером этого ортогонального преобразования является пространственное вращение в терминах тригонометрических функций , которые становятся преобразованиями Лоренца с использованием мнимого угла , так что тригонометрические функции становятся эквивалентными гиперболическим функциям : $\phi =i\eta$

{\begin{array}{c|c|cc}{\mathfrak {x}}_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={\mathfrak {x}}_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}&\left(ix_{0}\right){}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(ix_{0}^{\prime }\right)^{2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}&&-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline (1){\begin{aligned}{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }&={\mathfrak {x}}_{0}\cos \phi -x_{1}\sin \phi \\x_{1}^{\prime }&={\mathfrak {x}}_{0}\sin \phi +x_{1}\cos \phi \\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\{\mathfrak {x}}_{0}&={\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }\cos \phi +x_{1}^{\prime }\sin \phi \\x_{1}&=-{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }\sin \phi +x_{1}^{\prime }\cos \phi \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}&(2){\begin{aligned}ix_{0}^{\prime }&=ix_{0}\cos i\eta -x_{1}\sin i\eta \\x_{1}^{\prime }&=ix_{0}\sin i\eta +x_{1}\cos i\eta \\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\ix_{0}&=ix_{0}^{\prime }\cos i\eta +x_{1}^{\prime }\sin i\eta \\x_{1}&=-ix_{0}^{\prime }\sin i\eta +x_{1}^{\prime }\cos i\eta \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}&\rightarrow &{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\cosh \eta +x_{1}^{\prime }\sinh \eta \\x_{1}&=x_{0}^{\prime }\sinh \eta +x_{1}^{\prime }\cosh \eta \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\end{array}}

( 2b )

или в экспоненциальной форме по формуле Эйлера : $e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$

{\begin{array}{c|c|cc}{\mathfrak {x}}_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={\mathfrak {x}}_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}&\left(ix_{0}\right){}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(ix_{0}^{\prime }\right)^{2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}&&-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline (1){\begin{aligned}x_{1}^{\prime }+i{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }&=e^{-i\phi }\left(x_{1}+i{\mathfrak {x}}_{0}\right)\\x_{1}^{\prime }-i{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }&=e^{i\phi }\left(x_{1}-i{\mathfrak {x}}_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{1}+i{\mathfrak {x}}_{0}&=e^{i\phi }\left(x_{1}^{\prime }+i{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }\right)\\x_{1}-i{\mathfrak {x}}_{0}&=e^{-i\phi }\left(x_{1}^{\prime }-i{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }\right)\\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}&(2){\begin{aligned}x_{1}^{\prime }+i\left(ix_{0}^{\prime }\right)&=e^{-i(i\eta )}\left(x_{1}+i\left(ix_{0}\right)\right)\\x_{1}^{\prime }-i\left(ix_{0}^{\prime }\right)&=e^{i(i\eta )}\left(x_{1}-i\left(ix_{0}\right)\right)\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{1}+i\left(ix_{0}\right)&=e^{i(i\eta )}\left(x_{1}^{\prime }+i\left(ix_{0}^{\prime }\right)\right)\\x_{1}-i\left(ix_{0}\right)&=e^{-i(i\eta )}\left(x_{1}^{\prime }-i\left(ix_{0}^{\prime }\right)\right)\\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}&\rightarrow &{\begin{aligned}x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }&=e^{\eta }\left(x_{1}-x_{0}\right)\\x_{1}^{\prime }+x_{0}^{\prime }&=e^{-\eta }\left(x_{1}+x_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{1}-x_{0}&=e^{-\eta }\left(x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }\right)\\x_{1}+x_{0}&=e^{\eta }\left(x_{1}^{\prime }+x_{0}^{\prime }\right)\\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\end{array}}

( 2c )

Учебные материалы из Викиверситета: Определение реального пространственного вращения в форме ( 2b -1) было введено Эйлером (1771), а в форме ( 2c -1) - Весселем (1799) . Интерпретация ( 2b ) как повышение Лоренца (т.е. преобразование Лоренца без пространственного вращения), в котором соответствуют мнимые величины, была дана Минковским (1907) и Зоммерфельдом (1909) . Как показано в следующем разделе с использованием гиперболических функций, ( 2b ) становится ( 3b ), а ( 2c ) становится ( 3d ). $[{\mathfrak {x}}_{0},\ {\mathfrak {x}}'_{0},\ \phi ]$ $[{\mathfrak {x}}_{0},\ {\mathfrak {x}}'_{0},\ \phi ]$ $[ix_{0},\ ix'_{0},\ i\eta ]$

Преобразование Лоренца через гиперболические функции [ править ]

Случай преобразования Лоренца без пространственного вращения называется бустом Лоренца . Самый простой случай может быть дан, например, установив n = 1 в ( 1a ):

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\begin{bmatrix}g_{00}&g_{01}\\g_{10}&g_{11}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} &={\begin{bmatrix}g_{00}&-g_{10}\\-g_{01}&g_{11}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} '\end{aligned}}\right|\det {\begin{bmatrix}g_{00}&g_{01}\\g_{10}&g_{11}\end{bmatrix}}=1\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}g_{00}+x_{1}g_{01}\\x_{1}^{\prime }&=x_{0}g_{10}+x_{1}g_{11}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }g_{00}-x_{1}^{\prime }g_{10}\\x_{1}&=-x_{0}^{\prime }g_{01}+x_{1}^{\prime }g_{11}\end{aligned}}\left|{\begin{aligned}g_{01}^{2}-g_{00}^{2}&=-1\\g_{11}^{2}-g_{10}^{2}&=1\\g_{01}g_{11}-g_{00}g_{10}&=0\\g_{10}^{2}-g_{00}^{2}&=-1\\g_{11}^{2}-g_{01}^{2}&=1\\g_{10}g_{11}-g_{00}g_{01}&=0\end{aligned}}\rightarrow {\begin{aligned}g_{00}^{2}&=g_{11}^{2}\\g_{01}^{2}&=g_{10}^{2}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}

( 3а )

что в точности напоминает отношения гиперболических функций в терминах гиперболического угла . Таким образом, добавляя неизменную ось, усиление Лоренца или гиперболическое вращение для n = 2 (то же самое, что вращение вокруг мнимого угла в ( 2b ) или перенос в гиперболической плоскости в терминах модели гиперболоида) задается следующим образом: $\eta$ $x_{2}$ $i\eta =\phi$

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline g_{00}=g_{11}=\cosh \eta ,\ g_{01}=g_{10}=-\sinh \eta \\\hline \left.{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\begin{bmatrix}\cosh \eta &-\sinh \eta \\-\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} &={\begin{bmatrix}\cosh \eta &\sinh \eta \\\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} '\end{aligned}}\right|\det {\begin{bmatrix}\cosh \eta &-\sinh \eta \\-\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}=1\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\cosh \eta +x_{1}^{\prime }\sinh \eta \\x_{1}&=x_{0}^{\prime }\sinh \eta +x_{1}^{\prime }\cosh \eta \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\right|{\scriptstyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}\eta -\cosh ^{2}\eta &=-1&(a)\\\cosh ^{2}\eta -\sinh ^{2}\eta &=1&(b)\\{\frac {\sinh \eta }{\cosh \eta }}&=\tanh \eta &(c)\\{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}&=\cosh \eta &(d)\\{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}&=\sinh \eta &(e)\\{\frac {\tanh q\pm \tanh \eta }{1\pm \tanh q\tanh \eta }}&=\tanh \left(q\pm \eta \right)&(f)\end{aligned}}}\end{matrix}}

( 3b )

в котором скорость может быть составлена из произвольного количества скоростей согласно законам суммы углов гиперболических синусов и косинусов , так что одно гиперболическое вращение может представлять сумму многих других гиперболических вращений, аналогично соотношению между законами суммы углов круговой тригонометрии и пространственные вращения. В качестве альтернативы, сами законы суммы гиперболических углов можно интерпретировать как повышения Лоренца, что продемонстрировано с помощью параметризации единичной гиперболы : $\eta _{1},\eta _{2}\dots$

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}=1\\\hline \left[\eta =\eta _{2}-\eta _{1}\right]\\{\scriptstyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}x_{1}^{\prime }&x_{0}^{\prime }\\x_{0}^{\prime }&x_{1}^{\prime }\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cosh \eta _{1}&\sinh \eta _{1}\\\sinh \eta _{1}&\cosh \eta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \left(\eta _{2}-\eta \right)&\sinh \left(\eta _{2}-\eta \right)\\\sinh \left(\eta _{2}-\eta \right)&\cosh \left(\eta _{2}-\eta \right)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \eta &-\sinh \eta \\-\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cosh \eta _{2}&\sinh \eta _{2}\\\sinh \eta _{2}&\cosh \eta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \eta &-\sinh \eta \\-\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{0}\\x_{0}&x_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{0}\\x_{0}&x_{1}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cosh \eta _{2}&\sinh \eta _{2}\\\sinh \eta _{2}&\cosh \eta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \left(\eta _{1}+\eta \right)&\sinh \left(\eta _{1}+\eta \right)\\\sinh \left(\eta _{1}+\eta \right)&\cosh \left(\eta _{1}+\eta \right)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \eta &\sinh \eta \\\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cosh \eta _{1}&\sinh \eta _{1}\\\sinh \eta _{1}&\cosh \eta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \eta &\sinh \eta \\\sinh \eta &\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}^{\prime }&x_{0}^{\prime }\\x_{0}^{\prime }&x_{1}^{\prime }\end{bmatrix}}\end{aligned}}}\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=\sinh \eta _{1}&&=\sinh \left(\eta _{2}-\eta \right)&&=\sinh \eta _{2}\cosh \eta -\cosh \eta _{2}\sinh \eta &&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=\cosh \eta _{1}&&=\cosh \left(\eta _{2}-\eta \right)&&=-\sinh \eta _{2}\sinh \eta +\cosh \eta _{2}\cosh \eta &&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\\\x_{0}&=\sinh \eta _{2}&&=\sinh \left(\eta _{1}+\eta \right)&&=\sinh \eta _{1}\cosh \eta +\cosh \eta _{1}\sinh \eta &&=x_{0}^{\prime }\cosh \eta +x_{1}^{\prime }\sinh \eta \\x_{1}&=\cosh \eta _{2}&&=\cosh \left(\eta _{1}+\eta \right)&&=\sinh \eta _{1}\sinh \eta +\cosh \eta _{1}\cosh \eta &&=x_{0}^{\prime }\sinh \eta +x_{1}^{\prime }\cosh \eta \end{aligned}}\end{matrix}}

( 3c )

Наконец, усиление Лоренца ( 3b ) принимает простую форму за счет использования сжатых отображений по аналогии с формулой Эйлера в ( 2c ): ^[10]

(1){\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }&=e^{\eta }\left(x_{1}-x_{0}\right)\\x_{1}^{\prime }+x_{0}^{\prime }&=e^{-\eta }\left(x_{1}+x_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{1}-x_{0}&=e^{-\eta }\left(x_{1}^{\prime }-x_{0}^{\prime }\right)\\x_{1}+x_{0}&=e^{\eta }\left(x_{1}^{\prime }+x_{0}^{\prime }\right)\\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}\left|{\scriptstyle {\begin{aligned}X_{1}&=x_{1}+x_{0}\\X_{2}&=x_{2}\\X_{3}&=x_{1}-x_{0}\\\\a_{1}&=e^{-\eta }\\a_{2}&=1\\a_{3}&=e^{\eta }=a_{1}^{-1}\end{aligned}}}(2){\begin{matrix}X_{2}^{\prime 2}-X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }=X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}\\\hline {\begin{aligned}X_{1}^{\prime }&=a_{1}X_{1}\\X_{2}^{\prime }&=a_{2}X_{2}\\X_{3}^{\prime }&=a_{3}X_{3}\\\\X_{1}&=a_{3}X_{1}^{\prime }\\X_{2}&=a_{2}X_{2}^{\prime }\\X_{3}&=a_{1}X_{3}^{\prime }\end{aligned}}\\\left(a_{1}a_{3}-a_{2}^{2}=0\right)\end{matrix}}\right.

( 3д )

Учебные материалы из Викиверситета: гиперболические отношения (a, b) справа от ( 3b ) были даны Риккати (1757) , отношения (a, b, c, d, e, f) - Ламбертом (1768–1770) . Преобразования Лоренца ( 3b ) были даны Laisant (1874) , Cox (1882) , Lindemann (1890/91) , Gérard (1892) , Killing (1893, 1897/98) , Whitehead (1897/98) , Woods (1903 / 05) и Либмана (1904/05) в терминах координат Вейерштрасса модели гиперболоида . Законы суммы гиперболических углов эквивалентны бусту Лоренца ( 3c) были даны Риккати (1757) и Ламбертом (1768–1770) , а матричное представление было дано Глейшером (1878) и Гюнтером (1880/81) . Преобразования Лоренца ( 3d -1) были даны Линдеманом (1890/91) и Херглотцем (1909) , а формулы, эквивалентные ( 3d -2), - Кляйном (1871) .

В соответствии с уравнением ( 1b ) можно использовать координаты внутри единичной окружности , таким образом, соответствующие преобразования Лоренца ( 3b ) принимают вид: $[u_{1},\ u_{2},\ 1]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{2}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{0}}{x_{0}}}\right]$ $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=1$

{\begin{matrix}{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}&\rightarrow &{\begin{aligned}-1+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}&={\frac {-1+u_{1}^{\prime 2}+u_{2}^{\prime 2}}{\left(\cosh \eta +u_{1}^{\prime }\sinh \eta \right)^{2}}}\\{\frac {-1+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}{\left(\cosh \eta -u_{1}\sinh \eta \right)^{2}}}&=-1+u_{1}^{\prime 2}+u_{2}^{\prime 2}\end{aligned}}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}=0&\rightarrow &-1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}=-1+u_{x}^{\prime 2}+u_{y}^{\prime 2}=0\end{matrix}}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {\sinh \eta }{\cosh \eta }}&=\tanh \eta =v\\\cosh \eta &={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}\end{aligned}}}\left|{\begin{aligned}&(a)&&(b)&&(c)\\u_{1}^{\prime }&={\frac {-\sinh \eta +u_{1}\cosh \eta }{\cosh \eta -u_{1}\sinh \eta }}&&={\frac {u_{1}-\tanh \eta }{1-u_{1}\tanh \eta }}&&={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v}}\\u_{2}^{\prime }&={\frac {u_{2}}{\cosh \eta -u_{1}\sinh \eta }}&&={\frac {u_{2}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{1-u_{1}\tanh \eta }}&&={\frac {u_{2}{\sqrt {1-v^{2}}}}{1-u_{1}v}}\\\\u_{1}&={\frac {\sinh \eta +u_{1}^{\prime }\cosh \eta }{\cosh \eta +u_{1}^{\prime }\sinh \eta }}&&={\frac {u_{1}^{\prime }+\tanh \eta }{1+u_{1}^{\prime }\tanh \eta }}&&={\frac {u_{1}^{\prime }+v}{1+u_{1}^{\prime }v}}\\u_{2}&={\frac {u_{2}^{\prime }}{\cosh \eta +u_{1}^{\prime }\sinh \eta }}&&={\frac {u_{2}^{\prime }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{1+u_{1}^{\prime }\tanh \eta }}&&={\frac {u_{2}^{\prime }{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+u_{1}^{\prime }v}}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}

( 3e )

Учебные материалы из Викиверситета: эти преобразования Лоренца были даны Эшерихом (1874) и Киллингом (1898) (слева), а также Бельтрами (1868) и Шуром (1885/86, 1900/02) (справа) в термины координат Бельтрами ^[11] гиперболической геометрии.

Используя скалярное произведение , полученное преобразование Лоренца можно рассматривать как эквивалент гиперболического закона косинусов : ^[12]^{[R 1]}^[13] $\left[u_{1},u_{2}\right]$

{\begin{matrix}&{\begin{matrix}u^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\\u'^{2}=u_{1}^{\prime 2}+u_{2}^{\prime 2}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}u_{1}=u\cos \alpha \\u_{2}=u\sin \alpha \\\\u_{1}^{\prime }=u'\cos \alpha '\\u_{2}^{\prime }=u'\sin \alpha '\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}u\cos \alpha &={\frac {u'\cos \alpha '+v}{1+vu'\cos \alpha '}},&u'\cos \alpha '&={\frac {u\cos \alpha -v}{1-vu\cos \alpha }}\\u\sin \alpha &={\frac {u'\sin \alpha '{\sqrt {1-v^{2}}}}{1+vu'\cos \alpha '}},&u'\sin \alpha '&={\frac {u\sin \alpha {\sqrt {1-v^{2}}}}{1-vu\cos \alpha }}\\\tan \alpha &={\frac {u'\sin \alpha '{\sqrt {1-v^{2}}}}{u'\cos \alpha '+v}},&\tan \alpha '&={\frac {u\sin \alpha {\sqrt {1-v^{2}}}}{u\cos \alpha -v}}\end{aligned}}\\\Rightarrow &u={\frac {\sqrt {v^{2}+u^{\prime 2}+2vu'\cos \alpha '-\left(vu'\sin \alpha '\right){}^{2}}}{1+vu'\cos \alpha '}},\quad u'={\frac {\sqrt {-v^{2}-u^{2}+2vu\cos \alpha +\left(vu\sin \alpha \right){}^{2}}}{1-vu\cos \alpha }}\\\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-u^{\prime 2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}-{\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}{\frac {u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\cos \alpha &(b)\\\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\\Rightarrow &\cosh \xi =\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha &(a)\end{matrix}}

( 3f )

Учебные материалы из Викиверситета: гиперболический закон косинусов (а) был дан Таурином (1826 г.) и Лобачевским (1829/30 г.) и другими, а вариант (б) был дан Шуром (1900/02 г.) .

