Применение математики в теории множеств

В этой статье исследуется реализация математических концепций в теории множеств . Реализация ряда основных математических концепций осуществляется параллельно в ZFC (теория доминирующих множеств) и в NFU , версии Новых основ Куайна, согласованность которой была подтверждена Р.Б. Йенсеном в 1969 г. (здесь подразумевается, что она включает, по крайней мере, аксиомы теории множеств). Бесконечность и выбор ).

То, что здесь сказано, применимо также к двум семействам теорий множеств: с одной стороны, ряд теорий, включая теорию множеств Цермело около нижнего предела шкалы и восходящий к ZFC, расширенный большими кардинальными гипотезами, такими как «существует измеримая кардинал »; и, с другой стороны, иерархия расширений NFU, которая рассматривается в статье New Foundations . Они соответствуют различным общим взглядам на то, на что похожа теоретико-множественная вселенная, и сравниваются и противопоставляются подходы к реализации математических концепций в рамках этих двух общих взглядов.

Основная цель этой статьи не состоит в том, чтобы сказать что-либо об относительных достоинствах этих теорий как основ математики. Причина использования двух различных теорий множеств состоит в том, чтобы проиллюстрировать возможность применения нескольких подходов к реализации математики. Именно благодаря такому подходу данная статья не является источником «официальных» определений для каких-либо математических понятий.

Предварительные мероприятия [ править ]

В следующих разделах выполняются определенные построения в двух теориях ZFC и NFU и сравниваются полученные реализации определенных математических структур (таких как натуральные числа ).

Математические теории доказывают теоремы (и ничего больше). Таким образом, утверждение, что теория допускает конструирование определенного объекта, означает, что согласно теореме этой теории этот объект существует. Это утверждение об определении формы «х такой, что существует», где - формула нашего языка : теория доказывает существование «х такого, что » на всякий случай это теорема, что «существует один и только один x такой, что ". (См . Теорию описаний Бертрана Рассела.${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$ .) В общих чертах теория в данном случае «определяет» или «конструирует» этот объект. Если утверждение не является теоремой, теория не может показать, что объект существует; если утверждение доказуемо ложно в теории, оно доказывает, что объект не может существовать; в общих чертах объект не может быть сконструирован.

ZFC и NFU используют язык теории множеств, поэтому одни и те же формальные определения «x такой, что » можно рассматривать в двух теориях. Специфическая форма определения на языке теории множеств - это обозначение построителя множеств : означает «множество A такое, что для всех x » (A не может быть свободным внутри ). Эта нотация допускает некоторые стандартные расширения: является синонимом ; определяется как , где - уже определенное выражение.${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ {х \ мид \ фи \}}$${\ Displaystyle х \ в \ leftrightarrow \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ {х \ в Б \ мид \ фи \}}$${\displaystyle \{x\mid x\in B\wedge \phi \}}$${\displaystyle \{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}}$${\displaystyle \{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Выражения, определяемые в нотации построителя множеств, имеют смысл как в ZFC, так и в NFU: может оказаться, что обе теории доказывают, что данное определение является успешным, или ни то, ни другое (выражение не может ссылаться ни на что в любой теории множеств с классической логикой; в классе теории, такие как NBG, это обозначение действительно относится к классу, но определяется по-другому), или то, что одно относится, а другое - нет. Кроме того, объект, определенный таким же образом в ZFC и NFU, может иметь разные свойства в двух теориях (или может быть разница в том, что можно доказать, если нет доказуемой разницы между их свойствами).${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$

Кроме того, теория множеств импортирует концепции из других разделов математики (в частности, из всех разделов математики). В некоторых случаях есть разные способы импортировать концепции в ZFC и NFU. Например, обычное определение первого бесконечного ординала в ZFC не подходит для NFU, потому что объект (определенный на чисто теоретическом языке множеств как набор всех конечных ординалов фон Неймана ) нельзя показать, что он существует в NFU. Обычное определение в NFU - это (на чисто теоретическом языке множеств) множество всех бесконечных хороших порядков${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$все чьи собственные начальные сегменты конечны, объект, который, как можно показать, не существует в ZFC. В случае таких импортированных объектов могут быть разные определения: одно для использования в ZFC и связанных теориях, а другое для использования в NFU и связанных теориях. Чтобы такие «реализации» импортированных математических концепций имели смысл, необходимо показать, что две параллельные интерпретации имеют ожидаемые свойства: например, реализации натуральных чисел в ZFC и NFU различны, но обе они реализации одной и той же математической структуры, поскольку обе включают определения всех примитивов арифметики Пеанои удовлетворяют (переводам) аксиом Пеано. Затем можно сравнить то, что происходит в двух теориях, когда используется только теоретический язык множеств, при условии, что определения, соответствующие ZFC, используются в контексте ZFC, а определения, соответствующие NFU, должны использоваться. в контексте НФУ.

