В дифференциальной геометрии , A цикл Ходдж или класс Ходджа это особый вид класса гомологии , определенный на комплексный алгебраическое многообразие V , или в более общем случае на многообразии кэлерового . Класс гомологий x в группе гомологий
где V - неособое комплексное алгебраическое многообразие или кэлерово многообразие - цикл Ходжа , если оно удовлетворяет двум условиям. Во-первых, k - четное целое число , и в разложении H в прямую сумму, которое существует в теории Ходжа , x имеет чисто типовой характер . Во-вторых, x - рациональный класс в том смысле, что он лежит в образе гомоморфизма абелевой группы
определенная в алгебраической топологии (как частный случай теоремы об универсальных коэффициентах ). Поэтому традиционный термин цикл Ходжа немного неточен в том смысле, что x рассматривается как класс ( по модулю границ); но это нормальное использование.
Важность циклов Ходжа заключается в первую очередь в гипотезе Ходжа о том , что циклы Ходжа всегда должны быть алгебраическими циклами , поскольку V - полное алгебраическое многообразие . По состоянию на март 2020 года это нерешенная проблема [Обновить]; известно, что быть циклом Ходжа является необходимым условием для того, чтобы быть рациональным алгебраическим циклом, и известны многочисленные частные случаи этой гипотезы.
Ссылки [ править ]
- "Гипотеза Ходжа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