Преобразование Лоренца через скорость [ править ]

В теории относительности преобразования Лоренца демонстрируют симметрию пространства-времени Минковского , используя постоянную c как скорость света и параметр v как относительную скорость между двумя инерциальными системами отсчета . В частности, гиперболический угол в ( 3b ) можно интерпретировать как скорости , связанные с быстротой , так что является фактором Лоренца , собственно скорость , скорость другого объекта, сложение скоростей , таким образом , ( 3b $\eta$ $\tanh \eta =\beta =v/c$ $\gamma =\cosh \eta$ $\beta \gamma =\sinh \eta$ $u'=c\tanh q$ $u=c\tanh(q+\eta )$ ) становится:

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\gamma -x_{1}\beta \gamma \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\beta \gamma +x_{1}\gamma \\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\gamma +x_{1}^{\prime }\beta \gamma \\x_{1}&=x_{0}^{\prime }\beta \gamma +x_{1}^{\prime }\gamma \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\left|{\scriptstyle {\begin{aligned}\beta ^{2}\gamma ^{2}-\gamma ^{2}&=-1&(a)\\\gamma ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}&=1&(b)\\{\frac {\beta \gamma }{\gamma }}&=\beta &(c)\\{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&=\gamma &(d)\\{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&=\beta \gamma &(e)\\{\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}}&=u&(f)\end{aligned}}}\right.\end{matrix}}

( 4а )

Или в четырех измерениях, установив и добавив неизменный z, следует знакомая форма, используя в качестве фактора Доплера: $x_{0}=ct,\ x_{1}=x,\ x_{2}=y$ ${\sqrt {\tfrac {c+v}{c-v}}}$

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{aligned}(ct'+x')&=(ct+x){\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\\(ct'-x')&=(ct-x){\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\end{aligned}}

( 4b )

В физике аналогичные преобразования были введены Фойгтом (1887) и Лоренцем (1892, 1895), которые анализировали уравнения Максвелла , они были завершены Лармором (1897, 1900) и Лоренцем (1899, 1904) и приведены в их современный вид. по Пуанкаре (1905) , который дал трансформацию имени Лоренца. ^[14] В конце концов, Эйнштейн (1905) показал в своем развитии специальной теории относительности, что преобразования следуют только из принципа относительности и постоянной скорости света путем модификации традиционных представлений о пространстве и времени, не требуямеханический эфир в отличие от Лоренца и Пуанкаре. ^[15] Минковский (1907–1908) использовал их, чтобы доказать, что пространство и время неразрывно связаны как пространство-время . Минковский (1907–1908) и Варичак (1910) показали связь с мнимыми и гиперболическими функциями. Важный вклад в математическое понимание преобразования Лоренца также внесли другие авторы, такие как Герглотц (1909/10) , Игнатовский (1910) , Нётер (1910) и Кляйн (1910) , Борель (1913–14) .

Учебные материалы из Викиверситета: В чистой математике аналогичные преобразования использовались Липшицем (1885/86) .

Также усиления Лоренца для произвольных направлений в соответствии с ( 1a ) могут быть заданы как: ^[16]

\mathbf {x} '={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x}&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_{x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1)n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} ,\quad \left[\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {v} }{v}}\right]

или в векторной записи

{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \end{aligned}}

( 4c )

Такие преобразования были сформулированы Герглотцем (1911), Зильберштейном (1911) и другими.

В соответствии с уравнением ( 1b ), можно подставить в ( 3b ) или ( 4a ), производя преобразование Лоренца скоростей (или формулу сложения скоростей ) по аналогии с координатами Бельтрами для ( 3e ): $\left[{\tfrac {u_{x}}{c}},\ {\tfrac {u_{y}}{c}},\ 1\right]=\left[{\tfrac {x}{ct}},\ {\tfrac {y}{ct}},\ {\tfrac {ct}{ct}}\right]$

{\begin{matrix}{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}&\rightarrow &{\begin{aligned}-c^{2}+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}&={\frac {-c^{2}+u_{x}^{\prime 2}+u_{y}^{\prime 2}}{\gamma ^{2}\left(1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}^{\prime }\right)^{2}}}\\{\frac {-c^{2}+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}{\gamma ^{2}\left(1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}\right)^{2}}}&=-c^{2}+u_{x}^{\prime 2}+u_{y}^{\prime 2}\end{aligned}}\\\hline -c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=0&\rightarrow &-c^{2}+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}=-c^{2}+u_{x}^{\prime 2}+u_{y}^{\prime 2}=0\end{matrix}}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {\sinh \eta }{\cosh \eta }}&=\tanh \eta ={\frac {v}{c}}\\\cosh \eta &={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}\end{aligned}}}\left|{\begin{aligned}u_{x}^{\prime }&={\frac {-c^{2}\sinh \eta +u_{x}c\cosh \eta }{c\cosh \eta -u_{x}\sinh \eta }}&&={\frac {u_{x}-c\tanh \eta }{1-{\frac {u_{x}}{c}}\tanh \eta }}&&={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u{}_{x}}}\\u_{y}^{\prime }&={\frac {cu_{y}}{c\cosh \eta -u_{x}\sinh \eta }}&&={\frac {u_{y}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{1-{\frac {u_{x}}{c}}\tanh \eta }}&&={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u{}_{x}}}\\\\u_{x}&={\frac {c^{2}\sinh \eta +u_{x}^{\prime }c\cosh \eta }{c\cosh \eta +u_{x}^{\prime }\sinh \eta }}&&={\frac {u_{x}^{\prime }+c\tanh \eta }{1+{\frac {u_{x}^{\prime }}{c}}\tanh \eta }}&&={\frac {u_{x}^{\prime }+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}^{\prime }}}\\u_{y}&={\frac {cy'}{c\cosh \eta +u_{x}^{\prime }\sinh \eta }}&&={\frac {u_{y}^{\prime }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{1+{\frac {u_{x}^{\prime }}{c}}\tanh \eta }}&&={\frac {u_{y}^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}^{\prime }}}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}

( 4д )

или, используя тригонометрические и гиперболические тождества, он становится гиперболическим законом косинусов в терминах ( 3f ): ^[12]^{[R 1]}^[13]

{\begin{matrix}&{\begin{matrix}u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}\\u'^{2}=u_{x}^{\prime 2}+u_{y}^{\prime 2}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}u_{x}=u\cos \alpha \\u_{y}=u\sin \alpha \\\\u_{x}^{\prime }=u'\cos \alpha '\\u_{y}^{\prime }=u'\sin \alpha '\end{matrix}}\right|{\begin{aligned}u\cos \alpha &={\frac {u'\cos \alpha '+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \alpha '}},&u'\cos \alpha '&={\frac {u\cos \alpha -v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\\u\sin \alpha &={\frac {u'\sin \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \alpha '}},&u'\sin \alpha '&={\frac {u\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\\\tan \alpha &={\frac {u'\sin \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{u'\cos \alpha '+v}},&\tan \alpha '&={\frac {u\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{u\cos \alpha -v}}\end{aligned}}\\\Rightarrow &u={\frac {\sqrt {v^{2}+u^{\prime 2}+2vu'\cos \alpha '-\left({\frac {vu'\sin \alpha '}{c}}\right){}^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \alpha '}},\quad u'={\frac {\sqrt {-v^{2}-u^{2}+2vu\cos \alpha +\left({\frac {vu\sin \alpha }{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u\cos \alpha }}\\\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{\prime 2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v/c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\frac {u/c}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\cos \alpha \\\Rightarrow &{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\xi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\\Rightarrow &\cosh \xi =\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \end{matrix}}

( 4e )

а если дополнительно установить u = u ′ = c, релятивистская аберрация света будет следующей: ^[17]

{\begin{matrix}\cos \alpha ={\frac {\cos \alpha '+{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}\cos \alpha '}},\ \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c}}\cos \alpha '}},\ \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\cos \alpha '+{\frac {v}{c}}}},\ \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\tan {\frac {\alpha '}{2}}\\\cos \alpha '={\frac {\cos \alpha -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \alpha }},\ \sin \alpha '={\frac {\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \alpha }},\ \tan \alpha '={\frac {\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\cos \alpha -{\frac {v}{c}}}},\ \tan {\frac {\alpha '}{2}}={\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}

( 4f )

Формулы сложения скоростей были даны Эйнштейном (1905) и Пуанкаре (1905/06) , формула аберрации для cos (α) Эйнштейном (1905) , а отношения к сферическому и гиперболическому закону косинусов были даны Зоммерфельдом (1909). ) и Варичак (1910) .

Учебные материалы из Викиверситете: Эти формулы напоминают уравнения с эллипсом в эксцентриситета V / C , эксцентрическая аномалия a»и истинной аномалии a, первая геометрически сформулированный Кеплером (1609) и в явном виде записанная Эйлера (1735, 1748), Лагранж ( 1770) и многие другие, связанные с движением планет. ^[18]^[19]

Преобразование Лоренца через конформную, сферическую волну и преобразование Лагерра [ править ]

Если требуется только инвариантность светового конуса, представленного дифференциальным уравнением , что равносильно требованию самого общего преобразования, которое превращает сферы в сферы, группа Лоренца может быть расширена путем добавления растяжений, представленных множителем λ. Результатом является группа Con (1, p) конформных преобразований пространства-времени в терминах специальных конформных преобразований и инверсий, дающих соотношение $-dx_{0}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}=0$

-dx_{0}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}=\lambda \left(-dx_{0}^{\prime 2}+\dots +dx_{n}^{\prime 2}\right)

.

Можно переключаться между двумя представлениями этой группы, используя координату радиуса мнимой сферы x ₀ = iR с интервалом, относящимся к конформным преобразованиям, или используя координату реального радиуса x ₀ = R с интервалом, связанным с преобразованиями сферической волны в терминах контактные преобразования, сохраняющие круги и сферы. Оказывается, Con (1,3) изоморфна специальной ортогональной группе SO (2,4) и содержит группу Лоренца SO (1,3) в качестве подгруппы, полагая λ = 1. В более общем смысле Con (q, p) изоморфен SO (q + 1, p + 1) и содержит SO (q, p) в качестве подгруппы. ^[20] $dx_{0}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}$ $-dx_{0}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}$ Отсюда следует, что Con (0, p) изоморфна группе Лоренца произвольной размерности SO (1, p + 1). Следовательно, конформная группа на плоскости Con (0,2), известная как группа преобразований Мёбиуса , изоморфна группе Лоренца SO (1,3). ^[21]^[22] Это можно увидеть, используя тетрациклические координаты, удовлетворяющие форме . $-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$

Частным случаем геометрии ориентированных сфер Ли является группа Лагерра , преобразующая ориентированные плоскости и прямые друг в друга. Он порождается инверсией Лагерра, оставляя инвариантным с R в качестве радиуса, таким образом, группа Лагерра изоморфна группе Лоренца. ^[23]^[24] $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$

Учебные материалы из Викиверситета: как представления геометрии сферы Ли, так и конформные преобразования изучались Ли (1871 г.) и другими. Бейтман и Каннингем (1909–1910) показали , что группа Con (1,3) является наиболее общей, оставляющей инвариантными уравнения электродинамики Максвелла. Тетрациклические координаты обсуждались Поккельсом (1891), Кляйном (1893), Бохером (1894) . Связь между Con (1,3) и группой Лоренца была отмечена Бейтманом и Каннингемом (1909–1910) и другими. Инверсия Лагерра была введена Лагерром (1882 г.) и обсуждена Дарбу (1887 г.) и Смитом (1900 г.) . Похожая концепция была изученаШефферс (1899) в терминах контактных преобразований. Стефанос (1883) утверждал, что геометрия ориентированных сфер Ли с точки зрения контактных преобразований, а также особый случай преобразований ориентированных плоскостей друг в друга (например, Лагерром) обеспечивает геометрическую интерпретацию бикватернионов Гамильтона . Изоморфизм групп между группой Лагерра и группы Лоренца был указан Бейтман (1910), Картана (1912, 1915/55), Пуанкаре (1912/21) и другие.

Преобразование Лоренца через преобразование Кэли – Эрмита [ править ]

Общее преобразование ( Q1 ) любой квадратичной формы в себя также может быть задано с использованием произвольных параметров на основе преобразования Кэли ( I - T ) ⁻¹ · ( I + T ), где I - единичная матрица , T - произвольная антисимметричная матрица , и добавив A в качестве симметричной матрицы, определяющей квадратичную форму (здесь нет A 'со штрихом , поскольку предполагается, что коэффициенты одинаковы с обеих сторон): ^[25]^[26]

{\begin{matrix}q=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =q'=\mathbf {x} ^{\mathrm {\prime T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} '\\\hline \\\mathbf {x} =(\mathbf {I} -\mathbf {T} \cdot \mathbf {A} )^{-1}\cdot (\mathbf {I} +\mathbf {T} \cdot \mathbf {A} )\cdot \mathbf {x} '\\{\text{or}}\\\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot (\mathbf {A} -\mathbf {T} )\cdot (\mathbf {A} +\mathbf {T} )^{-1}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} '\end{matrix}}

( Q2 )

Например, выбор A = diag (1,1,1) дает ортогональное преобразование, которое можно использовать для описания пространственных вращений, соответствующих параметрам Эйлера-Родригеса [a, b, c, d], которые можно интерпретировать как коэффициенты из кватернионов . При d = 1 уравнения имеют вид:

{\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (1,1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a&-b\\-a&0&c\\b&-c&0\end{vmatrix}}}\\\hline x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}1-a^{2}-b^{2}+c^{2}&2(bc-a)&2(ac+b)\\2(bc+a)&1-a^{2}+b^{2}-c^{2}&2(ab-c)\\2(ac-b)&2(ab+c)&1+a^{2}-b^{2}-c^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\\left(\kappa =1+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\end{matrix}}

( Q3 )

Учебные материалы из Викиверситета: после того, как Кэли (1846) ввел преобразования, связанные с суммами положительных квадратов, Эрмит (1853/54, 1854) произвел преобразования для произвольных квадратичных форм, результат которых был переформулирован в терминах матриц ( Q2 ) Кэли (1855a, 1855b) . Параметр Эйлера-Родригеса открыли Эйлер (1771 г.) и Родригес (1840 г.) .

Также интервал Лоренца и общее преобразование Лоренца в любой размерности могут быть получены с помощью формализма Кэли – Эрмита. ^{[R 2]}^{[R 3]}^[27]^[28] Например, преобразование Лоренца ( 1a ) с n = 1 следует из ( Q2 ) с:

{\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (-1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a\\-a&0\end{vmatrix}}}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{1-a^{2}}}\left[{\begin{matrix}1+a^{2}&-2a\\-2a&1+a^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \end{matrix}}\Rightarrow {\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{0}&=x_{0}^{\prime }{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}+x_{1}^{\prime }{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=&{\frac {x_{0}^{\prime }\left(1+\beta _{0}^{2}\right)+x_{1}^{\prime }2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}\\x_{1}&=x_{0}^{\prime }{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}+x_{1}^{\prime }{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=&{\frac {x_{0}^{\prime }2\beta _{0}+x_{1}^{\prime }\left(1+\beta _{0}^{2}\right)}{1-\beta _{0}^{2}}}\\\\x_{0}^{\prime }&=x_{0}{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}-x_{1}{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=&{\frac {x_{0}\left(1+\beta _{0}^{2}\right)-x_{1}2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}+x_{1}{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=&{\frac {-x_{0}2\beta _{0}+x_{1}\left(1+\beta _{0}^{2}\right)}{1-\beta _{0}^{2}}}\end{aligned}}\right|{\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {2\beta _{0}}{1+\beta _{0}^{2}}}&=\beta \\{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=\gamma \\{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=\beta \gamma \end{aligned}}}\end{matrix}}

( 5а )

Это становится усилением Лоренца ( 4a или 4b ) путем установки , что эквивалентно соотношению, известному из диаграмм Лёделя , таким образом, ( 5a ) может быть интерпретировано как усиление Лоренца с точки зрения «медианного кадра», в котором два других инерциальных кадра движутся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. ${\tfrac {2a}{1+a^{2}}}={\tfrac {v}{c}}$ ${\tfrac {2\beta _{0}}{1+\beta _{0}^{2}}}={\tfrac {v}{c}}$ $\beta _{0}$

Кроме того, преобразование Лоренца ( 1a ) с n = 2 имеет вид:

{\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (-1,1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a&-b\\-a&0&c\\b&-c&0\end{vmatrix}}}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}1+a^{2}+b^{2}+c^{2}&-2(bc-a)&-2(ac+b)\\2(bc+a)&1+a^{2}-b^{2}-c^{2}&2(ab-c)\\2(ac-b)&-2(ab-c)&1-a^{2}+b^{2}-c^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\\left(\kappa =1-a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)\end{matrix}}

( 5b )

или используя n = 3:

{\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (-1,1,1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a&-b&c\\-a&0&d&e\\b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{vmatrix}}}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\scriptstyle {\begin{aligned}&1+a^{2}+b^{2}+c^{2}+&&2(-bd+a+ec+pf)&&2(-ad-b+fc-pe)&&2(pd+fb-ea+c)\\&\quad d^{2}+e^{2}+f^{2}+p^{2}&&1+a^{2}-b^{2}-c^{2}&&2(-d-ab+pc-fe)&&2(fd+pb+ca-e)\\&2(bd+a-ec+pf)&&\quad -d^{2}-e^{2}+f^{2}+p^{2}&&1-a^{2}+b^{2}-c^{2}&&2(-ed-cb+pa-f)\\&2(ad-b-fc-pe)&&2(d-ab-pc-fe)&&\quad -d^{2}+e^{2}-f^{2}+p^{2}&&1-a^{2}-b^{2}+-c^{2}\\&2(pd-fb+ea+c)&&2(fd-pb+ca+e)&&2(-ed-cb-pa+f)&&\quad +d^{2}-e^{2}-f^{2}+p^{2}\end{aligned}}}\right]\cdot \mathbf {x} \\\left({\begin{aligned}\kappa &=1-a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-p^{2}\\p&=af+be+cd\end{aligned}}\right)\end{matrix}}

( 5c )

Учебные материалы из Викиверситета: преобразование бинарной квадратичной формы, частным случаем которой является преобразование Лоренца ( 5a ), было дано Эрмитом (1854 г.) , уравнения, содержащие преобразования Лоренца ( 5a , 5b , 5c ), как частные случаи были приведены Кэли ( 1855 г.) , преобразование Лоренца ( 5a ) было дано (с точностью до смены знака) Лагерром (1882 г.) , Дарбу (1887 г.) , Смитом (1900 г.) применительно к геометрии Лагерра, а преобразование Лоренца ( 5b ) было дано Бахманом (1869 г.) ) . В теории относительности уравнения, подобные ( 5b, 5c ) были впервые использованы Борелем (1913) для представления преобразований Лоренца.

