Приближение Комлоша – Майора – Тушнади.

В теории вероятности , то приближение Комлоша-майор Тушнади (также известный как приближение ГМД , с вложением ГМД , или Венгерского вложением ) является приближение эмпирического процесса с помощью гауссовского процесса , построенного на том же вероятностном пространстве . Он назван в честь венгерских математиков Яноша Комлоша , Габора Тушнади и Петера Мажора , которые доказали его в 1975 году.

Теория

Пусть - независимые равномерные (0,1) случайные величины . Определим равномерную эмпирическую функцию распределения как${\ Displaystyle U_ {1}, U_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle F_ {U, n} (t) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {1} _ {U_ {i} \ leq t} , \ quad t \ in [0,1].}$

Определим единообразный эмпирический процесс как

${\ displaystyle \ alpha _ {U, n} (t) = {\ sqrt {n}} (F_ {U, n} (t) -t), \ quad t \ in [0,1].}$

Теорема Донскера (1952) показывает, что сходится по закону к броуновскому мосту. Комлос, Майор и Тушнади установили точную границу скорости этой слабой сходимости.${\ Displaystyle \ альфа _ {U, п} (т)}$ ${\ displaystyle B (t).}$

Теорема (KMT, 1975) На подходящем вероятностном пространстве для независимых однородных (0,1) с.в. эмпирический процесс можно аппроксимировать последовательностью броуновских мостов, такой что${\ Displaystyle U_ {1}, U_ {2} \ ldots}$${\displaystyle \{\alpha _{U,n}(t),0\leq t\leq 1\}}$${\displaystyle \{B_{n}(t),0\leq t\leq 1\}}$

${\displaystyle P\left\{\sup _{0\leq t\leq 1}|\alpha _{U,n}(t)-B_{n}(t)|>{\frac {1}{\sqrt {n}}}(a\log n+x)\right\}\leq be^{-cx}}$

для всех натуральных чисел n и всех , где a , b и c - положительные константы.${\displaystyle x>0}$

Следствие

Следствием этой теоремы является то, что для любого реального iid rv с cdf можно построить вероятностное пространство, в котором существуют независимые ^{[ требующие разъяснения ]} последовательности эмпирических процессов и гауссовских процессов, такие что${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle F(t),}$${\displaystyle \alpha _{X,n}(t)={\sqrt {n}}(F_{X,n}(t)-F(t))}$ ${\displaystyle G_{F,n}(t)=B_{n}(F(t))}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{\ln n}}{\big \|}\alpha _{X,n}-G_{F,n}{\big \|}_{\infty }<\infty ,}$     почти наверняка .

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

использованная литература

• Комлос, Дж., Майор, П. и Туснади, Г. (1975) Приближение частичных сумм независимых с.в. и выборки df. I, Wahrsch verw Gebiete / Теория вероятностей и родственные поля , 32, 111–131. DOI : 10.1007 / BF00533093
• Комлос, Дж., Майор, П. и Туснади, Г. (1976) Приближение частных сумм независимых с.в. и выборки df. II, Wahrsch verw Gebiete / Теория вероятностей и родственные поля , 34, 33–58. DOI : 10.1007 / BF00532688