Проблема сотни куриц впервые обсуждалась в китайском математическом тексте V века н.э. « Чжан Цюцзянь суаньцзин» («Математическая классика Чжан Цюцзянь»), книге математических задач, написанной Чжан Цюцзянь. Это один из самых известных примеров неопределенных задач в ранней истории математики. [1] Проблема появляется как последняя проблема в Zhang Qiujian suanjing (проблема 38 в главе 3). Однако проблема и ее варианты появлялись в средневековой математической литературе Индии, Европы и арабского мира. [2]
Название «Проблема сотни кур» принадлежит бельгийскому историку Луи ван Хи. [3]
Постановка задачи
Проблема сотни кур, представленная в Zhang Qiujian suanjing, может быть переведена следующим образом: [4]
- «Теперь один петух стоит 5 цянь, одна курица - 3 цянь и 3 птенца - 1 цянь. Требуется купить 100 голов за 100 цянь. В каждом случае найдите количество купленных петухов, кур и цыплят».
Математическая формулировка
Пусть x - количество петухов, y - количество кур, а z - количество цыплят, тогда задача состоит в том, чтобы найти x , y и z, удовлетворяющие следующим уравнениям:
- х + у + г = 100
- 5 х + 3 у + г / 3 = 100
Очевидно, что допустимы только неотрицательные целые числа. Выражая y и z через x, получаем
- у = 25 - (7/4) х
- г = 75 + (3/4) х
Поскольку x , y и z должны быть целыми числами, выражение для y предполагает, что x должен быть кратным 4. Следовательно, общее решение системы уравнений может быть выражено с помощью целочисленного параметра t следующим образом: [5]
- х = 4 т
- y = 25-7 т
- г = 75 + 3 т
Поскольку y должно быть неотрицательным целым числом, единственными возможными значениями t являются 0, 1, 2 и 3. Таким образом, полный набор решений определяется выражением
- ( х , у , z ) = (0,25,75), (4,18,78), (8,11,81), (12,4,84).
из которых последние три были даны в Zhang Qiujian suanjing . [3] Однако не было указано никакого общего метода решения таких проблем, что вызывает подозрение, что решения были получены методом проб и ошибок. [1]
Проблема сотни куриц, найденная в Zhang Qiujian suanjing, является частным случаем общей проблемы нахождения целочисленных решений следующей системы уравнений:
- х + у + г = г
- ах + по + cz = d
Любую проблему этого типа иногда называют «проблемой сотни куриц». [3]
Вариации
Некоторые варианты задачи о сотне куриц появились в математической литературе нескольких культур. [1] [2] Далее мы представляем несколько примеров проблем, обсуждаемых в этих культурах.
Индийская математика
Махавира «S Ganita-сара-санграха содержит следующую задачу:
- Голуби продаются по цене 5 за 3, сараса-птицы по цене 7 за 5, лебеди по цене 9 за 7, павлины по цене 3 за 9 ( пана ). Какому-то мужчине сказали принести 100 птиц за 100 панов . Что он дает за каждого вида птиц, которых он покупает?
Рукопись Bakshali дает задачу решения следующих уравнений:
- х + у + г = 20
- 3 х + (3/2) у + (1/2) г = 20
Средневековая европа
Английский математик Алкуин Йоркский (VIII век, около 735-19 мая 804 г. н.э.) сформулировал семь задач, подобных проблеме сотни куриц, в своих Propositiones ad acuendos iuvenes . Вот типичная проблема:
- Если 100 бушелей кукурузы распределить между 100 людьми так, чтобы каждый мужчина получил 3 бушеля, каждая женщина - 2 бушеля, а каждый ребенок - полбушеля, то сколько же было мужчин, женщин и детей?
Арабская математика
Абу Камил (850 - 930 гг. Н. Э.) Рассматривал неотрицательные целочисленные решения следующих уравнений:
- х + у + г = 100
- 3 х + (/ 20) у + (1/3) z = 100.
Рекомендации
- ^ a b c Виктор Дж. Кац, Аннетт Имхаузен (редакторы) (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета. п. 307. ISBN. 9780691114859.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
- ^ а б Каншен Шен; Джон Н. Кроссли; Энтони Ва-Чунг Лун; Хуэй Лю (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Издательство Оксфордского университета. С. 415–420. ISBN 9780198539360.
- ^ а б в Жан-Клод Марцлофф (1997). История китайской математики . Берлин: Springer-verlag. С. 307–309.
- ^ Лам Лэй Йонг (сентябрь 1997 г.). "Чжан Цюцзянь Суаньцзин (Математическая классика Чжан Цюцзянь). Обзор". Архив истории точных наук . 50 (34): 201–240. JSTOR 41134109 .
- ^ Oystein Ore (2012). Теория чисел и ее история . Курьерская корпорация. С. 116–141. ISBN 9780486136431.