Как описано в уравнении ( 3d ), интервал Лоренца тесно связан с альтернативной формой , ^[29] , которые в терминах параметров Кэлей-Эрмит инвариантны относительно преобразования: $X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}$

{\begin{matrix}X_{2}^{\prime 2}-X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }=X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}\\\hline \mathbf {X} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}(b+1)^{2}&-2(b+1)c&c^{2}\\a(b+1)&1-ac-b^{2}&(b-1)c\\a^{2}&-2a(b-1)&(b-1)^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {X} \\\left(\kappa =1+ac-b^{2}\right)\end{matrix}}

( 5д )

Учебные материалы из Викиверситета: Это преобразование было дано Кэли (1884) , хотя он связал его не с интервалом Лоренца, а скорее с . $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

Преобразование Лоренца с помощью параметров Кэли – Клейна, Мёбиуса и спиновых преобразований [ править ]

Ранее упомянутый параметр Эйлера-Родригеса a, b, c, d (т.е. параметр Кэли-Эрмита в уравнении ( Q3 ) с d = 1 ) тесно связан с параметром Кэли-Клейна α, β, γ, δ, чтобы связать Мёбиуса преобразования и вращения: ^[30] ${\tfrac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}$

{\begin{aligned}\alpha &=1+ib,&\beta &=-a+ic,\\\gamma &=a+ic,&\delta &=1-ib.\end{aligned}}

таким образом ( Q3 ) становится:

{\begin{matrix}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)&\beta \delta -\alpha \gamma &{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\\\gamma \delta +\alpha \beta &\alpha \delta +\beta \gamma &i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\-{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)&-i(\alpha \gamma +\beta \delta )&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\(\kappa =\alpha \delta -\beta \gamma )\end{matrix}}

( Q4 )

Учебные материалы из Викиверситета: Параметр Кэли-Кляйн был введен Гельмгольцем (1866/67), Кэли (1879) и Кляйном (1884) .

Кроме того , преобразование Лоренца может быть выражен с вариантами параметров Кэли-Клейна: Один из них связан эти параметры , чтобы спин-матрицы D , то спиновые преобразования переменных (The Overline обозначает комплексное сопряжение ), а также преобразование Мёбиуса из . При определении в терминах изометрий гиперболического пространства (гиперболических движений) эрмитова матрица u, связанная с этими преобразованиями Мёбиуса, дает инвариантный определитель, идентичный интервалу Лоренца. Поэтому эти преобразования были описаны Джоном Лайтоном Синджем как «фабрика для массового производства преобразований Лоренца». ^[31] $\xi ',\eta ',{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}'$ $\zeta ',{\bar {\zeta }}'$ $\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$ Оказывается также, что родственная спиновая группа Spin (3, 1) или специальная линейная группа SL (2, C) действует как двойное покрытие группы Лоренца (одно преобразование Лоренца соответствует двум спиновым преобразованиям разного знака), в то время как Группа Мёбиуса Con (0,2) или проективная специальная линейная группа PSL (2, C) изоморфна как группе Лоренца, так и группе изометрий гиперболического пространства.

В пространстве преобразования Мёбиуса / Спина / Лоренца могут быть записаны как: ^[32]^[31]^[33]^[34]

{\begin{matrix}\zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{x_{0}-x_{3}}}={\frac {x_{0}+x_{3}}{x_{1}-ix_{2}}}\rightarrow \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\left|\zeta '={\frac {\xi '}{\eta '}}\rightarrow {\begin{aligned}\xi '&=\alpha \xi +\beta \eta \\\eta '&=\gamma \xi +\delta \eta \end{aligned}}\right.\\\hline \left.{\begin{matrix}\mathbf {u} =\left({\begin{matrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\bar {\xi }}\xi &\xi {\bar {\eta }}\\{\bar {\xi }}\eta &{\bar {\eta }}\eta \end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}x_{0}+x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&x_{0}-x_{3}\end{matrix}}\right)\\\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}\mathbf {D} =\left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{matrix}}\right)\\{\begin{aligned}\det {\boldsymbol {\mathbf {D} }}&=1\end{aligned}}\end{matrix}}\\\hline \mathbf {u} '=\mathbf {D} \cdot \mathbf {u} \cdot {\bar {\mathbf {D} }}^{\mathrm {T} }={\begin{aligned}X_{1}^{\prime }&=X_{1}\alpha {\bar {\alpha }}+X_{2}\alpha {\bar {\beta }}+X_{3}{\bar {\alpha }}\beta +X_{4}\beta {\bar {\beta }}\\X_{2}^{\prime }&=X_{1}{\bar {\alpha }}\gamma +X_{2}{\bar {\alpha }}\delta +X_{3}{\bar {\beta }}\gamma +X_{4}{\bar {\beta }}\delta \\X_{3}^{\prime }&=X_{1}\alpha {\bar {\gamma }}+X_{2}\alpha {\bar {\delta }}+X_{3}\beta {\bar {\gamma }}+X_{4}\beta {\bar {\delta }}\\X_{4}^{\prime }&=X_{1}\gamma {\bar {\gamma }}+X_{2}\gamma {\bar {\delta }}+X_{3}{\bar {\gamma }}\delta +X_{4}\delta {\bar {\delta }}\end{aligned}}\\\hline {\begin{aligned}X_{3}^{\prime }X_{2}^{\prime }-X_{1}^{\prime }X_{4}^{\prime }&=X_{3}X_{2}-X_{1}X_{4}=0\\\det \mathbf {u} '=x_{0}^{\prime 2}-x_{1}^{\prime 2}-x_{2}^{\prime 2}-x_{3}^{\prime 2}&=\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}

( 6а )

таким образом: ^[35]

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{2}}\left[{\scriptstyle {\begin{aligned}&\alpha {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\beta }}+\gamma {\bar {\gamma }}+\delta {\bar {\delta }}&&\alpha {\bar {\beta }}+\beta {\bar {\alpha }}+\gamma {\bar {\delta }}+\delta {\bar {\gamma }}&&i(\alpha {\bar {\beta }}-\beta {\bar {\alpha }}+\gamma {\bar {\delta }}-\delta {\bar {\gamma }})&&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}+\gamma {\bar {\gamma }}-\delta {\bar {\delta }}\\&\alpha {\bar {\gamma }}+\gamma {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\delta }}+\delta {\bar {\beta }}&&\alpha {\bar {\delta }}+\delta {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\gamma }}+\gamma {\bar {\beta }}&&i(\alpha {\bar {\delta }}-\delta {\bar {\alpha }}+\gamma {\bar {\beta }}-\beta {\bar {\gamma }})&&\alpha {\bar {\gamma }}+\gamma {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\delta }}-\delta {\bar {\beta }}\\&i(\gamma {\bar {\alpha }}-\alpha {\bar {\gamma }}+\delta {\bar {\beta }}-\beta {\bar {\delta }})&&i(\delta {\bar {\alpha }}-\alpha {\bar {\delta }}+\gamma {\bar {\beta }}-\beta {\bar {\gamma }})&&\alpha {\bar {\delta }}+\delta {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\gamma }}-\gamma {\bar {\beta }}&&i(\gamma {\bar {\alpha }}-\alpha {\bar {\gamma }}+\beta {\bar {\delta }}-\delta {\bar {\beta }})\\&\alpha {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\beta }}-\gamma {\bar {\gamma }}-\delta {\bar {\delta }}&&\alpha {\bar {\beta }}+\beta {\bar {\alpha }}-\gamma {\bar {\delta }}-\delta {\bar {\gamma }}&&i(\alpha {\bar {\beta }}-\beta {\bar {\alpha }}+\delta {\bar {\gamma }}-\gamma {\bar {\delta }})&&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}-\gamma {\bar {\gamma }}+\delta {\bar {\delta }}\end{aligned}}}\right]\cdot \mathbf {x} \\(\alpha \delta -\beta \gamma =1)\end{matrix}}

( 6b )

или в соответствии с уравнением ( 1b ) можно заменить так, чтобы преобразования Мёбиуса / Лоренца стали связаны с единичной сферой: $\left[u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ 1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{2}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{3}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{0}}{x_{0}}}\right]$

{\begin{matrix}u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=u_{1}^{\prime 2}+u_{2}^{\prime 2}+u_{3}^{\prime 2}=1\\\hline \left.{\begin{matrix}\zeta ={\frac {u_{1}+iu_{2}}{1-u_{3}}}={\frac {1+u_{3}}{u_{1}-iu_{2}}}\\\zeta '={\frac {u_{1}^{\prime }+iu_{2}^{\prime }}{1-u_{3}^{\prime }}}={\frac {1+u_{3}^{\prime }}{u_{1}^{\prime }-iu_{2}^{\prime }}}\end{matrix}}\right|\quad \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\end{matrix}}

( 6c )

Учебные материалы из Викиверситета: Общее преобразование u ′ в ( 6a ) было дано Кэли (1854 г.) , в то время как общая связь между преобразованиями Мёбиуса и преобразованием u ′, оставляющим инвариантным обобщенный круг, была указана Пуанкаре (1883 г.) применительно к кляйниану. группы . Адаптация к интервалу Лоренца, посредством которого ( 6a ) становится преобразованием Лоренца, была дана Кляйном (1889–1893, 1896/97) , Бьянки (1893) , Фрике (1893, 1897) . Его переформулировка в виде преобразования Лоренца ( 6b ) была предоставленаБьянки (1893) и Фрике (1893, 1897) . Преобразование Лоренца ( 6c ) было дано Клейном (1884) в отношении поверхностей второй степени и инвариантности единичной сферы. В теории относительности ( 6a ) впервые использовал Герглотц (1909/10) .

На плоскости преобразования можно записать в виде: ^[29]^[34]

{\begin{matrix}\zeta ={\frac {x_{1}}{x_{0}-x_{2}}}={\frac {x_{0}+x_{2}}{x_{1}}}\rightarrow \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\left|\zeta '={\frac {\xi '}{\eta '}}\rightarrow {\begin{aligned}\xi '&=\alpha \xi +\beta \eta \\\eta '&=\gamma \xi +\delta \eta \end{aligned}}\right.\\\hline \left.{\begin{matrix}\mathbf {u} =\left({\begin{matrix}X_{1}&X_{2}\\X_{2}&X_{3}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\xi ^{2}&\xi \eta \\\xi \eta &\eta ^{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}x_{0}+x_{2}&x_{1}\\x_{1}&x_{0}-x_{2}\end{matrix}}\right)\\\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}\mathbf {D} =\left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{matrix}}\right)\\{\begin{aligned}\det {\boldsymbol {\mathbf {D} }}&=1\end{aligned}}\end{matrix}}\\\hline \mathbf {u} '=\mathbf {D} \cdot \mathbf {u} \cdot \mathbf {D} ^{\mathrm {T} }={\begin{aligned}X_{1}^{\prime }&=X_{1}\alpha ^{2}+X_{2}2\alpha \beta +X_{3}\beta ^{2}\\X_{2}^{\prime }&=X_{1}\alpha \gamma +X_{2}(\alpha \delta +\beta \gamma )+X_{3}\beta \delta \\X_{3}^{\prime }&=X_{1}\gamma ^{2}+X_{2}2\gamma \delta +X_{3}\delta ^{2}\end{aligned}}\\\hline {\begin{aligned}X_{2}^{\prime 2}-X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }&=X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}=0\\\det \mathbf {u} '=x_{0}^{\prime 2}-x_{1}^{\prime 2}-x_{2}^{\prime 2}&=\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}

( 6д )

таким образом

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '=\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)&\alpha \beta +\gamma \delta &{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\delta ^{2}\right)\\\alpha \gamma +\beta \delta &\alpha \delta +\beta \gamma &\alpha \gamma -\beta \delta \\{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}\right)&\alpha \beta -\gamma \delta &{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\(\alpha \delta -\beta \gamma =1)\end{matrix}}

( 6e )

который включает в себя особый случай, подразумевающий сокращение преобразования до буста Лоренца в 1 + 1 измерениях: $\beta =\gamma =0$ $\delta =1/\alpha$

{\begin{matrix}X_{1}X_{3}=X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }\quad \Rightarrow \quad -x_{0}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}X_{1}&=\alpha ^{2}X_{1}^{\prime }\\X_{2}&=X_{2}^{\prime }\\X_{3}&={\frac {1}{\alpha ^{2}}}X_{3}^{\prime }\end{aligned}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(\alpha ^{4}+1\right)+x_{2}^{\prime }\left(\alpha ^{4}-1\right)}{2\alpha ^{2}}}\\x_{1}&=x_{1}^{\prime }\\x_{2}&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(\alpha ^{4}-1\right)+x_{2}^{\prime }\left(\alpha ^{4}+1\right)}{2\alpha ^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

( 6f )

Наконец, используя интервал Лоренца, связанный с гиперболоидом, преобразования Мёбиуса / Лоренца могут быть записаны

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}=-1\\\hline \left.{\begin{matrix}\zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{x_{0}+1}}={\frac {x_{0}-1}{x_{1}-ix_{2}}}\\\zeta '={\frac {x_{1}^{\prime }+ix_{2}^{\prime }}{x_{0}^{\prime }+1}}={\frac {x_{0}^{\prime }-1}{x_{1}^{\prime }-ix_{2}^{\prime }}}\end{matrix}}\right|\quad \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\end{matrix}}

( 6 г )

Учебные материалы из Викиверситета: Общее преобразование u ' и его инвариант в ( 6d ) уже использовались Лагранжем (1773) и Гауссом (1798/1801) в теории целочисленных двоичных квадратичных форм. Инвариант также изучался Клейном (1871 г.) в связи с геометрией гиперболической плоскости (см. Уравнение ( 3d )), в то время как связь между u ′ и преобразованием Мёбиуса была проанализирована Пуанкаре (1886 г.) применительно к фуксовым группам . Адаптация к интервалу Лоренца, посредством которого ( 6d ) становится преобразованием Лоренца, была дана Бьянки (1888). $X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}$ $X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}$ $X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}$ и Фрике (1891) . Преобразование Лоренца ( 6e ) было сформулировано Гауссом около 1800 г. (посмертно опубликовано в 1863 г.), а также Селлингом (1873 г.) , Бьянки (1888 г.) , Фрике (1891 г.) , Вудсом (1895 г.) применительно к целочисленным неопределенным тернарным квадратичным формам. Преобразование Лоренца ( 6f ) было дано Бьянки (1886, 1894) и Эйзенхартом (1905) . Преобразование Лоренца ( 6g ) гиперболоида было сформулировано Пуанкаре (1881 г.) и Хаусдорфом (1899 г.) .

Преобразование Лоренца через кватернионы и гиперболические числа [ править ]

Преобразования Лоренца также могут быть выражены в терминах бикватернионов : кватернион Минковского (или минкват) q, имеющий одну действительную часть и одну чисто мнимую часть, умножается на бикватернион a, применяемый как пре- и постфактор. Если использовать верхнюю черту для обозначения кватернионного сопряжения и * для комплексного сопряжения, его общая форма (слева) и соответствующее усиление (справа) следующие: ^[36]^[37]

\left.{\begin{matrix}-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\\hline q'=aq{\bar {a}}^{\ast }\\\hline {\begin{aligned}q&=ix_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}\\q'&=ix_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }e_{1}+x_{2}^{\prime }e_{2}+x_{3}^{\prime }e_{3}\\a&=\cos \chi +i\sin \chi =e^{i\chi }\end{aligned}}\\\left(a{\bar {a}}=1,\ \chi ={\text{imaginary}}\right)\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}\chi ={\frac {1}{2}}i\eta \\\downarrow \\{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\x_{2}^{\prime }&=x_{2},\quad x_{3}^{\prime }=x_{3}\end{aligned}}\end{matrix}}

( 7а )

Учебные материалы из Викиверситета: Гамильтон (1844/45) и Кэли (1845) вывели преобразование кватернионов для пространственных вращений, а Кэли (1854, 1855) дал соответствующее преобразование, оставив неизменной сумму четырех квадратов . Кокс (1882/83) обсуждал интервал Лоренца в терминах координат Вейерштрасса в ходе адаптации бикватернионов Уильяма Кингдона Клиффорда a + ωb к гиперболической геометрии путем установки (альтернативно, 1 дает эллиптическую и 0 параболическую геометрию). Стефанос (1883) рассказал о воображаемой части Уильяма Роуэна Гамильтона. $aqa^{-1}$ $aqb$ $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{2}^{2}$ $x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{2}^{2}=1$ $\omega ^{2}=-1$ бикватернионов к радиусу сфер и ввел гомографию, оставив неизменными уравнения ориентированных сфер или ориентированных плоскостей в терминах геометрии сфер Ли . Буххайм (1884/85) обсудил абсолют Кэли и адаптировал бикватернионы Клиффорда к гиперболической геометрии, подобной Коксу, используя все три значения . В конце концов, современное преобразование Лоренца с использованием бикватернионов с as в гиперболической геометрии было дано Нётер (1910) и Кляйном (1910), а также Конвеем (1911) и Зильберштейном (1911) . $x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{2}^{2}=0$ $\omega ^{2}$ $\omega ^{2}=-1$

С кватернионными системами часто связано гиперболическое число , которое также позволяет сформулировать преобразования Лоренца: ^[38]^[39] $\varepsilon ^{2}=1$

{\begin{aligned}w'&=we^{-\varepsilon \eta }\\&=w(\cosh(-\eta )+\varepsilon \sinh(-\eta ))\\\\w&=w'e^{\varepsilon \eta }\\&=w'(\cosh \eta +\varepsilon \sinh \eta )\end{aligned}}\rightarrow {\begin{aligned}w&=x_{1}+\varepsilon x_{0}\\w'&=x_{1}^{\prime }+\varepsilon x_{0}^{\prime }\end{aligned}}\rightarrow {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\cosh \eta +x_{1}^{\prime }\sinh \eta \\x_{1}&=x_{0}^{\prime }\sinh \eta +x_{1}^{\prime }\cosh \eta \end{aligned}}

( 7b )

Учебные материалы из Викиверситета: после того, как тригонометрическое выражение ( формула Эйлера ) было дано Эйлером (1748) , а гиперболический аналог, а также гиперболические числа - Коклом (1848) в рамках тессаринов , оно было показано Коксом (1882/83). ), который можно отождествить с ассоциативным умножением кватернионов. Здесь - гиперболический вариант с , в то время как -1 обозначает эллиптический или 0 обозначает параболический аналог (не путать с выражением в бикватернионах Клиффорда, также используемым Коксом, в котором -1 является гиперболическим). Гиперболический вариант также обсуждался $e^{ix}$ $e^{\varepsilon \eta }$ $ww^{\prime -1}=e^{\varepsilon \eta }$ $e^{\varepsilon \eta }$ $\varepsilon ^{2}=1$ $\omega ^{2}$ Макфарлейн (1892, 1894, 1900) в терминах гиперболических кватернионов . Выражение для гиперболических движений (и -1 для эллиптических, 0 для параболических движений) также встречается в «бикватернионах», определенных Валеном (1901/02, 1905) . $\varepsilon ^{2}=1$

Более расширенные формы сложных и (би-) кватернионных систем в терминах алгебры Клиффорда также могут быть использованы для выражения преобразований Лоренца. Например, используя систему чисел Клиффорда a, можно преобразовать следующую общую квадратичную форму в себя, в которой отдельные значения могут быть установлены на +1 или -1 по желанию, в то время как интервал Лоренца следует, если знак единицы отличается от всех остальных .: ^[40]^[41] $i_{1}^{2},i_{2}^{2},\dots$ $i^{2}$

{\begin{matrix}i_{1}^{2}x_{1}^{\prime 2}+\cdots +i_{n}^{2}x_{n}^{\prime 2}=i_{1}^{2}x_{1}^{2}+\cdots +i_{n}^{2}x_{n}^{2}\\\hline (1)\ x'=axa^{-1}\\(2)\ x'={\frac {ax+b}{\varepsilon ^{2}bx+a}}\end{matrix}}

( 7c )

Учебные материалы из Викиверситета: общая определенная форма, а также общая неопределенная форма и их инвариантность относительно преобразования (1) обсуждались Липшицем (1885/86) , в то время как гиперболические движения обсуждались Валеном (1901/02, 1905) , полагая в преобразовании (2), в то время как эллиптические движения следуют с -1 и параболические движения с 0, все из которых он также связал с бикватернионами. $x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ $x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}$ $\varepsilon ^{2}=1$

Преобразование Лоренца с помощью тригонометрических функций [ править ]

Следующее общее соотношение связывает скорость света и относительную скорость с гиперболическими и тригонометрическими функциями, где скорость в ( 3b ) эквивалентна функции Гудермана и эквивалентна углу параллелизма Лобачевского : $\eta$ $\theta$ ${\rm {gd}}(\eta )=2\arctan(e^{\eta })-\pi /2$ $\vartheta$ $\Pi (\eta )=2\arctan(e^{-\eta })$

{\frac {v}{c}}=\tanh \eta =\sin \theta =\cos \vartheta

Учебные материалы из Викиверситета: Эта связь была впервые определена Варичаком (1910) .