Все, что доказано, существует в теории, очевидно, существует в любом расширении этой теории; более того, анализ доказательства того, что объект существует в данной теории, может показать, что он существует в более слабых версиях этой теории (например, можно рассматривать теорию множеств Цермело вместо ZFC для большей части того, что делается в этой статье).

Пустой набор, одноэлементные, неупорядоченные пары и кортежи [ править ]

Эти конструкции появляются первыми, потому что они являются простейшими конструкциями в теории множеств, а не потому, что они первые конструкции, которые приходят на ум в математике (хотя понятие конечного множества, безусловно, является фундаментальным). Несмотря на то, что NFU также позволяет создавать элементы ur- набора, которые еще не стали членами набора, пустой набор является уникальным набором без элементов:

${\displaystyle \left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}}$

Для каждого объекта есть набор с единственным элементом: ${\displaystyle x}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}}$

Для объектов и , существует множество , содержащее и , как только его элементы: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}}$

Объединение двух множеств определяется обычным образом:

${\displaystyle \left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}}$

Это рекурсивное определение неупорядоченных -комплектов для любых конкретных (конечных множеств, заданных в виде списков их элементов :) ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}}$

В NFU все заданные определения работают на основе стратифицированного понимания; в ZFC существование неупорядоченной пары задается Аксиомой Спаривания , существование пустого множества следует Разделением из существования любого множества, а бинарное объединение двух множеств существует в соответствии с аксиомами Спаривания и Объединения ( ) .${\displaystyle x\cup y=\bigcup \{x,y\}}$

Заказанная пара [ править ]

Сначала рассмотрим упорядоченную пару . Причина, по которой это происходит в первую очередь, является технической: упорядоченные пары необходимы для реализации отношений и функций , которые необходимы для реализации других концепций, которые могут показаться предшествующими. Первым определением упорядоченной пары было определение, предложенное Норбертом Винером в 1914 году в контексте теории типов Principia Mathematica . Винер заметил, что это позволило исключить типы n -арных отношений для n > 1 из системы этой работы. Сейчас более привычно использовать определение , благодаря Куратовски${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}}$. Любое из этих определений работает как в ZFC, так и в NFU. В NFU эти два определения имеют технический недостаток: упорядоченная пара Куратовского на два типа выше, чем ее проекции, в то время как упорядоченная пара Винера на три типа выше. Принято постулировать существование упорядоченной пары на уровне типов (пары, которая имеет тот же тип, что и ее проекции ) в NFU. Пару Куратовского удобно использовать в обеих системах до тех пор, пока использование пар тип-уровень не будет формально оправдано. Внутренние детали этих определений не имеют ничего общего с их реальной математической функцией. Для любого понятия упорядоченной пары важно то, что она удовлетворяет определяющему условию${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle (x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w}$

… И что было достаточно легко собрать упорядоченные пары в наборы.

Отношения [ править ]

Отношения - это наборы, все члены которых являются упорядоченными парами . Там, где это возможно, отношение (понимаемое как бинарный предикат ) реализуется как (которое может быть записано как ). Когда является отношением, обозначение означает .${\displaystyle R}$${\displaystyle \{(x,y)\mid xRy\}}$${\displaystyle \{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle \left(x,y\right)\in R}$

В ZFC некоторые отношения (например, общее отношение равенства или отношение подмножества на множествах) «слишком велики» для того, чтобы быть множествами (но могут быть безвредно преобразованы в собственные классы ). В NFU, некоторые отношения (например, членство связи) не устанавливает , поскольку их определения не расслаивается: в и должны были бы иметь одинаковый тип (потому что они появляются как проекции одной и той же пары), но и последовательные типы (потому что ЭТО рассматривается как элемент ).${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in y\}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Связанные определения [ править ]

Пусть и даны бинарные отношения . Тогда пригодятся следующие концепции:${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$

Обратное из этого отношения .${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{\left(y,x\right):xRy\right\}}$

Домен из этого множества .${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{x:\exists y\left(xRy\right)\right\}}$

Диапазон от является доменом обратного . То есть набор .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{y:\exists x\left(xRy\right)\right\}}$

Поле из является объединение домена и диапазона .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Прообраз члена поля является множество (используется в определении «обоснованного» ниже.)${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \left\{y:yRx\right\}}$