а) Используя, получаем соотношения и , а буст Лоренца принимает вид: ^[42] $\sin \theta ={\tfrac {v}{c}}$ $\sec \theta =\gamma$ $\tan \theta =\beta \gamma$

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\sec \theta -x_{1}\tan \theta &&={\frac {x_{0}-x_{1}\sin \theta }{\cos \theta }}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\tan \theta +x_{1}\sec \theta &&={\frac {x_{0}\sin \theta -x_{1}}{\cos \theta }}\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\sec \theta +x_{1}^{\prime }\tan \theta &&={\frac {x_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }\sin \theta }{\cos \theta }}\\x_{1}&=x_{0}^{\prime }\tan \theta +x_{1}^{\prime }\sec \theta &&={\frac {x_{0}^{\prime }\sin \theta +x_{1}^{\prime }}{\cos \theta }}\\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\right|{\scriptstyle {\begin{aligned}\tan ^{2}\theta -\sec ^{2}\theta &=-1\\{\frac {\tan \theta }{\sec \theta }}&=\sin \theta \\{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}&=\sec \theta \\{\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}&=\tan \theta \end{aligned}}}\end{matrix}}

( 8а )

Учебные материалы из Викиверситета: это преобразование Лоренца было получено Бьянки (1886) и Дарбу (1891/94) при преобразовании псевдосферических поверхностей, а также Шефферсом (1899) как частный случай контактного преобразования на плоскости (геометрия Лагерра). В специальной теории относительности он использовался Грюнером (1921) при разработке диаграмм Лёделя и Владимиром Карапетовым в 1920-х годах.

б) Используя один, получаем соотношения и , а буст Лоренца принимает вид: ^[42] $\cos \vartheta ={\tfrac {v}{c}}$ $\csc \vartheta =\gamma$ $\cot \vartheta =\beta \gamma$

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\csc \vartheta -x_{1}\cot \vartheta &&={\frac {x_{0}-x_{1}\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\cot \vartheta +x_{1}\csc \vartheta &&={\frac {x_{0}\cos \vartheta -x_{1}}{\sin \vartheta }}\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\csc \vartheta +x_{1}^{\prime }\cot \vartheta &&={\frac {x_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\\x_{1}&=x_{0}^{\prime }\cot \vartheta +x_{1}^{\prime }\csc \vartheta &&={\frac {x_{0}^{\prime }\cos \vartheta +x_{1}^{\prime }}{\sin \vartheta }}\\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}\right|{\scriptstyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\vartheta -\csc ^{2}\vartheta &=-1\\{\frac {\cot \vartheta }{\csc \vartheta }}&=\cos \vartheta \\{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\vartheta }}}&=\csc \vartheta \\{\frac {\cos \vartheta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\vartheta }}}&=\cot \vartheta \end{aligned}}}\end{matrix}}

( 8b )

Учебные материалы из Викиверситета: это преобразование Лоренца было получено Эйзенхартом (1905) при преобразовании псевдосферических поверхностей. В специальной теории относительности он был впервые использован Грюнером (1921) при разработке диаграмм Лёделя .

Преобразование Лоренца с помощью сжатых отображений [ править ]

Как уже указывалось в уравнениях ( 3d ) в экспоненциальной форме или ( 6f ) в терминах параметра Кэли-Клейна, повышения Лоренца в терминах гиперболических вращений могут быть выражены как отображения сжатия . Используя асимптотические координаты гиперболы ( u, v ), они имеют общий вид (некоторые авторы альтернативно добавляют множитель 2 или ): ^[43] ${\sqrt {2}}$

{\begin{matrix}(1)&{\begin{array}{c|c|c}u=x_{0}+x_{1}&2u=x_{0}+x_{1}&{\sqrt {2}}u=x_{0}+x_{1}\\v=x_{0}-x_{1}&2v=x_{0}-x_{1}&{\sqrt {2}}v=x_{0}-x_{1}\\u'=x_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }&2u'=x_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }&{\sqrt {2}}u=x_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }\\v'=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }&2v'=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }&{\sqrt {2}}v=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }\end{array}}\\\hline (2)&(u',v')=\left(ku,\ {\frac {1}{k}}v\right)\Rightarrow u'v'=uv\end{matrix}}

( 9а )

То, что эта система уравнений действительно представляет собой усиление Лоренца, можно увидеть, подставив (1) в (2) и решив для отдельных переменных:

{\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&={\frac {1}{2}}\left(k+{\frac {1}{k}}\right)x_{0}-{\frac {1}{2}}\left(k-{\frac {1}{k}}\right)x_{1}&&={\frac {x_{0}\left(k^{2}+1\right)-x_{1}\left(k^{2}-1\right)}{2k}}\\x_{1}^{\prime }&=-{\frac {1}{2}}\left(k-{\frac {1}{k}}\right)x_{0}+{\frac {1}{2}}\left(k+{\frac {1}{k}}\right)x_{1}&&={\frac {-x_{0}\left(k^{2}-1\right)+x_{1}\left(k^{2}+1\right)}{2k}}\\\\x_{0}&={\frac {1}{2}}\left(k+{\frac {1}{k}}\right)x_{0}^{\prime }+{\frac {1}{2}}\left(k-{\frac {1}{k}}\right)x_{1}^{\prime }&&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(k^{2}+1\right)+x_{1}^{\prime }\left(k^{2}-1\right)}{2k}}\\x_{1}&={\frac {1}{2}}\left(k-{\frac {1}{k}}\right)x_{0}^{\prime }+{\frac {1}{2}}\left(k+{\frac {1}{k}}\right)x_{1}^{\prime }&&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(k^{2}-1\right)+x_{1}^{\prime }\left(k^{2}+1\right)}{2k}}\end{aligned}}\right|{\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}&=\beta \\{\frac {k^{2}+1}{2k}}&=\gamma \\{\frac {k^{2}-1}{2k}}&=\beta \gamma \end{aligned}}}\end{matrix}}

( 9b )

Учебные материалы из Викиверситета: преобразование Лоренца ( 9a ) асимптотических координат использовалось Laisant (1874) , Günther (1880/81) применительно к эллиптической тригонометрии; по Lie (1879-81) , Bianchi (1886, 1894) , Дарбоукс (1891/94) , Эйзенхартом (1905) , как преобразование Ли ) ^[43] из псевдосферических поверхностей в терминах уравнения синус-Гордона ; по Липшица (1885/86) в теории трансформации. Отсюда были выведены различные формы преобразования Лоренца: ( 9b ) Липшицем (1885/86), Бьянки (1886, 1894) , Эйзенхарт (1905) ; тригонометрическое усиление Лоренца ( 8a ) Бьянки (1886, 1894) , Дарбу (1891/94) ; тригонометрическое усиление Лоренца ( 8b ) Эйзенхартом (1905) . Буст Лоренца ( 9b ) был переоткрыт в рамках специальной теории относительности Германом Бонди (1964) ^[44] в терминах k-исчисления Бонди , с помощью которого k можно физически интерпретировать как фактор Доплера. Поскольку ( 9b ) эквивалентно ( 6f ) в терминах параметра Кэли – Клейна, полагая $k=\alpha ^{2}$ , его можно интерпретировать как 1 + 1-мерный частный случай преобразования Лоренца ( 6e ), сформулированный Гауссом около 1800 г. (опубликовано посмертно в 1863 г.), Селлингом (1873 г.) , Бьянки (1888 г.) , Фрике (1891 г.) , Вудсом (1895 г.) .

Переменные u, v в ( 9a ) могут быть перегруппированы для получения другой формы отображения сжатия, что приводит к преобразованию Лоренца ( 5b ) в терминах параметра Кэли-Эрмита:

{\begin{matrix}{\begin{matrix}u=x_{0}+x_{1}\\v=x_{0}-x_{1}\\u'=x_{0}^{\prime }+x_{1}^{\prime }\\v'=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{matrix}u_{1}=x_{1}-x_{1}^{\prime }\\v_{1}=x_{0}+x_{0}^{\prime }\\u_{2}=x_{1}+x_{1}^{\prime }\\v_{2}=x_{0}-x_{0}^{\prime }\end{matrix}}\\\hline (u_{2},v_{2})=\left(au_{1},\ {\frac {1}{a}}v_{1}\right)\Rightarrow u_{2}v_{2}=u_{1}v_{1}\\(u',v')=\left({\frac {1+a}{1-a}}u,\ {\frac {1-a}{1+a}}v\right)\Rightarrow u'v'=uv\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}-x_{1}{\frac {2a}{1-a^{2}}}&&={\frac {x_{0}\left(1+a^{2}\right)-x_{1}2a}{1-a^{2}}}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}{\frac {2a}{1-a^{2}}}+x_{1}{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}&&={\frac {-x_{0}2a+x_{1}\left(1+a^{2}\right)}{1-a^{2}}}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}+x_{1}^{\prime }{\frac {2a}{1-a^{2}}}&&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(1+a^{2}\right)+x_{1}^{\prime }2a}{1-a^{2}}}\\x_{1}&=x_{0}^{\prime }{\frac {2a}{1-a^{2}}}+x_{1}^{\prime }{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}&&={\frac {x_{0}^{\prime }2a+x_{1}^{\prime }\left(1+a^{2}\right)}{1-a^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

( 9c )

Учебные материалы из Викиверситета: Эти преобразования Лоренца были даны (с точностью до смены знака) Лагерром (1882 г.) , Дарбу (1887 г.) , Смитом (1900 г.) применительно к геометрии Лагерра.

На основе факторов k или a все предыдущие повышения Лоренца ( 3b , 4a , 8a , 8b ) также могут быть выражены как сопоставления сжатия:

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}&&(3b)&(4a)&(8a)&(8b)\\\hline k&{\frac {1+a}{1-a}}&e^{\eta }&{\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}&{\frac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}&{\frac {1+\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}=\cot {\frac {\vartheta }{2}}\\\hline {\frac {k-1}{k+1}}&a&\tanh {\frac {\eta }{2}}&{\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}&{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan {\frac {\theta }{2}}&{\frac {1-\sin \vartheta }{\cos \vartheta }}\\\hline {\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}&{\frac {2a}{1+a^{2}}}&\tanh \eta &\beta &\sin \theta &\cos \vartheta \\\hline {\frac {k^{2}+1}{2k}}&{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}&\cosh \eta &\gamma &\sec \theta &\csc \vartheta \\\hline {\frac {k^{2}-1}{2k}}&{\frac {2a}{1-a^{2}}}&\sinh \eta &\beta \gamma &\tan \theta &\cot \vartheta \end{array}}

( 9д )

Учебные материалы из Викиверситете: Сожмите Отображения с точки зрения были использованы Дарбу (1891/94) и Бианки (1894) , с точки зрения по Lindemann (1891 г.) и Герглотцем (1909) , с точки зрения по Эйзенхартом (1905) , с точки зрения из Бонди (1964). $\theta$ $\eta$ $\vartheta$ $\beta$

Электродинамика и специальная теория относительности [ править ]

Войт (1887) [ править ]

Вольдемар Фойгт (1887) ^{[R 4]} разработал преобразование в связи с эффектом Доплера и несжимаемой средой, в современных обозначениях: ^[45]^[46]

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&=y_{1}q\\\zeta _{1}&=z_{1}q\\\tau &=t-{\frac {\varkappa x_{1}}{\omega ^{2}}}\\q&={\sqrt {1-{\frac {\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&={\frac {y}{\gamma }}\\z^{\prime }&={\frac {z}{\gamma }}\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx}{c^{2}}}\\{\frac {1}{\gamma }}&={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

Если правые части его уравнений умножить на γ, они будут современным преобразованием Лоренца ( 4b ). В теории Фойгта скорость света неизменна, но его преобразования смешивают релятивистский импульс с изменением масштаба пространства-времени. Оптические явления в свободном пространстве являются масштабными , конформными (с использованием фактора λ, о котором говорилось выше ) и лоренц-инвариантными , поэтому комбинация также инвариантна. ^[46] Например, преобразования Лоренца могут быть расширены с помощью : ^{[R 5]} $l={\sqrt {\lambda }}$

x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)

.

l = 1 / γ дает преобразование Фойгта, l = 1 - преобразование Лоренца. Но масштабные преобразования не являются симметрией всех законов природы, только электромагнетизма, поэтому эти преобразования нельзя использовать для формулирования принципа относительности в целом. Пуанкаре и Эйнштейн продемонстрировали, что нужно установить l = 1, чтобы сделать вышеуказанное преобразование симметричным и сформировать группу, как того требует принцип относительности, поэтому преобразование Лоренца - единственный жизнеспособный выбор.

Фойгт послал свою статью 1887 года Лоренцу в 1908 году ^[47], и это было признано в 1909 году:

В статье "Über das Doppler'sche Princip", опубликованной в 1887 г. (Gött. Nachrichten, стр. 41) и которая, к моему сожалению, ускользнула от моего внимания все эти годы, Фойгт применил к уравнениям вида (7) (§ 3 этой книги) [а именно ] преобразование, эквивалентное формулам (287) и (288) [а именно ]. Идея преобразований, использованных выше (и в § 44), могла поэтому быть заимствована у Фойгта, и доказательство того, что это не меняет форму уравнений для свободного эфира, содержится в его статье. ^{[R 6]} $\Delta \Psi -{\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0$ $x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime }=ly,\ z^{\prime }=lz,\ t^{\prime }=\gamma l\left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}x\right)$

Также Герман Минковский сказал в 1908 году, что преобразования, которые играют главную роль в принципе относительности, были впервые исследованы Фойгтом в 1887 году. В той же статье Фойгт ответил, что его теория основана на теории упругости света, а не на электромагнитной теории. один. Однако он пришел к выводу, что некоторые результаты были на самом деле такими же. ^{[R 7]}

Хевисайд (1888 г.), Томсон (1889 г.), Сирл (1896 г.) [ править ]

В 1888 году Оливер Хевисайд ^{[R 8]} исследовал свойства движущихся зарядов в соответствии с электродинамикой Максвелла. Он вычислил, среди прочего, анизотропию электрического поля движущихся тел, представленных этой формулой: ^[48]

\mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2}

.

Следовательно, Джозеф Джон Томсон (1889 г.) ^{[R 9]} нашел способ существенно упростить вычисления, касающиеся движущихся зарядов, с помощью следующего математического преобразования (как и другие авторы, такие как Лоренц или Лармор, Томсон неявно использовал преобразование Галилея z-vt в своей работе. уравнение ^[49] ):

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}z&=\left\{1-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\right\}^{\frac {1}{2}}z'\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}z^{\ast }=z-vt&={\frac {z'}{\gamma }}\end{aligned}}\end{matrix}}

Таким образом, уравнения неоднородных электромагнитных волн преобразуются в уравнение Пуассона . ^[49] В конце концов, Джордж Фредерик Чарльз Сирл ^{[R 10]} отметил в (1896 г.), что выражение Хевисайда приводит к деформации электрических полей, которые он назвал «эллипсоидом Хевисайда» с осевым соотношением.

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha }}:1:1\\\alpha =&1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}&{\frac {1}{\gamma }}:1:1\\{\frac {1}{\gamma ^{2}}}&=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

^[49]

Лоренц (1892, 1895) [ править ]

Чтобы объяснить аберрацию света и результат эксперимента Физо в соответствии с уравнениями Максвелла , Лоренц в 1892 году разработал модель (« теория эфира Лоренца »), в которой эфир полностью неподвижен, а скорость света в эфире постоянно во всех направлениях. Для расчета оптики движущихся тел Лоренц ввел следующие величины для преобразования эфирной системы в движущуюся (неизвестно, находился ли на нем под влиянием Фойгта, Хевисайда и Томсона) ^{[R 11]}^[50]

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}{\mathfrak {x}}&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}x\\t'&=t-{\frac {\varepsilon }{V}}{\mathfrak {x}}\\\varepsilon &={\frac {p}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\\gamma {\frac {v}{c}}&={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

где x ^* - преобразование Галилея x-vt . За исключением дополнительного γ во временном преобразовании, это полное преобразование Лоренца ( 4b ). ^[50] В то время как t - «истинное» время для наблюдателей, отдыхающих в эфире, t ′ является вспомогательной переменной только для расчета процессов для движущихся систем. Также важно, что Лоренц, а затем и Лармор сформулировали это преобразование в два этапа. Сначала неявное преобразование Галилея, а затем расширение в «фиктивную» электромагнитную систему с помощью преобразования Лоренца. Для объяснения отрицательного результата эксперимента Майкельсона – Морлион (1892b) ^{[R 12]} ввел дополнительную гипотезу о том, что на межмолекулярные силы действуют аналогичным образом, и ввел сокращение длины в свою теорию (без доказательств, как он признал). Такая же гипотеза была высказана Джорджем Фицджеральдом в 1889 году на основе работы Хевисайда. Хотя сокращение длины было для Лоренца реальным физическим эффектом, он рассматривал преобразование времени только как эвристическую рабочую гипотезу и математическое условие.

В 1895 году Лоренц развил свою теорию и ввел «теорему о соответствующих состояниях». Эта теорема утверждает, что движущийся наблюдатель (относительно эфира) в своем «фиктивном» поле делает те же наблюдения, что и покоящиеся наблюдатели в своем «реальном» поле для скоростей первого порядка по v / c . Лоренц показал, что размеры электростатических систем в эфире и движущейся системе отсчета связаны этим преобразованием: ^{[R 13]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=x^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {x^{\prime }}{\gamma }}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}

Для решения оптических задач Лоренц использовал следующее преобразование, в котором измененная временная переменная была названа им «местным временем» ( нем . Ortszeit ): ^{[R 14]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=\mathrm {x} -{\mathfrak {p}}_{x}t\\y&=\mathrm {y} -{\mathfrak {p}}_{y}t\\z&=\mathrm {z} -{\mathfrak {p}}_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}x-{\frac {{\mathfrak {p}}_{y}}{V^{2}}}y-{\frac {{\mathfrak {p}}_{z}}{V^{2}}}z\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-v_{x}t\\y^{\prime }&=y-v_{y}t\\z^{\prime }&=z-v_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}x'-{\frac {v_{y}}{c^{2}}}y'-{\frac {v_{z}}{c^{2}}}z'\end{aligned}}\end{matrix}}

С помощью этой концепции Лоренц мог объяснить эффект Доплера , аберрацию света и эксперимент Физо . ^[51]

Лармор (1897, 1900) [ править ]

В 1897 году Лармор расширил работу Лоренца и вывел следующее преобразование ^{[R 15]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=x\varepsilon ^{\frac {1}{2}}\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-vx/c^{2}\\dt_{1}&=dt^{\prime }\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\\\varepsilon &=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx^{\ast }}{c^{2}}}=t-{\frac {v(x-vt)}{c^{2}}}\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime }}{\gamma }}\\\gamma ^{2}&={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

Лармор отметил, что если предположить, что строение молекул является электрическим, то сжатие Фитцджеральда – Лоренца является следствием этого преобразования, объясняя эксперимент Майкельсона – Морли . Примечательно, что Лармор был первым, кто осознал, что некоторое замедление времени также является следствием этого преобразования, потому что «отдельные электроны описывают соответствующие части своих орбит в более короткие для [остальной] системы времена в соотношении 1 / γ». . ^[52]^[53] Лармор написал свои электродинамические уравнения и преобразования, пренебрегая членами более высокого порядка, чем (v / c) ²- когда его статья 1897 года была переиздана в 1929 году, Лармор добавил следующий комментарий, в котором он описал, как они могут быть применимы ко всем порядкам v / c : ^{[R 16]}

Ничего не нужно пренебрегать: преобразование будет точным, если v / c ² заменить на εv / c ² в уравнениях, а также в замене, следующем от t до t ' , как это разработано в Aether and Matter (1900), p. 168, и, как обнаружил Лоренц в 1904 году, тем самым стимулируя современные схемы внутренней относительной относительности.

В соответствии с этим комментарием в своей книге «Эфир и материя», опубликованной в 1900 году, Лармор использовал модифицированное местное время t ″ = t′-εvx ′ / c ² вместо выражения 1897 года t ′ = t-vx / c ² , заменив v / c ² с εv / c ² , так что t ″ теперь идентично тому, которое было дано Лоренцем в 1892 году, которое он объединил с преобразованием Галилея для координат x ', y', z ', t' : ^{[R 17 ]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }&=t^{\prime }-\varepsilon vx^{\prime }/c^{2}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }=t^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\prime }}{c^{2}}}&=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}

Лармор знал, что эксперимент Майкельсона-Морли был достаточно точным, чтобы обнаружить эффект движения, зависящий от фактора (v / c) ² , и поэтому он искал преобразования, которые были «точными до второго порядка» (как он выразился). Таким образом, он написал окончательные преобразования (где x ′ = x-vt и t ″, как указано выше) как: ^{[R 18]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\\y_{1}&=y^{\prime }\\z_{1}&=z^{\prime }\\dt_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}dt^{\prime \prime }=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\left(dt^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon dx^{\prime }\right)\\t_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}t^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y'=y\\z_{1}&=z'=z\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime \prime }}{\gamma }}={\frac {1}{\gamma }}\left(dt^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vdx^{\prime }}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)\\t_{1}&={\frac {t^{\prime }}{\gamma }}-{\frac {\gamma vx^{\prime }}{c^{2}}}=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}

благодаря которому он пришел к полному преобразованию Лоренца ( 4b ). Лармор показал, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этого двухшагового преобразования «до второго порядка по v / c » - позже Лоренц (1904) и Пуанкаре (1905) показали, что они действительно инвариантны относительно этого преобразования для всех порядков в в / ц .

Лармор отдал должное Лоренцу в двух статьях, опубликованных в 1904 году, в которых он использовал термин «преобразование Лоренца» для преобразований Лоренца первого порядка координат и конфигураций поля:

п. 583: [..] Преобразование Лоренца для перехода от области действия стационарной электродинамической материальной системы к области действия движущейся с равномерной скоростью перемещения через эфир.
п. 585: [..] преобразование Лоренца показало нам то, что не так очевидно очевидно [..] ^{[R 19]}
с. 622: [..] преобразование, впервые разработанное Лоренцем: а именно, каждая точка в пространстве должна иметь свое собственное начало, от которого отсчитывается время, свое «местное время» во фразеологии Лоренца, а затем значения электрического и магнитного векторов. [..] во всех точках эфира между молекулами в системе в состоянии покоя, такие же, как у векторов [..] в соответствующих точках конвективной системы в те же самые локальные моменты времени. ^{[R 20]}

Лоренц (1899, 1904) [ править ]

Также Лоренц расширил свою теорему о соответствующих состояниях в 1899 году. Сначала он написал преобразование, эквивалентное преобразованию 1892 года (опять же, x * необходимо заменить на x-vt ): ^{[R 21]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}x\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}

Затем он ввел коэффициент ε, который, по его словам, у него нет возможности определить, и изменил свое преобразование следующим образом (где необходимо вставить указанное выше значение t ' ): ^{[С 22]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&={\frac {\varepsilon }{k}}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon x^{\prime \prime }\\t^{\prime }&=k\varepsilon t^{\prime \prime }\\k&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {\varepsilon }{\gamma }}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon z^{\prime \prime }\\t^{\prime }=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)&=\gamma \varepsilon t^{\prime \prime }\\\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

Это эквивалентно полному преобразованию Лоренца ( 4b ) при решении относительно x ″ и t ″ и с ε = 1. Как и Лармор, Лоренц заметил в 1899 г. ^{[R 23]} также некоторый эффект замедления времени в отношении частоты колеблющихся электронов, «что в S время колебаний будет в kε раз больше, чем в S ₀» , где S ₀ - это эфирный каркас. ^[54]

В 1904 году он переписал уравнения в следующей форме, положив l = 1 / ε (опять же, x * необходимо заменить на x-vt ): ^{[R 24]}

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=klx\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&={\frac {l}{k}}t-kl{\frac {w}{c^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma lx^{\ast }=\gamma l(x-vt)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t^{\prime }&={\frac {lt}{\gamma }}-{\frac {\gamma lvx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma l\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}

Предполагая, что l = 1 при v = 0, он продемонстрировал, что l = 1 должно иметь место при всех скоростях, поэтому сокращение длины может возникать только на линии движения. Таким образом, установив множитель l равным единице, преобразования Лоренца теперь приняли ту же форму, что и преобразования Лармора, и теперь завершены. В отличие от Лармора, который ограничился тем, что показал ковариацию уравнений Максвелла до второго порядка, Лоренц попытался расширить ковариацию до всех порядков по v / c . Он также вывел правильные формулы для зависимости электромагнитной массы от скорости и пришел к выводу, что формулы преобразования должны применяться ко всем силам природы, а не только к электрическим. ^{[R 25]}Однако ему не удалось достичь полной ковариантности уравнений преобразования для плотности заряда и скорости. ^[55] Когда статья 1904 года была переиздана в 1913 году, Лоренц поэтому добавил следующее замечание: ^[56]

Можно заметить, что в этой работе уравнения преобразования теории относительности Эйнштейна не были полностью решены. [..] От этого обстоятельства зависит неуклюжесть многих дальнейших соображений в этой работе.

Преобразование Лоренца 1904 года было процитировано и использовано Альфредом Бухерером в июле 1904 года: ^{[R 26]}

x^{\prime }={\sqrt {s}}x,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{\sqrt {s}}}-{\sqrt {s}}{\frac {u}{v^{2}}}x,\quad s=1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}

или Вильгельмом Вином в июле 1904 г .: ^{[R 27]}

x=kx',\quad y=y',\quad z=z',\quad t'=kt-{\frac {v}{kc^{2}}}x

или Эмилем Коном в ноябре 1904 г. (установив скорость света равной единице): ^{[R 28]}

x={\frac {x_{0}}{k}},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad t=kt_{0},\quad t_{1}=t_{0}-w\cdot r_{0},\quad k^{2}={\frac {1}{1-w^{2}}}

или Ричардом Гансом в феврале 1905 г .: ^{[R 29]}

x^{\prime }=kx,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{k}}-{\frac {kwx}{c^{2}}},\quad k^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}-w^{2}}}

Пуанкаре (1900, 1905) [ править ]

Местное время [ править ]

Ни Лоренц, ни Лармор не дали четкой физической интерпретации происхождения местного времени. Однако Анри Пуанкаре в 1900 году прокомментировал происхождение «чудесного изобретения» Лоренца в отношении местного времени. ^[57] Он заметил, что это возникло, когда часы в движущейся системе отсчета синхронизируются путем обмена сигналами, которые, как предполагается, движутся с одинаковой скоростью в обоих направлениях, что приводит к тому, что в настоящее время называется относительностью одновременности , хотя расчет Пуанкаре не включает сокращение длины или замедление времени. ^{[R 30]} Чтобы синхронизировать часы здесь, на Земле ( кадры x *, t *), световой сигнал от одних часов (в начале координат) отправляется другим (в x $c$ *) и отправляется обратно. Предполагается, что Земля движется со скоростью v в x -направлении (= x * -направлении) в некоторой системе покоя ( x, t ) ( то есть в системе светоносного эфира для Лоренца и Лармора). Время вылета наружу составляет

\delta t_{a}={\frac {x^{\ast }}{\left(c-v\right)}}

и время обратного полета

\delta t_{b}={\frac {x^{\ast }}{\left(c+v\right)}}

.

Истекшее время на часах, когда сигнал возвращается, составляет δt _a + δt _b, а время t * = (δt _a + δt _b ) / 2 приписывается моменту, когда световой сигнал достиг дальних часов. В системе покоя этому же моменту приписывается время t = δt _a . Некоторая алгебра дает связь между различными временными координатами, приписываемыми моменту отражения. Таким образом

t^{\ast }=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{*}}{c^{2}}}

идентичен Лоренцу (1892). Отбросив множитель γ ² в предположении, что Пуанкаре дал результат t * = t-vx * / c ² , который использовался Лоренцем в 1895 году. ${\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}\ll 1$

Аналогичные физические интерпретации местного времени были позже даны Эмилем Коном (1904 г.) ^{[R 31]} и Максом Абрахамом (1905 г.). ^{[R 32]}

Преобразование Лоренца [ править ]

5 июня 1905 г. (опубликовано 9 июня) Пуанкаре сформулировал уравнения преобразования, которые алгебраически эквивалентны уравнениям Лармора и Лоренца, и дал им современную форму ( 4b ): ^{[R 33]}

{\begin{aligned}x^{\prime }&=kl(x+\varepsilon t)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&=kl(t+\varepsilon x)\\k&={\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}

.

По-видимому, Пуанкаре не знал о вкладе Лармора, потому что он упомянул только Лоренца и поэтому впервые использовал название «преобразование Лоренца». ^[58]^[59] Пуанкаре установил скорость света равной единице, указал на групповые характеристики преобразования, установив l = 1, и изменил / исправил вывод уравнений электродинамики Лоренца в некоторых деталях, чтобы полностью удовлетворить принципу теории относительности, т. е. сделав их полностью лоренц-ковариантными. ^[60]

В июле 1905 г. (опубликовано в январе 1906 г.) ^{[R 34]} Пуанкаре подробно показал, как преобразования и уравнения электродинамики являются следствием принципа наименьшего действия ; он более подробно продемонстрировал групповые характеристики преобразования, которое он назвал группой Лоренца , и показал, что комбинация x ² + y ² + z ² -t ² инвариантна. Он заметил, что преобразование Лоренца - это просто вращение в четырехмерном пространстве вокруг начала координат путем введения в качестве четвертой мнимой координаты, и он использовал раннюю форму четырех векторов . Он также сформулировал формулу сложения скоростей ( $ct{\sqrt {-1}}$ 4d ), которые он уже получил в неопубликованных письмах к Лоренцу от мая 1905 г .:^{[R 35]}

\xi '={\frac {\xi +\varepsilon }{1+\xi \varepsilon }},\ \eta '={\frac {\eta }{k(1+\xi \varepsilon )}}

.

Эйнштейн (1905) - Специальная теория относительности [ править ]

30 июня 1905 г. (опубликовано в сентябре 1905 г.) Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности, и дал новый вывод преобразования, основанный только на принципе относительности и принципе постоянства скорости света. В то время как Лоренц считал «местное время» математическим условием для объяснения эксперимента Майкельсона-Морли, Эйнштейн показал, что координаты, заданные преобразованием Лоренца, на самом деле являются инерциальными координатами относительно движущихся систем отсчета. Для количеств первого порядка в в / цэто также было сделано Пуанкаре в 1900 году, в то время как Эйнштейн получил полное преобразование этим методом. В отличие от Лоренца и Пуанкаре, которые все еще различали реальное время в эфире и кажущееся время для движущихся наблюдателей, Эйнштейн показал, что преобразования касаются природы пространства и времени. ^[61]^[62]^[63]

Обозначения для этого преобразования эквивалентны обозначениям Пуанкаре 1905 г. и ( 4b ), за исключением того, что Эйнштейн не устанавливал скорость света равной единице: ^{[R 36]}

{\begin{aligned}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)\\\xi &=\beta (x-vt)\\\eta &=y\\\zeta &=z\\\beta &={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}

Эйнштейн также определил формулу сложения скоростей ( 4d , 4e ): ^{[R 37]}

{\begin{matrix}x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t,\ y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t\\U^{2}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\ \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {w_{y}}{w_{x}}}\\U={\frac {\sqrt {\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha \right)-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}=u_{\xi }\\{\frac {u_{y}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\eta }\\{\frac {u_{z}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\zeta }\end{matrix}}\right.

и формула световой аберрации ( 4f ): ^{[R 38]}

\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}

Минковский (1907–1908) - Пространство-время [ править ]

Работа по принципу относительности Лоренца, Эйнштейна, Планка , вместе с четырехмерного подхода Пуанкаре, были дополнительно разработаны и в сочетании с гиперболоида модели по Герман Минковский в 1907 и 1908. ^{[R 39]}^{[R 40]} Минковский особенно переформулируется электродинамика в четырехмерном пространстве ( пространство-время Минковского ). ^[64] Например, он написал x, y, z, это в форме x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ . Определив ψ как угол поворота вокруг оси z-оси преобразование Лоренца принимает форму (с c = 1) в соответствии с ( 2b ): ^{[R 41]}

{\begin{aligned}x'_{1}&=x_{1}\\x'_{2}&=x_{2}\\x'_{3}&=x_{3}\cos i\psi +x_{4}\sin i\psi \\x'_{4}&=-x_{3}\sin i\psi +x_{4}\cos i\psi \\\cos i\psi &={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}}}}\end{aligned}}

Несмотря на то, что Минковский использовал мнимое число iψ, он на этот раз ^{[R 41]} напрямую использовал tangens hyperbolicus в уравнении для скорости

-i\tan i\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q

с .

\psi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+q}{1-q}}

Выражение Минковского также можно записать как ψ = atanh (q) и позже было названо быстротой . Он также написал преобразование Лоренца в матричной форме, эквивалентной ( 2a ) ( n = 3): ^{[R 42]}

{\begin{matrix}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}+x_{4}^{\prime 2}\\\left(x_{1}^{\prime }=x',\ x_{2}^{\prime }=y',\ x_{3}^{\prime }=z',\ x_{4}^{\prime }=it'\right)\\-x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\\hline x_{h}=\alpha _{h1}x_{1}^{\prime }+\alpha _{h2}x_{2}^{\prime }+\alpha _{h3}x_{3}^{\prime }+\alpha _{h4}x_{4}^{\prime }\\\mathrm {A} =\mathrm {\left|{\begin{matrix}\alpha _{11},&\alpha _{12},&\alpha _{13},&\alpha _{14}\\\alpha _{21},&\alpha _{22},&\alpha _{23},&\alpha _{24}\\\alpha _{31},&\alpha _{32},&\alpha _{33},&\alpha _{34}\\\alpha _{41},&\alpha _{42},&\alpha _{43},&\alpha _{44}\end{matrix}}\right|,\ {\begin{aligned}{\bar {\mathrm {A} }}\mathrm {A} &=1\\\left(\det \mathrm {A} \right)^{2}&=1\\\det \mathrm {A} &=1\\\alpha _{44}&>0\end{aligned}}} \end{matrix}}

В качестве графического представления преобразования Лоренца он представил диаграмму Минковского , которая стала стандартным инструментом в учебниках и исследовательских статьях по теории относительности: ^{[R 43]}

Оригинальная диаграмма пространства-времени Минковского в 1908 году.