Вниз замыкание члена поля является наименьшим набор , содержащий , и содержащий каждая для каждого (то есть, в том числе прообраза каждого из ее элементов относительно как подмножества.)${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle zRy}$${\displaystyle y\in D}$${\displaystyle R}$

Относительно продукта из и является отношение .${\displaystyle R|S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left\{\left(x,z\right):\exists y\,\left(xRy\wedge ySz\right)\right\}}$

Обратите внимание, что с нашим формальным определением бинарного отношения диапазон и домен отношения не различаются. Это можно сделать, представив отношение с codomain как , но наша разработка этого не потребует.${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \left(R,B\right)}$

В ZFC любое отношение, домен которого является подмножеством набора, а диапазон - подмножеством набора, будет набором, поскольку декартово произведение является набором (являющимся подклассом ), а разделение предусматривает существование . В NFU некоторые отношения с глобальной областью действия (например, равенство и подмножество) могут быть реализованы как наборы. В NFU имейте в виду, что и на три типа ниже, чем в (на один тип ниже, если используется упорядоченная пара на уровне типов).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B=\left\{\left(a,b\right):a\in A\wedge b\in B\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(A\cup B\right)}$${\displaystyle \left\{\left(x,y\right)\in A\times B:xRy\right\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$

Свойства и виды отношений [ править ]

Бинарное отношение :${\displaystyle R}$

• Рефлексивно еслидля каждогов области.${\displaystyle xRx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$
• Симметричный, если.${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\to yRx)}$
• Переходный, если.${\displaystyle \forall x,y,z\,(xRy\wedge yRz\rightarrow xRz)}$
• Антисимметричный, если.${\displaystyle \forall x,y\,(xRy\wedge yRx\rightarrow x=y)}$
• Обосновано, если для каждого набора,который соответствует области,прообразкоторой не соответствует.${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \ \exists x\in S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$
• Расширение, если для каждого в области , тогда и только тогда, когда и имеют тот же прообраз в поле .${\displaystyle x,y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$

Отношения, имеющие определенные комбинации перечисленных выше свойств, имеют стандартные имена. Бинарное отношение :${\displaystyle R}$

• Отношение эквивалентности , если рефлексивно, симметрично и транзитивно.${\displaystyle R}$
• Частичный порядок , если рефлексивно, антисимметричным и транзитивным.${\displaystyle R}$
• Линейный порядок , если частичный порядок и для каждого в области , либо или .${\displaystyle R}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$
• Хорошо упорядоченность , если это линейный порядок и хорошо обоснованным.${\displaystyle R}$
• Набор картина , если хорошо обоснованным и экстенсиональное, а поле либо равно вниз закрытие одного из ее членов ( так называемый его верхний элемент ), или пусто.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Функции [ править ]

Функциональная зависимость является двухместный предикат , такие , что Такое отношение ( предикат ) реализован в виде соотношения (комплект) в точности , как описано в предыдущем разделе. Итак, предикат реализуется множеством . Отношение является функцией тогда и только тогда, когда, следовательно, можно определить функцию значения как уникальный объект, такой, который  - то есть: - связан с таким образом, что отношение выполняется между и  - или как уникальный объект, такой что${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left\{\left(x,y\right):xFy\right\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).}$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xFy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left(x,y\right)\in F}$. Присутствие в обеих теориях функциональных предикатов, которые не являются наборами, позволяет использовать нотацию как для множеств, так и для важных функциональных предикатов. Пока не проводится количественная оценка функций в последнем смысле, все такие виды использования в принципе устранимы.${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle F}$

Вне формальной теории множеств мы обычно определяем функцию в терминах ее домена и области, как во фразе «Пусть будет функцией». Область определения функции - это просто область ее определения как отношения, но мы еще не определили область определения функции. Для этого мы вводим терминологию, согласно которой функция находится от до, если ее домен равен, а диапазон содержится в . Таким образом, каждая функция является функцией от своего домена до своего диапазона, а функция от до также является функцией от до для любого набора, содержащего .${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$

В самом деле, независимо от того, какой набор мы считаем областью области функции, функция не изменяется как набор, поскольку по определению это просто набор упорядоченных пар. То есть функция не определяет свой кодомен по нашему определению. Если кто-то находит это непривлекательным, то вместо этого можно определить функцию как упорядоченную пару , где - функциональное отношение и его codomain, но мы не применяем этот подход в этой статье (более элегантно, если сначала определить упорядоченные тройки - например, as - тогда можно определить функцию как упорядоченную тройку, чтобы также включить домен). Обратите внимание, что та же проблема существует и для отношений: вне формальной теории множеств мы обычно говорим «Пусть будет бинарным отношением», но формально${\displaystyle (f,B)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (x,y,z)=(x,(y,z))}$${\displaystyle (f,A,B)}$${\displaystyle R\subseteq A\times B}$${\displaystyle R}$- это набор упорядоченных пар таких, что и .${\displaystyle {\text{dom}}\,R\subseteq A}$${\displaystyle {\text{ran}}\,R\subseteq B}$