Зоммерфельд (1909) - Сферическая тригонометрия [ править ]

Используя мнимую скорость, такую как Минковский, Арнольд Зоммерфельд (1909) сформулировал преобразование, эквивалентное бусту Лоренца ( 3b ) и релятивистскому сложению скоростей ( 4d ) в терминах тригонометрических функций и сферического закона косинусов : ^{[R 44]}

{\begin{matrix}\left.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}\\\left(\operatorname {tg} \varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\\hline \beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}+\operatorname {tg} \varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}\\\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \alpha \\v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}\end{matrix}}

Бейтман и Каннингем (1909–1910) - преобразование сферической волны [ править ]

В соответствии с исследованиями Ли (1871 г.) о связи между преобразованиями сфер с мнимой координатой радиуса и четырехмерными конформными преобразованиями, Бейтман и Каннингем (1909–1910) указали , что при установке u = ict в качестве мнимой четвертой координаты может производить конформные преобразования пространства-времени. Не только квадратичная форма , но и уравнения Максвелла ковариантны относительно этих преобразований независимо от выбора λ. Эти варианты конформных преобразований или преобразований сфер Ли были названы Бейтманом преобразованиями сферических волн . ^[45]^[46] $\lambda \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+du^{2}\right)$ Однако эта ковариация ограничена определенными областями, такими как электродинамика, тогда как совокупность законов природы в инерциальных системах отсчета является ковариантной в рамках группы Лоренца . ^{[R 47]} В частности, установив λ = 1, группу Лоренца SO (1,3) можно рассматривать как 10-параметрическую подгруппу 15-параметрической конформной группы пространства-времени Con (1,3) .

Бейтман (1910/12) ^[65] также намекал на тождество между инверсией Лагерра и преобразованиями Лоренца. В общем, изоморфизм между группой Лагерра и группой Лоренца был отмечен Эли Картаном (1912, 1915/55), ^[24]^{[R 48]} Анри Пуанкаре (1912/21) ^{[R 49]} и другими.

Herglotz (1909/10) - преобразование Мебиуса [ править ]

Следуя Клейну (1889–1897) и Фрике и Кляйну (1897) относительно абсолюта Кэли, гиперболического движения и его преобразования, Густав Герглотц (1909/10) классифицировал однопараметрические преобразования Лоренца как локсодромные, гиперболические, параболические и эллиптические. Общий случай (слева), эквивалентный преобразованию Лоренца ( 6a ), и гиперболический случай (справа), эквивалентный преобразованию Лоренца ( 3d ) или сжатому отображению ( 9d ), следующие: ^{[R 50]}

\left.{\begin{matrix}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0\\z_{1}=x,\ z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\Z={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}={\frac {x+iy}{t-z}},\ Z'={\frac {x'+iy'}{t'-z'}}\\Z={\frac {\alpha Z'+\beta }{\gamma Z'+\delta }}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}Z=Z'e^{\vartheta }\\{\begin{aligned}x&=x',&t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\y&=y',&t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}\end{matrix}}

Варичак (1910) - Гиперболические функции [ править ]

Вслед за Зоммерфельдом (1909) , гиперболические функции использовались Владимиром Варичаком в нескольких статьях, начиная с 1910 года, который представил уравнения специальной теории относительности на основе гиперболической геометрии в терминах координат Вейерштрасса. Например, установив l = ct и v / c = tanh (u) с u в качестве скорости, он написал преобразование Лоренца в соответствии с ( 3b ): ^{[R 51]}

{\begin{aligned}l'&=-x\operatorname {sh} u+l\operatorname {ch} u,\\x'&=x\operatorname {ch} u-l\operatorname {sh} u,\\y'&=y,\quad z'=z,\\\operatorname {ch} u&={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}

и показал связь быстроты с функцией Гудермана и углом параллельности : ^{[R 51]}

{\frac {v}{c}}=\operatorname {th} u=\operatorname {tg} \psi =\sin \operatorname {gd} (u)=\cos \Pi (u)

Он также связал добавление скорости с гиперболическим законом косинусов : ^{[R 52]}

{\begin{matrix}\operatorname {ch} {u}=\operatorname {ch} {u_{1}}\operatorname {c} h{u_{2}}+\operatorname {sh} {u_{1}}\operatorname {sh} {u_{2}}\cos \alpha \\\operatorname {ch} {u_{i}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \operatorname {sh} {u_{i}}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\\v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\ \left(a={\frac {\pi }{2}}\right)\end{matrix}}

Впоследствии другие авторы, такие как Уиттакер (1910) или Альфред Робб (1911, придумавший название «быстрота»), использовали аналогичные выражения, которые до сих пор используются в современных учебниках. ^[10]

Игнатовский (1910) [ править ]

В то время как более ранние выводы и формулировки преобразования Лоренца с самого начала основывались на оптике, электродинамике или инвариантности скорости света, Владимир Игнатовский (1910) показал, что можно использовать принцип относительности (и связанные с ним теоретико-групповые принципы). в одиночку, чтобы получить следующее преобразование между двумя инерциальными системами отсчета: ^{[R 53]}^{[R 54]}

{\begin{aligned}dx'&=p\ dx-pq\ dt\\dt'&=-pqn\ dx+p\ dt\\p&={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}\end{aligned}}

Переменную n можно рассматривать как пространственно-временную постоянную, значение которой должно быть определено экспериментально или взято из известного физического закона, такого как электродинамика. Для этой цели Игнатовский использовал вышеупомянутый эллипсоид Хевисайда, представляющий сжатие электростатических полей на x / γ в направлении движения. Можно видеть, что это согласуется с преобразованием Игнатовского только при n = 1 / c ² , что приводит к p = γ и преобразованию Лоренца ( 4b ). При n = 0 никаких изменений длины не происходит, и следует преобразование Галилея. Метод Игнатовского был развит и усовершенствован Филиппом Франком и Германом Роте.(1911, 1912), ^{[R 55]} с различными авторами, развивающими аналогичные методы в последующие годы. ^[66]

Нётер (1910), Кляйн (1910) - Кватернионы [ править ]

Феликс Кляйн (1908) описал четырехмерное умножение кватернионов Кэли (1854 г.) как «Drehstreckungen» (ортогональные замены в терминах вращений, оставляющих неизменной квадратичную форму с точностью до множителя), и указал, что современный принцип относительности, предложенный Минковским, по существу является только последующее применение таких Drehstreckungen, хотя он не предоставил подробностей. ^{[R 56]}

В приложении к «Теории волчка» Клейна и Зоммерфельда (1910) Фриц Нётер показал, как сформулировать гиперболические вращения, используя бикватернионы, с которыми он также связал скорость света, установив ω ² = - c ² . Он пришел к выводу, что это основной ингредиент для рационального представления группы преобразований Лоренца, эквивалентной ( 7a ): ^{[R 57]} $\omega ={\sqrt {-1}}$

{\begin{matrix}V={\frac {Q_{1}vQ_{2}}{T_{1}T_{2}}}\\\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega ^{2}S^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\omega ^{2}s^{2}\\\hline {\begin{aligned}V&=Xi+Yj+Zk+\omega S\\v&=xi+yj+zk+\omega s\\Q_{1}&=(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k+D')\\Q_{2}&=(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k-D')\\T_{1}T_{2}&=T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\omega ^{2}\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}

Помимо ссылки на стандартные работы, связанные с кватернионами, такие как Кэли (1854) , Нётер сослалась на записи в энциклопедии Кляйна Эдуарда Стюда (1899) и французскую версию Эли Картана (1908). ^[67] Версия Картана содержит описание двойственных чисел Этюда , бикватернионов Клиффорда (включая выбор для гиперболической геометрии) и алгебры Клиффорда со ссылками на Стефаноса (1883) , Буххейма (1884/85) , Валена (1901/02) и другие. $\omega ={\sqrt {-1}}$

Ссылаясь на Нётер, сам Кляйн опубликовал в августе 1910 года следующие кватернионные замены, образующие группу преобразований Лоренца: ^{[R 58]}

{\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\&\quad -\left(i_{1}x_{0}+i_{2}y_{0}+i_{3}z_{0}+ict_{0}\right)\end{aligned}}={\frac {\left[{\begin{aligned}&\left(i_{1}(A+iA')+i_{2}(B+iB')+i_{3}(C+iC')+i_{4}(D+iD')\right)\\&\quad \cdot \left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\&\quad \quad \cdot \left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right)\end{aligned}}\right]}{\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}}\\\hline {\text{where}}\\AA'+BB'+CC'+DD'=0\\A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{matrix}}

или в марте 1911 г. ^{[R 59]}

{\begin{matrix}g'={\frac {pg\pi }{M}}\\\hline {\begin{aligned}g&={\sqrt {-1}}ct+ix+jy+kz\\g'&={\sqrt {-1}}ct'+ix'+jy'+kz'\\p&=(D+{\sqrt {-1}}D')+i(A+{\sqrt {-1}}A')+j(B+{\sqrt {-1}}B')+k(C+{\sqrt {-1}}C')\\\pi &=(D-{\sqrt {-1}}D')-i(A-{\sqrt {-1}}A')-j(B-{\sqrt {-1}}B')-k(C-{\sqrt {-1}}C')\\M&=\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)-\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\\&AA'+BB'+CC'+DD'=0\\&A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{aligned}}\end{matrix}}

Конвей (1911), Зильберштейн (1911) - Quaternions [ править ]

Артур В. Конвей в феврале 1911 года явно сформулировал кватернионные преобразования Лоренца различных электромагнитных величин в терминах скорости λ: ^{[R 60]}

{\begin{matrix}{\begin{aligned}{\mathtt {D}}&=\mathbf {a} ^{-1}{\mathtt {D}}'\mathbf {a} ^{-1}\\{\mathtt {\sigma }}&=\mathbf {a} {\mathtt {\sigma }}'\mathbf {a} ^{-1}\end{aligned}}\\e=\mathbf {a} ^{-1}e'\mathbf {a} ^{-1}\\\hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda \right)^{\frac {1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\end{matrix}}

Также Людвик Зильберштейн в ноябре 1911 г. ^{[R 61],} а также в 1914 г. ^[68] сформулировал преобразование Лоренца в терминах скорости v :

{\begin{matrix}q'=QqQ\\\hline {\begin{aligned}q&=\mathbf {r} +l=xi+yj+zk+\iota ct\\q&'=\mathbf {r} '+l'=x'i+y'j+z'k+\iota ct'\\Q&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {1+\gamma }}+\mathrm {u} {\sqrt {1-\gamma }}\right)\\&=\cos \alpha +\mathrm {u} \sin \alpha =e^{\alpha \mathrm {u} }\\&\left\{\gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha =\operatorname {arctg} \ \left(\iota {\frac {v}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}\end{matrix}}

Зильберштейн цитирует энциклопедию Кэли (1854, 1855) и Этюда (в расширенной французской версии Картана в 1908 году), а также приложение к книге Кляйна и Зоммерфельда.

Герглотц (1911), Зильберштейн (1911) - Преобразование вектора [ править ]

Густав Херглотц (1911) ^{[R 62]} показал, как сформулировать преобразование, эквивалентное ( 4c ), чтобы учесть произвольные скорости и координаты v = (v _x , v _y , v _z ) и r = (x, y, z ) :

{\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{modern}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{0}&=x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\y^{0}&=y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\z^{0}&=z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\t^{0}&=-\beta (ux+vy+wz)+\beta t\\&\alpha ={\frac {1}{{\sqrt {1-s^{2}}}\left(1+{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}},\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x'&=x+\alpha v_{x}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\y'&=y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\z'&=z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\t'&=-\gamma \left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\&\alpha ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}

Это было упрощено с использованием векторной записи Людвиком Зильберштейном (1911 год слева, 1914 год справа): ^{[R 63]}

{\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {ru} )\mathbf {u} +i\beta \gamma lu\\l'&=\gamma \left[l-i\beta (\mathbf {ru} )\right]\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {vr} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \\t'&=\gamma \left[t-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {vr} )\right]\end{aligned}}\end{array}}

Эквивалентные формулы были также даны Вольфгангом Паули (1921 г.), ^[69] с Эрвином Маделунгом (1922 г.), предоставившим матричную форму ^[70]

{\begin{array}{c|c|c|c|c}&x&y&z&t\\\hline x'&1-{\frac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{x}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\y'&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\z'&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\t'&{\frac {-v_{x}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{y}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{z}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{array}}

Эти формулы были названы «общим преобразованием Лоренца без вращения» Кристианом Мёллером (1952), ^[71], который, кроме того, дал еще более общее преобразование Лоренца, в котором декартовы оси имеют разную ориентацию, используя оператор вращения . В этом случае v ′ = (v ′ _x , v ′ _y , v ′ _z ) не равно - v = (-v _x , -v _y , -v _z ) , но вместо этого выполняется соотношение с результатом ${\mathfrak {D}}$ $\mathbf {v} '=-{\mathfrak {D}}\mathbf {v}$

{\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\mathfrak {D}}^{-1}\mathbf {x} -\mathbf {v} '\left\{\left(\gamma -1\right)(\mathbf {x\cdot v} )/v^{2}-\gamma t\right\}\\t'&=\gamma \left(t-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {x} )/c^{2}\right)\end{aligned}}\end{array}}

Борель (1913–14) - параметр Кэли – Эрмита [ править ]

Борель (1913) начал с демонстрации евклидовых движений с использованием параметра Эйлера-Родрига в трех измерениях и параметра Кэли (1846) в четырех измерениях. Затем он продемонстрировал связь с неопределенными квадратичными формами, выражающими гиперболические движения и преобразования Лоренца. В трех измерениях, эквивалентных ( 5b ): ^{[R 64]}

{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}\delta a&=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta b&=2(\lambda \mu +\nu \rho ),&\delta c&=-2(\lambda \nu +\mu \rho ),\\\delta a'&=2(\lambda \mu -\nu \rho ),&\delta b'&=-\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta c'&=2(\lambda \rho -\mu \nu ),\\\delta a''&=2(\lambda \nu -\mu \rho ),&\delta b''&=2(\lambda \rho +\mu \nu ),&\delta c''&=-\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\rho ^{2}\right),\end{aligned}}}\\\left(\delta =\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)\\\lambda =\nu =0\rightarrow {\text{Hyperbolic rotation}}\end{matrix}}

В четырех измерениях, эквивалентных ( 5c ): ^{[R 65]}

{\begin{matrix}F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\alpha ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi -\gamma \operatorname {sh} {\theta }\\&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi +\gamma \operatorname {sh} {\theta }&&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\beta ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\mu ^{2}-\alpha ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\\&-(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi -\beta \operatorname {sh} {\theta }&&-(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\lambda \sin \varphi +\alpha \operatorname {sh} {\theta }\\&(\gamma \mu -\beta \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }&&-(\alpha \nu -\lambda \gamma )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\\\&\quad -(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi +\beta \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\beta \nu -\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad -(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\lambda \sin \varphi -\alpha \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\lambda \gamma -\alpha \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad \left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\nu ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&\quad (\alpha \mu -\beta \lambda )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad (\beta \gamma -\alpha \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }&&\quad -\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\end{aligned}}}\\\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}=-1\right)\end{matrix}}

Грюнер (1921) - Тригонометрические бусты Лоренца [ править ]

Чтобы упростить графическое представление пространства Минковского, Пауль Грюнер (1921) (с помощью Йозефа Заутера) разработал то, что сейчас называется диаграммами Лёделя , используя следующие соотношения: ^{[R 66]}

{\begin{matrix}v=\alpha \cdot c;\quad \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}\\\sin \varphi =\alpha ;\quad \beta ={\frac {1}{\cos \varphi }};\quad \alpha \beta =\tan \varphi \\\hline x'={\frac {x}{\cos \varphi }}-t\cdot \tan \varphi ,\quad t'={\frac {t}{\cos \varphi }}-x\cdot \tan \varphi \end{matrix}}

Это эквивалентно преобразованию Лоренца ( 8a ) тождеством $\sec \varphi ={\tfrac {1}{\cos \varphi }}$

В другой статье Грюнер использовал альтернативные соотношения: ^{[R 67]}

{\begin{matrix}\alpha ={\frac {v}{c}};\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}};\\\cos \theta =\alpha ={\frac {v}{c}};\ \sin \theta ={\frac {1}{\beta }};\ \cot \theta =\alpha \cdot \beta \\\hline x'={\frac {x}{\sin \theta }}-t\cdot \cot \theta ,\quad t'={\frac {t}{\sin \theta }}-x\cdot \cot \theta \end{matrix}}

Это эквивалентно бусту Лоренца-Лоренца ( 8b ) тождеством . $\csc \theta ={\tfrac {1}{\sin \theta }}$

Разрыв Эйлера [ править ]

Исследуя историю за годы до того, как Лоренц сформулировал свои выражения, мы обращаем внимание на суть концепции. С математической точки зрения преобразования Лоренца - это сжатые отображения , линейные преобразования, которые превращают квадрат в прямоугольники той же площади. До Эйлера сжатие изучалось как квадратура гиперболы и приводило к гиперболическому логарифму . В 1748 году Эйлер выпустил свой учебник по предварительным вычислениям, в котором число e используется для тригонометрии в единичной окружности . В первом томе « Введение в анализ бесконечного» не было диаграмм, что позволяло учителям и ученикам рисовать свои собственные иллюстрации.

В тексте Эйлера есть пробел, в котором возникают преобразования Лоренца. Особенностью натурального логарифма является его интерпретация как площадь в гиперболических секторах . В теории относительности классическое понятие скорости заменяется быстротой - концепцией гиперболического угла, построенной на гиперболических секторах. Преобразование Лоренца - это гиперболическое вращение, которое сохраняет различия в быстроте, так же как площадь кругового сектора сохраняется при круговом вращении. Разрыв Эйлера - это отсутствие гиперболического угла и гиперболических функций , позже разработанных Иоганном Х. Ламбертом . Эйлер описал некоторые трансцендентные функции: возведение в степень и круговые функции . Он использовал экспоненциальный ряд с мнимой единицей i ² = - 1 и разделив ряд на четные и нечетные члены, он получил $\sum _{0}^{\infty }x^{n}/n!.$

e^{ix}=\sum _{0}^{\infty }(ix)^{2n}/(2n)!\ +\ \sum _{0}^{\infty }(ix)^{2n+1}/(2n+1)!=

=\sum _{0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}/2n!+i\sum _{0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n+1}/(2n+1)!\ =\ \cos x+i\sin x.

Это развитие упускает альтернативу:

e^{x}=\cosh x+\sinh x

(четные и нечетные члены), и

e^{jx}=\cosh x+j\sinh x\quad (j^{2}=+1)

который параметризует единичную гиперболу .

Здесь Эйлер мог бы отметить комплексные числа, расщепляемые вместе с комплексными числами .

Для физики одного пространственного измерения недостаточно. Но продлить сплит-комплекс арифметики до четырех размеров приводят к гиперболическим кватернионам , и открывает дверь в абстрактную алгебру «S гиперкомплексные числа . Просматривая выражения Лоренца и Эйнштейна, можно заметить, что фактор Лоренца является алгебраической функцией скорости. Для читателей, которым некомфортны трансцендентные функции cosh и sinh, алгебраические функции могут быть более подходящими.

См. Также [ править ]

История специальной теории относительности

Ссылки [ править ]

Исторические математические источники [ править ]

Учебные материалы по истории тем специальной теории относительности / математические ресурсы в Викиверситете

Источники исторической относительности [ править ]

^ а б Варичак (1912), стр. 108
↑ Borel (1914), стр. 39–41
^ Брилл (1925)
↑ Voigt (1887), стр. 45
^ Лоренц (1915/16), стр. 197
^ Лоренц (1915/16), стр. 198
^ Бухерер (1908), стр. 762
^ Хевисайд (1888), стр. 324
^ Томсон (1889), стр. 12
^ Сирл (1886), стр. 333
^ Лоренц (1892a), стр. 141
^ Лоренц (1892b), стр. 141
^ Лоренц (1895), стр. 37
^ Лоренц (1895), стр. 49 по местному времени и стр. 56 для пространственных координат.
^ Лармор (1897), стр. 229
^ Лармор (1897/1929), стр. 39
^ Лармор (1900), стр. 168
^ Лармор (1900), стр. 174
^ Лармор (1904a), стр. 583, 585
^ Лармор (1904b), стр. 622
^ Лоренц (1899), стр. 429
^ Лоренц (1899), стр. 439
^ Лоренц (1899), стр. 442
^ Лоренц (1904), стр. 812
^ Лоренц (1904), стр. 826
^ Bucherer, стр. 129; Определение s на стр. 32
↑ Wien (1904), стр. 394
^ Cohn (1904a), стр. 1296-1297
^ Ганс (1905), стр. 169
↑ Пуанкаре (1900), стр. 272–273
^ Кон (1904b), стр. 1408
↑ Авраам (1905), § 42
^ Пуанкаре (1905), стр. 1505
^ Пуанкаре (1905/06), стр. 129ff
↑ Пуанкаре (1905/06), стр. 144
^ Эйнштейн (1905), стр. 902
^ Эйнштейн (1905), § 5 и § 9
^ Эйнштейн (1905), § 7
^ Минковский (1907/15), стр. 927ff
^ Минковский (1907/08), стр. 53ff
^ a b Минковский (1907/08), стр. 59
↑ Минковский (1907/08), стр. 65–66, 81–82
↑ Минковский (1908/09), стр. 77
^ Зоммерфельд (1909), стр. 826ff.
^ Bateman (1909/10), стр. 223ff
^ Cunningham (1909/10), стр. 77ff
^ Кляйн (1910)
^ Картан (1912), стр. 23
^ Пуанкаре (1912/21), стр. 145
^ Герглотца (1909/10), стр. 404-408
^ а б Варичак (1910), стр. 93
^ Варичак (1910), стр. 94
^ Игнатовски (1910), стр. 973-974
^ Игнатовски (1910/11), стр. 13
^ Франк & Рота (1911), стр 825ff. (1912), стр. 750ff.
^ Кляйн (1908), стр. 165
↑ Нётер (1910), стр. 939–943
^ Кляйн (1910), стр. 300
^ Клейн (1911), стр. 602ff.
^ Конвей (1911), стр. 8
^ Зильберштейн (1911/12), стр. 793
^ Герглотца (1911), стр. 497
^ Зильберштейн (1911/12), стр. 792; (1914), стр. 123
↑ Борель (1913/14), стр. 39
↑ Борель (1913/14), стр. 41 год
^ Грюнер (1921a),
^ Грюнер (1921b)

Авраам, М. (1905). «§ 42. Die Lichtzeit in einem gleichförmig bewegten System» . Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung . Лейпциг: Тойбнер.
Бейтман, Гарри (1910) [1909]. «Преобразование электродинамических уравнений» . Труды Лондонского математического общества . 8 : 223–264. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-8.1.223 .
Бейтман, Гарри (1912) [1910]. «Некоторые геометрические теоремы, связанные с уравнением Лапласа и уравнением движения волн» . Американский журнал математики . 34 (3): 325–360. DOI : 10.2307 / 2370223 . JSTOR 2370223 .
Борель, Эмиль (1914). Введение Geometrique à quelques Théories Physiques . Париж.
Брилл, Дж. (1925). «Заметка о группе Лоренца». Труды Кембриджского философского общества . 22 (5): 630. Bibcode : 1925PCPS ... 22..630B . DOI : 10.1017 / S030500410000949X .
Bucherer, AH (1904). Mathematische Einführung in die Elektronentheorie . Лейпциг: Тойбнер.
Bucherer, AH (1908), "Messungen an Becquerelstrahlen. Die Experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie. (Измерения лучей Беккереля. Экспериментальное подтверждение теории Лоренца-Эйнштейна)", Physikalische Zeitschrift , 9 (22): 75. Заявления Минковского и Фойгта см. На стр. 762.
Картан, Эли (1912). "Sur les groupes de transformation de contact et la Cinématique nouvelle" . Société de Mathématique the France - Comptes Rendus des Séances : 23.
Кон, Эмиль (1904a), "Zur Elektrodynamik bewegter Systeme I" [ Об электродинамике движущихся систем I ], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , 1904/2 (40): 1294–1303
Кон, Эмиль (1904b), "Zur Elektrodynamik bewegter Systeme II" [ Об электродинамике движущихся систем II ], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , 1904/2 (43): 1404–1416
Конвей, AW (1911). «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам теории электричества» . Труды Королевской Ирландской академии, раздел A . 29 : 1–9.
Каннингем, Эбенезер (1910) [1909]. «Принцип относительности в электродинамике и его расширение» . Труды Лондонского математического общества . 8 : 77–98. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-8.1.77 .
Эйнштейн, Альберт (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" (PDF) , Annalen der Physik , 322 (10): 891–921, Bibcode : 1905AnP ... 322..891E , doi : 10.1002 / andp.19053221004. См. Также: английский перевод .
Франк, Филипп; Роте, Герман (1911). "Uber die Transformation der Raum-Zeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" . Annalen der Physik . 339 (5): 825–855. Bibcode : 1911AnP ... 339..825F . DOI : 10.1002 / andp.19113390502 .
Франк, Филипп; Роте, Герман (1912). "Zur Herleitung der Lorentztransformation". Physikalische Zeitschrift . 13 : 750–753.
Ганс, Ричард (1905), «HA Lorentz. Elektromagnetische Vorgänge» [ HA Lorentz: Electromagnetic Phenomen ], Beiblätter zu den Annalen der Physik , 29 (4): 168–170
Грюнер, Пауль и Заутер, Йозеф (1921a). «Представительские géométrique élémentaire де formules - де - ла - де - ла Théorie relativité» [ Elementary геометрическое представление формул специальной теории относительности ]. Архивы естественных и физических наук . 5. 3 : 295–296.
Грюнер, Пол (1921b). "Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie" [ Элементарное геометрическое представление формул преобразования специальной теории относительности ]. Physikalische Zeitschrift . 22 : 384–385.
Хевисайда, Оливер (1889), "Об электромагнитных эффектах в связи с движением Электрификация через диэлектрик" (PDF) , Philosophical Magazine , 5, 27 (167): 324-339, DOI : 10,1080 / 14786448908628362
Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [перевод из Wikisource: О телах, которые должны быть обозначены как "твердые" с точки зрения принципа относительности ], Annalen der Physik , 336 (2): 393-415, Bibcode : 1910AnP ... 336..393H , DOI : 10.1002 / andp.19103360208
Херглотц, Г. (1911). "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie" . Annalen der Physik . 341 (13): 493–533. Bibcode : 1911AnP ... 341..493H . DOI : 10.1002 / andp.19113411303 .; Английский перевод Дэвида Дельфениха: О механике деформируемых тел с точки зрения теории относительности .
Игнатовский, В. В. (1910). "Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip" . Physikalische Zeitschrift . 11 : 972–976.
Игнатовский, В. В. (1911) [1910]. "Das Relativitätsprinzip" . Archiv der Mathematik und Physik . 18 : 17–40.
Игнатовский, В. В. (1911). "Eine Bemerkung zu meiner Arbeit:" Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip " " . Physikalische Zeitschrift . 12 : 779.
Кляйн, Ф. (1908). Хеллингер, Э. (ред.). Elementarmethematik vom höheren Standpunkte aus. Teil I. Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1907-08 . Лейпциг: Тойбнер.
Кляйн, Феликс (1921) [1910]. Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe . Gesammelte Mathematische Abhandlungen . 1 . С. 533–552. DOI : 10.1007 / 978-3-642-51960-4_31 . ISBN 978-3-642-51898-0.
Klein, F .; Зоммерфельд А. (1910). Нётер, о. (ред.). Über die Theorie des Kreisels. Вес IV . Лейпциг: Тойбер.
Кляйн, Ф. (1911). Хеллингер, Э. (ред.). Elementarmethematik vom höheren Standpunkte aus. Teil I (второе издание). Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1907-08 . Лейпциг: Тойбнер. hdl : 2027 / mdp.39015068187817 .
Лармор, Джозеф (1897), «О динамической теории электрической и светоносной среды, часть 3, отношения с материальной средой» , Philosophical Transactions of the Royal Society , 190 : 205–300, Bibcode : 1897RSPTA.190..205L , DOI : 10.1098 / rsta.1897.0020
Лармор, Джозеф (1929) [1897], «О динамической теории электрической и светоносной среды. Часть 3: Отношения с материальной средой», Математические и физические документы: Том II , Cambridge University Press, стр. 2–132, ISBN 978-1-107-53640-1 (Перепечатка Лармора (1897) с новыми примечаниями Лармора.)
Лармор, Джозеф (1900), эфир и материя , Cambridge University Press
Лармор, Джозеф (1904a). «Об интенсивности естественного излучения движущихся тел и его механической реакции» . Философский журнал . 7 (41): 578 -586. DOI : 10.1080 / 14786440409463149 .
Лармор, Джозеф (1904b). «Об установленном отсутствии эффектов движения через эфир в связи с конституцией материи и о гипотезе Фитцджеральда-Лоренца» . Философский журнал . 7 (42): 621–625. DOI : 10.1080 / 14786440409463156 .
Лоренц, Хендрик Антун (1892a), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants" , Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles , 25 : 363–552
Лоренц, Хендрик Антун (1892b), «De relatieve beweging van de aarde en den aether» [ Относительное движение Земли и эфира ], Zittingsverlag Akad. В. Мокрый. , 1 : 74–79
Лоренц, Хендрик Антон (1895), Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern [ Попытка теории электрических и оптических явлений в движущихся телах ], Лейден: EJ Brill
Лоренц, Хендрик Антон (1899), «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах» , Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук , 1 : 427–442, Bibcode : 1898KNAB .... 1..427L
Лоренц, Хендрик Антон (1904), «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света» , Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук , 6 : 809–831, Bibcode : 1903KNAB .... 6 ..809L
Лоренц, Хендрик Антон (1916) [1915], Теория электронов и ее приложения к явлениям света и лучистого тепла , Лейпциг и Берлин: Б.Г. Тойбнер
Минковский, Герман (1915) [1907], «Das Relativitätsprinzip» , Annalen der Physik , 352 (15): 927–938, Bibcode : 1915AnP ... 352..927M , doi : 10.1002 / andp.19153521505
Минковский, Герман (1908) [1907], «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern» [ Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах ], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschetischfteniku, Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern » , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschetischefteniku, Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern.
Минковский, Герман (1909) [1908], «Пространство и время» , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
Мюллер, Ганс Роберт (1948). "Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie" . Monatshefte für Mathematik und Physik . 52 : 337–353.
Пуанкаре, Анри (1900), «Теория Лоренца и принцип действия» , Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles , 5 : 252–278. См. Также английский перевод .
Пуанкаре, Анри (1906) [1904], «Принципы математической физики» , Конгресс искусств и науки, универсальная выставка, Сент-Луис, 1904 , 1 , Бостон и Нью-Йорк: Houghton, Mifflin and Company, стр. 604– 622
Пуанкаре, Анри (1905), «Sur la Dynamique de l'électron» [ О динамике электрона ], Comptes Rendus , 140 : 1504–1508
Пуанкаре, Анри (1906) [1905], «Sur la Dynamique de l'électron» [ О динамике электрона ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Bibcode : 1906RCMP ... 21 .. 129P , DOI : 10.1007 / BF03013466 , ЛВП : 2027 / uiug.30112063899089
Пуанкаре, Анри (1921) [1912]. "Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des Sciences de l'Université de Paris)" . Acta Mathematica . 38 (1): 137–145. DOI : 10.1007 / bf02392064 . Написано Пуанкаре в 1912 году, напечатано в Acta Mathematica в 1914 году, хотя опубликовано с опозданием в 1921 году.
Searle, Джордж Фредерик Чарльз (1897), "О стационарном движении электрифицированного эллипсоида" , Философский журнал , 5, 44 (269): 329-341, DOI : 10,1080 / 14786449708621072
Зильберштейн, Л. (1912) [1911], "Кватернионная форма относительности" , Лондон, Эдинбург, Дублин и Философский журнал и журнал Science , 23 (137): 790-809, DOI : 10,1080 / 14786440508637276
Зоммерфельд А. (1909), "Uber die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie" [перевод википедии: О составе скоростей в теории относительности ], Verh. Der DPG , 21 : 577–582
Томсон, Джозеф Джон (1889), «О магнитных эффектах, производимых движением в электрическом поле» , Philosophical Magazine , 5, 28 (170): 1–14, doi : 10.1080 / 14786448908619821
Варичак В. (1910), "Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie" [ Применение геометрии Лобачевского в теории относительности ], Physikalische Zeitschrift , 11 : 93–6
Варичак В. (1912), «Uber die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie» [ О неевклидовой интерпретации теории относительности ], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103–127
Войт, Вольдемар (1887), «Ueber das Doppler'sche Princip» [ О принципе Доплера ], Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen (2): 41–51.
Вена, Вильгельм (1904). "Zur Elektronentheorie" . Physikalische Zeitschrift . 5 (14): 393–395.

Вторичные источники [ править ]

^ Bocher (1907), глава X
^ Рэтклифф (1994), 3.1 и теорема 3.1.4 и упражнение 3.1
^ Наймарк (1964), 2 в четырех измерениях
^ Мусен (1970) указал на тесную связь скалярного развития Хилла и псевдоевклидова трехмерного пространства Минковского.
^ Touma et al. (2009) показали аналогию между уравнениями Гаусса и Хилла и преобразованиями Лоренца, см. Ур. 22-29.
^ Мюллер (1910), стр. 661, в частности, сноска 247.
^ Соммервиль (1911), стр. 286, раздел К6.
^ Synge (1955), стр. 129 для n = 3
^ Лауэ (1921), стр. 79–80 для n = 3
^ a b Риндлер (1969), стр. 45
^ Розенфельд (1988), стр. 231
^ а б Паули (1921), стр. 561
^ a b Барретт (2006), глава 4, раздел 2
^ Миллер (1981), глава 1
^ Миллер (1981), главы 4-7
^ Мёллер (1952/55), глава II, § 18
↑ Паули (1921), стр. 562; 565–566
^ Пламмер (1910), стр. 258-259: После вывода релятивистских выражений для углов аберрации φ 'и φ, Пламмер заметил на стр. 259. Другое геометрическое представление получено путем сопоставления φ 'с эксцентриком и φ с истинной аномалией в эллипсе, эксцентриситет которого равен v / U = sin β.
^ Робинсон (1990), глава 3-4, проанализировал связь между «формулой Кеплера» и «формулой сложения физической скорости» в специальной теории относительности.
^ Schottenloher (2008), раздел 2.2
^ Каструп (2008), раздел 2.4.1
^ Schottenloher (2008), раздел 2.3
^ Кулидж (1916), стр. 370
^ a b Картан и Фано (1915/55), разделы 14–15
^ Hawkins (2013), стр. 210-214
^ Мейер (1899), стр. 329
^ Кляйн (1928), § 2B
^ Лоренте (2003), раздел 3.3
^ a b Клейн (1928), § 2A
↑ Klein (1896/97), стр. 12
^ a b Synge (1956), гл. IV, 11
^ Кляйн (1928), § 3A
^ Пенроуз и Риндлер (1984), раздел 2.1
^ a b Лоренте (2003), раздел 4
^ Пенроуз и Риндлер (1984), стр. 17
^ Синг (1972), стр. 13, 19, 24
↑ Girard (1984), стр. 28–29
^ Sobczyk (1995)
^ Fjelstad (1986)
^ Картан и исследование (1908), раздел 36
^ Rothe (1916), раздел 16
^ а б Майерник (1986), 536–538
^ a b Terng & Uhlenbeck (2000), стр. 21 год
↑ Bondi (1964), стр. 118
Перейти ↑ Miller (1981), 114–115
^ a b Pais (1982), Кап. 6b
^ Преобразования Фойгта и начало релятивистской революции, Ricardo Heras, arXiv: 1411.2559 [1]
^ Браун (2003)
^ a b c Миллер (1981), 98–99
^ a b Миллер (1982), 1.4 и 1.5
Перейти ↑ Janssen (1995), 3.1
^ Darrigol (2000), гл. 8,5
^ Макроссан (1986)
^ Яннсена (1995), Кар. 3.3
^ Миллер (1981), гл. 1.12.2
^ Яннсена (1995), гл. 3.5.6
^ Darrigol (2005), Кар. 4
↑ Pais (1982), гл. 6c
^ Katzir (2005), 280-288
^ Миллер (1981), гл. 1.14
^ Миллер (1981), гл. 6
Перейти ↑ Pais (1982), Kap. 7
^ Darrigol (2005), гл. 6
↑ Уолтер (1999a)
↑ Bateman (1910/12), стр. 358–359
^ Baccetti (2011), см. Ссылки 1–25 в нем.
^ Картан и исследование (1908), разделы 35–36
^ Зильберштейн (1914), стр. 156
^ Паули (1921), стр. 555
^ Маделунг (1921), стр. 207
^ Мёллер (1952/55), стр. 41-43