В NFU имеет тот же тип , что и, и на три типа выше (на один тип выше, если используется упорядоченная пара на уровне типа). Чтобы решить эту проблему, можно определить as для любого набора , но это удобнее записать как . Тогда, если есть набор и любое функциональное отношение, Аксиома замещения гарантирует, что это набор в ZFC . В NFU и теперь имеют один и тот же тип и на два типа выше (того же типа, если используется упорядоченная пара на уровне типа).${\displaystyle x}$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\!\left(x\right)}$${\displaystyle F\left[A\right]}$${\displaystyle \left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\left[A\right]}$${\displaystyle F\left[A\right]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\left[A\right]}$

Функция не задана в ZFC, потому что она «слишком велика». однако набор в NFU. Функция (предикат) не является ни функцией, ни множеством в обеих теориях; в ZFC это верно, потому что такой набор был бы слишком большим, а в NFU это верно, потому что его определение не было бы стратифицированным . Более того, можно доказать, что не существует в NFU (см. Разрешение парадокса Кантора в New Foundations ).${\displaystyle I\!\left(x\right)=x}$${\displaystyle I\!\left(x\right)}$${\displaystyle S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}}$${\displaystyle S\!\left(x\right)}$

Операции над функциями [ править ]

Позвольте и быть произвольными функциями. Композиция из и , определяются как относительный продукт , но только если это приводит к функции , такие , что также является функция, с , если диапазон является подмножеством области . Обратный из , , определяются как обратные из , если это функция. Для любого набора функция идентичности - это набор , и это набор как в ZFC, так и в NFU по разным причинам.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\,|\,g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle \left(g\circ f\right)\!\left(x\right)=g\!\left(f\!\left(x\right)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\left(-1\right)}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i_{A}}$${\displaystyle \left\{\left(x,x\right)\mid x\in A\right\}}$

Особые виды функций [ править ]

Функция является инъективной (также называемой взаимно-однозначной ), если у нее есть обратная функция.

Функция от до - это:${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• Внедрение изв,если изображения подразными членамиявляются отдельными членами.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• Выражение отдо,если диапазонравен.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$
• Сопоставление отдоif- это одновременно и инъекция, и сюръекция.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$

Определение функций как упорядоченных пар или упорядоченных троек имеет преимущества, заключающиеся в том, что нам не нужно вводить терминологию функции «от до », и что мы можем прямо говорить о «сюръективности», а не только о «возможности говорить». быть сюръективным на ".${\displaystyle (f,B)}$${\displaystyle (f,A,B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Размер наборов [ править ]

В обоих ZFC и NFU , два множества A и B имеют один и тот же размер (или equinumerous ) , если и только если существует взаимно однозначное соответствие F от A до B . Это можно записать как , но обратите внимание, что (на данный момент) это выражает связь между A и B, а не связь между еще не определенными объектами и . Обозначьте это отношение как в контексте, например, в фактическом определении кардиналов, где следует избегать даже появления предполагаемых абстрактных кардиналов.${\displaystyle |A|=|B|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle |B|}$${\displaystyle A\sim B}$

Аналогичным образом , определить , как проведение , если и только если существует инъекция от A до B .${\displaystyle |A|\leq |B|}$

Несложно показать, что отношение равнодоступности является отношением эквивалентности : равнодоступность A и A подтверждается ; если F свидетелей , затем свидетелей ; и если е свидетелей и г свидетелей , затем свидетелей .${\displaystyle i_{A}}$${\displaystyle |A|=|B|}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle |B|=|A|}$${\displaystyle |A|=|B|}$${\displaystyle |B|=|C|}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle |A|=|C|}$

Можно показать, что это линейный порядок абстрактных кардиналов, но не множеств. Рефлексивность очевидна, а транзитивность доказана так же, как и равноденствие. Теорема Шредера – Бернштейна , доказуемая в ZFC и NFU совершенно стандартным способом, устанавливает, что${\displaystyle |A|\leq |B|}$

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|}$

(это устанавливает антисимметрию на кардиналах), и

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|}$

в любой теории стандартным образом следует из выбранной аксиомы .