Баччетти, Валентина; Тейт, Кайл; Виссер, Мэтт (2012). «Инерциальные системы отсчета без принципа относительности». Журнал физики высоких энергий . 2012 (5): 119. arXiv : 1112.1466 . Bibcode : 2012JHEP ... 05..119B . DOI : 10.1007 / JHEP05 (2012) 119 .
Бахманн, П. (1898). Die Arithmetik der quadratischen Formen. Erste Abtheilung . Лейпциг: BG Teubner.
Бахманн, П. (1923). Die Arithmetik der quadratischen Formen. Zweite Abtheilung . Лейпциг: BG Teubner.
Барнетт, Дж. Х (2004). «Вход, центр сцены: ранняя драма гиперболических функций» (PDF) . Математический журнал . 77 (1): 15–30. DOI : 10.1080 / 0025570x.2004.11953223 .
Барретт, Дж. Ф. (2006), Гиперболическая теория относительности, arXiv : 1102.0462
Бохер, Максим (1907). «Квадратичные формы» . Введение в высшую алгебру . Нью-Йорк: Макмиллан.
Бонди, Герман (1964). Относительность и здравый смысл . Нью-Йорк: Doubleday & Company.
Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития . Чикаго: Открытый суд.
Браун, Харви Р. (2001), «Истоки сокращения длины: I. Гипотеза деформации Фитцджеральда-Лоренца» , Американский журнал физики , 69 (10): 1044–1054, arXiv : gr-qc / 0104032 , Bibcode : 2001AmJPh..69.1044B , DOI : 10.1119 / 1,1379733См. Также «Майкельсон, Фитцджеральд и Лоренц: новый взгляд на истоки теории относительности», Интернет .
Картан, Э .; Этюд, Э. (1908). «Комплексы Номбре» . Энциклопедия математических наук, чистая и аппликационная . 1.1 : 328–468.
Картан, Э .; Фано, Г. (1955) [1915]. "Теория непрерывных групп и геометрия" . Энциклопедия математических наук, чистая и аппликационная . 3.1 : 39–43. (В 1915 году были опубликованы только страницы 1-21, вся статья, включая страницы 39-43, касающиеся групп Лагерра и Лоренца, была посмертно опубликована в 1955 году в сборнике статей Картана и переиздана в Энциклопедии в 1991 году.)
Кулидж, Джулиан (1916). Трактат о круге и сфере . Оксфорд: Clarendon Press.
Дарриголь, Оливье (2000), Электродинамика от Ампера до Эйнштейна , Оксфорд: Oxford Univ. Пресса, ISBN 978-0-19-850594-5
Дарриголь, Оливье (2005), «Происхождение теории относительности» (PDF) , Séminaire Poincaré , 1 : 1–22, Bibcode : 2006eins.book .... 1D , doi : 10.1007 / 3-7643-7436- 5_1 , ISBN 978-3-7643-7435-8
Диксон, Л. Е. (1923). История теории чисел, Том III, Квадратичные и высшие формы . Вашингтон: Вашингтонский институт Карнеги в Вашингтоне.
Фьелстад, П. (1986). «Расширение специальной теории относительности с помощью недоуменных чисел». Американский журнал физики . 54 (5): 416–422. Bibcode : 1986AmJPh..54..416g . DOI : 10.1119 / 1.14605 .
Жирар, PR (1984). «Группа кватернионов и современная физика». Европейский журнал физики . 5 (1): 25–32. Bibcode : 1984EJPh .... 5 ... 25G . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 5/1/007 .
Грей, Дж. (1979). «Неевклидова геометрия - переосмысление» . Historia Mathematica . 6 (3): 236–258. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (79) 90124-1 .
Gray, J .; Скотт В. (1997). «Введение» (PDF) . Три дополнения к декоративным функциям фуксин (PDF) . Берлин. С. 7–28.
Хокинс, Томас (2013). «Проблема Кэли – Эрмита и матричная алгебра». Математика Фробениуса в контексте: путешествие по математике 18-20 веков . Springer. ISBN 978-1461463337.
Янссен, Мишель (1995), Сравнение теории эфира Лоренца и специальной теории относительности в свете экспериментов Траутона и Нобла (тезис)
Каструп, HA (2008). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметрий в геометрии и теоретической физике». Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Bibcode : 2008AnP ... 520..631K . DOI : 10.1002 / andp.200810324 .
Кацир, Шауль (2005), «Релятивистская физика Пуанкаре: ее происхождение и природа», Physics in Perspective , 7 (3): 268–292, Bibcode : 2005PhP ..... 7..268K , doi : 10.1007 / s00016- 004-0234-г
Кляйн, Ф. (1897) [1896]. Математическая теория вершины . Нью-Йорк: Скрибнер.
Кляйн, Феликс; Блашке, Вильгельм (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie . Берлин: Springer.
фон Лауэ, М. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (четвертое издание "Das Relativitätsprinzip" изд.). Vieweg.; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
Лоренте, М. (2003). «Представления классических групп на решетке и их приложение к теории поля на дискретном пространстве-времени». Симметрии в науке . VI : 437–454. arXiv : hep-lat / 0312042 . Bibcode : 2003hep.lat..12042L .
Macrossan, MN (1986), "Замечание о теории относительности до Эйнштейна" , Британский журнал по философии науки , 37 (2): 232-234, CiteSeerX 10.1.1.679.5898 , DOI : 10,1093 / bjps / 37.2.232
Маделунг, Э. (1922). Die Mathematischen Hilfsmittel des Physikers . Берлин: Springer.
Майерник, В. (1986). «Представление релятивистских величин тригонометрическими функциями». Американский журнал физики . 54 (6): 536–538. DOI : 10.1119 / 1.14557 .
Мейер, WF (1899). «Инвариантная теория» . Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften . 1.1 : 322–455.
Миллер, Артур I. (1981), Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Появление (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 гг.) , Чтение: Аддисон – Уэсли, ISBN 978-0-201-04679-3
Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности . Oxford Clarendon Press.
Мюллер, Эмиль (1910). "Die verschiedenen Koordinatensysteme" . Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften . 3.1.1: 596–770.
Мусен, П. (1970). "Обсуждение метода Хилла вековых возмущений ...". Небесная механика . 2 (1): 41–59. Bibcode : 1970CeMec ... 2 ... 41M . DOI : 10.1007 / BF01230449 . ЛВП : 2060/19700018328 .
Наймарк, М.А. (2014) [1964]. Линейные представления группы Лоренца . Оксфорд. ISBN 978-1483184982.
Пачеко, Р. (2008). «Бьянки-Бэклунд трансформирует и переодевает действия, еще раз». Geometriae Dedicata . 146 (1): 85–99. arXiv : 0808.4138 . DOI : 10.1007 / s10711-009-9427-5 .
Паули, Вольфганг (1921), «Die Relativitätstheorie» , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776
На английском языке: Pauli, W. (1981) [1921]. Теория относительности . Фундаментальные теории физики . 165 . Dover Publications. ISBN 978-0-486-64152-2.
Паис, Авраам (1982), Тонкий Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-520438-4
Penrose, R .; Риндлер В. (1984), Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0521337076
Пламмер, ХК (1910), «Теория аберрации и принцип относительности» , Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 70 : 252–266, Bibcode : 1910MNRAS..70..252P , doi : 10.1093 / mnras / 70.3.252
Рэтклифф, Дж. Г. (1994). «Гиперболическая геометрия». Основы гиперболических многообразий . Нью-Йорк. С. 56–104 . ISBN 978-0387943480.
Рейнольдс, У. Ф. (1993). «Гиперболическая геометрия на гиперболоиде». Американский математический ежемесячник . 100 (5): 442–455. DOI : 10.1080 / 00029890.1993.11990430 . JSTOR 2324297 .
Риндлер, В. (2013) [1969]. Существенная теория относительности: специальная, общая и космологическая . Springer. ISBN 978-1475711356.
Робинсон, EA (1990). Относительность Эйнштейна в метафоре и математике . Прентис Холл. ISBN 9780132464970.
Розенфельд, BA (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441986801.
Роте, Х. (1916). "Системный геометрический анализ" . Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften . 3.1.1: 1282–1425.
Шоттенлохер, М. (2008). Математическое введение в теорию конформного поля . Springer. ISBN 978-3540706908.
Зильберштейн, Л. (1914). Теория относительности . Лондон: Макмиллан.
Собчик, Г. (1995). «Гиперболическая числовая плоскость». Журнал математики колледжа . 26 (4): 268–280. DOI : 10.2307 / 2687027 . JSTOR 2687027 .
Соммервиль, DMLY (1911). Библиография неевклидовой геометрии . Лондон: Лондонский паб. Харрисоном для Университета Сент-Эндрюс.
Synge, JL (1956), Теория относительности: Специальная теория , Северная Голландия
Synge, JL (1972). «Кватернионы, преобразования Лоренца и матрицы Конвея – Дирака – Эддингтона» . Сообщения Дублинского института перспективных исследований . 21 .
Тернг, К.Л. и Уленбек, К. (2000). «Геометрия солитонов» (PDF) . Уведомления AMS . 47 (1): 17–25.
Touma, JR; Тремейн, С. & Казанджян, М.В. (2009). «Смягченный метод Гаусса для секулярной динамики». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 394 (2): 1085–1108. arXiv : 0811.2812 . DOI : 10.1111 / j.1365-2966.2009.14409.x .
Волк, О. (1976). «Разное из истории небесной механики» . Небесная механика . 14 (3): 365–382. Bibcode : 1976CeMec..14..365V . DOI : 10.1007 / bf01228523 .
Вальтер, Скотт А. (1999a). «Минковский, математики и математическая теория относительности» . У Х. Геннера; Дж. Ренн; Дж. Риттер; Т. Зауэр (ред.). Расширяющиеся миры общей теории относительности . Исследования Эйнштейна . 7 . Бостон: Биркхойзер. С. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6.
Вальтер, Скотт А. (1999b). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» . В J. Gray (ed.). Символическая Вселенная: геометрия и физика . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 91–127.
Вальтер, Скотт А. (2018). «Фигуры света в ранней истории относительности» . In Rowe D .; Зауэр Т .; Уолтер С. (ред.). Помимо Эйнштейна . Исследования Эйнштейна . 14 . Нью-Йорк: Биркхойзер. С. 3–50. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-7708-6_1 . ISBN 978-1-4939-7708-6.

Внешние ссылки [ править ]

Mathpages: 1.4 Относительность света

[var-13] а б Варичак (1912), стр. 108

[28] Borel (1914), стр. 39–41

[29] Брилл (1925)

[48] Voigt (1887), стр. 45

[51] Лоренц (1915/16), стр. 197

[53] Лоренц (1915/16), стр. 198

[54] Бухерер (1908), стр. 762

[55] Хевисайд (1888), стр. 324

[57] Томсон (1889), стр. 12

[59] Сирл (1886), стр. 333

[60] Лоренц (1892a), стр. 141

[62] Лоренц (1892b), стр. 141

[63] Лоренц (1895), стр. 37

[64] Лоренц (1895), стр. 49 по местному времени и стр. 56 для пространственных координат.

[66] Лармор (1897), стр. 229

[69] Лармор (1897/1929), стр. 39

[70] Лармор (1900), стр. 168

[71] Лармор (1900), стр. 174

[72] Лармор (1904a), стр. 583, 585

[73] Лармор (1904b), стр. 622

[74] Лоренц (1899), стр. 429

[75] Лоренц (1899), стр. 439

[76] Лоренц (1899), стр. 442

[78] Лоренц (1904), стр. 812

[79] Лоренц (1904), стр. 826

[82] Bucherer, стр. 129; Определение s на стр. 32

[83] Wien (1904), стр. 394

[84] Cohn (1904a), стр. 1296-1297

[85] Ганс (1905), стр. 169

[87] Пуанкаре (1900), стр. 272–273

[88] Кон (1904b), стр. 1408

[89] Авраам (1905), § 42

[90] Пуанкаре (1905), стр. 1505

[94] Пуанкаре (1905/06), стр. 129ff

[95] Пуанкаре (1905/06), стр. 144

[99] Эйнштейн (1905), стр. 902

[100] Эйнштейн (1905), § 5 и § 9

[101] Эйнштейн (1905), § 7

[102] Минковский (1907/15), стр. 927ff

[103] Минковский (1907/08), стр. 53ff

[mink1-105] Минковский (1907/08), стр. 59

[106] Минковский (1907/08), стр. 65–66, 81–82

[107] Минковский (1908/09), стр. 77

[108] Зоммерфельд (1909), стр. 826ff.

[109] Bateman (1909/10), стр. 223ff

[110] Cunningham (1909/10), стр. 77ff

[111] Кляйн (1910)

[113] Картан (1912), стр. 23

[114] Пуанкаре (1912/21), стр. 145

[115] Герглотца (1909/10), стр. 404-408

[var1-116] а б Варичак (1910), стр. 93

[117] Варичак (1910), стр. 94

[118] Игнатовски (1910), стр. 973-974

[119] Игнатовски (1910/11), стр. 13

[120] Франк & Рота (1911), стр 825ff. (1912), стр. 750ff.

[122] Кляйн (1908), стр. 165

[123] Нётер (1910), стр. 939–943

[125] Кляйн (1910), стр. 300

[126] Клейн (1911), стр. 602ff.

[127] Конвей (1911), стр. 8

[128] Зильберштейн (1911/12), стр. 793

[130] Герглотца (1911), стр. 497

[131] Зильберштейн (1911/12), стр. 792; (1914), стр. 123

[135] Борель (1913/14), стр. 39

[136] Борель (1913/14), стр. 41 год

[137] Грюнер (1921a),

[138] Грюнер (1921b)

[1] Bocher (1907), глава X

[ratcliffe-2] Рэтклифф (1994), 3.1 и теорема 3.1.4 и упражнение 3.1

[3] Наймарк (1964), 2 в четырех измерениях

[4] Мусен (1970) указал на тесную связь скалярного развития Хилла и псевдоевклидова трехмерного пространства Минковского.

[5] Touma et al. (2009) показали аналогию между уравнениями Гаусса и Хилла и преобразованиями Лоренца, см. Ур. 22-29.

[6] Мюллер (1910), стр. 661, в частности, сноска 247.

[7] Соммервиль (1911), стр. 286, раздел К6.

[8] Synge (1955), стр. 129 для n = 3

[9] Лауэ (1921), стр. 79–80 для n = 3

[rind-10] Риндлер (1969), стр. 45

[11] Розенфельд (1988), стр. 231

[pau-12] а б Паули (1921), стр. 561

[barr-14] Барретт (2006), глава 4, раздел 2

[15] Миллер (1981), глава 1

[16] Миллер (1981), главы 4-7

[17] Мёллер (1952/55), глава II, § 18

[18] Паули (1921), стр. 562; 565–566

[plum-19] Пламмер (1910), стр. 258-259: После вывода релятивистских выражений для углов аберрации φ 'и φ, Пламмер заметил на стр. 259. Другое геометрическое представление получено путем сопоставления φ 'с эксцентриком и φ с истинной аномалией в эллипсе, эксцентриситет которого равен v / U = sin β.

[robin-20] Робинсон (1990), глава 3-4, проанализировал связь между «формулой Кеплера» и «формулой сложения физической скорости» в специальной теории относительности.

[21] Schottenloher (2008), раздел 2.2

[22] Каструп (2008), раздел 2.4.1

[23] Schottenloher (2008), раздел 2.3

[24] Кулидж (1916), стр. 370

[ReferenceA-25] Картан и Фано (1915/55), разделы 14–15

[26] Hawkins (2013), стр. 210-214

[27] Мейер (1899), стр. 329

[30] Кляйн (1928), § 2B

[31] Лоренте (2003), раздел 3.3

[k28-32] Клейн (1928), § 2A

[33] Klein (1896/97), стр. 12

[synge-34] Synge (1956), гл. IV, 11

[35] Кляйн (1928), § 3A

[36] Пенроуз и Риндлер (1984), раздел 2.1

[Lorente_2003,_section_4-37] Лоренте (2003), раздел 4

[38] Пенроуз и Риндлер (1984), стр. 17

[39] Синг (1972), стр. 13, 19, 24

[40] Girard (1984), стр. 28–29

[41] Sobczyk (1995)

[42] Fjelstad (1986)

[43] Картан и исследование (1908), раздел 36

[44] Rothe (1916), раздел 16

[maj-45] а б Майерник (1986), 536–538

[terng-46] Terng & Uhlenbeck (2000), стр. 21 год

[47] Bondi (1964), стр. 118

[49] Перейти ↑ Miller (1981), 114–115

[pais-50] Pais (1982), Кап. 6b

[52] Преобразования Фойгта и начало релятивистской революции, Ricardo Heras, arXiv: 1411.2559 [1]

[56] Браун (2003)

[mil-58] Миллер (1981), 98–99

[milf-61] Миллер (1982), 1.4 и 1.5

[65] Перейти ↑ Janssen (1995), 3.1

[67] Darrigol (2000), гл. 8,5

[68] Макроссан (1986)

[77] Яннсена (1995), Кар. 3.3

[80] Миллер (1981), гл. 1.12.2

[81] Яннсена (1995), гл. 3.5.6

[86] Darrigol (2005), Кар. 4

[91] Pais (1982), гл. 6c

[92] Katzir (2005), 280-288

[93] Миллер (1981), гл. 1.14

[96] Миллер (1981), гл. 6

[97] Перейти ↑ Pais (1982), Kap. 7

[98] Darrigol (2005), гл. 6

[104] Уолтер (1999a)

[112] Bateman (1910/12), стр. 358–359

[baccetti-121] Baccetti (2011), см. Ссылки 1–25 в нем.

[124] Картан и исследование (1908), разделы 35–36

[129] Зильберштейн (1914), стр. 156

[132] Паули (1921), стр. 555

[133] Маделунг (1921), стр. 207

[134] Мёллер (1952/55), стр. 41-43