Конечные множества и натуральные числа [ править ]

Натуральные числа можно рассматривать как конечные ординалы или конечные кардиналы. Здесь их рассматривают как конечные кардинальные числа. Это первое место, где становится очевидным существенное различие между реализациями в ZFC и NFU .

Аксиома бесконечности ZFC говорит нам, что существует множество A, которое содержит и содержит для каждого . Это множество A не определено однозначно (его можно увеличить, сохранив это свойство замыкания): множество N натуральных чисел равно${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle y\cup \{y\}}$${\displaystyle y\in A}$

• ${\displaystyle \{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}}$

который является пересечением всех множеств, которые содержат пустое множество и закрываются при операции «преемник» .${\displaystyle y\mapsto y\cup \{y\}}$

В ZFC, набор конечен тогда и только тогда , когда есть такие , что : в дальнейшем, определяют как это п для конечных А . (Можно доказать, что нет двух различных натуральных чисел одинакового размера).${\displaystyle A}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle |n|=|A|}$${\displaystyle |A|}$

Обычные арифметические операции могут быть определены рекурсивно и в стиле, очень похожем на тот, в котором определяется сам набор натуральных чисел. Например, + (операция сложения натуральных чисел) может быть определена как наименьший набор, который содержит для каждого натурального числа и содержит всякий раз, когда он содержит .${\displaystyle ((x,\emptyset ),x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})}$${\displaystyle ((x,y),z)}$

В NFU не очевидно, что этот подход может быть использован, поскольку операция-преемник не стратифицирована, и поэтому невозможно показать, что множество N, как определено выше, существует в NFU (это совместимо для набора конечных ординалов фон Неймана, существующего в NFU, но это усиливает теорию, поскольку существование этого множества подразумевает Аксиому подсчета (для чего см. Ниже или статью New Foundations ).${\displaystyle y\cup \{y\}}$

Стандартное определение натуральных чисел, которое на самом деле является самым старым теоретико-множественным определением натуральных чисел , - это классы эквивалентности конечных множеств при равнодоступности. По сути, такое же определение подходит для NFU (это не обычное определение, но результаты те же): определите Fin , набор конечных множеств, как

${\displaystyle \{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}}$

Для любого набора определите как . Определите N как множество .${\displaystyle A\in Fin}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle \{B\mid A\sim B\}}$${\displaystyle \{|A|\mid A\in Fin\}}$

Аксиома бесконечности NFU может быть выражена как : этого достаточно, чтобы установить, что каждое натуральное число имеет непустого преемника (преемника бытия для любого ), что является сложной частью демонстрации выполнения аксиом арифметики Пеано.${\displaystyle V\not \in Fin}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle |A\cup \{x\}|}$${\displaystyle x\not \in A}$

Арифметические операции могут быть определены в стиле, аналогичном приведенному выше (с использованием только что данного определения преемника). Их также можно определить естественным теоретико-множественным образом: если A и B - непересекающиеся конечные множества, определите | A | + | B | как . Более формально, определим m + n для m и n в N как${\displaystyle |A\cup B|}$

${\displaystyle \{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}}$

(Но обратите внимание, что этот стиль определения возможен и для цифр ZFC, но более окольным: форма определения NFU облегчает манипуляции с множествами, в то время как форма определения ZFC облегчает рекурсивные определения, но любая теория поддерживает любой стиль определения) .

Эти две реализации совершенно разные. В ZFC выберите представителя каждой конечной мощности (сами классы эквивалентности слишком велики, чтобы быть наборами); в NFU классы эквивалентности сами по себе являются множествами и, таким образом, являются очевидным выбором для объектов, которые должны заменять мощности. Однако арифметика двух теорий идентична: одна и та же абстракция реализуется этими двумя внешне разными подходами.

Отношения эквивалентности и разбиения [ править ]

Общий метод реализации абстракций в теории множеств - использование классов эквивалентности. Если отношение эквивалентности R сообщает нам, что элементы его поля A схожи в каком-то конкретном отношении, то для любого набора x рассматривайте набор как представляющий абстракцию из набора x, уважая только эти особенности (идентифицируйте элементы от A до R ). .${\displaystyle [x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}}$

Для любого множества А , множество является разбиение из А , если все элементы Р пусты, любые два различных элемента P не пересекаются, а .${\displaystyle P}$${\displaystyle A=\bigcup P}$

Для каждой эквивалентности отношения R с полем А , разбиение А . Более того, каждое разбиение P множества A определяет отношение эквивалентности .${\displaystyle \{[x]_{R}\mid x\in A\}}$${\displaystyle \{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}}$

Этот метод имеет ограничения как в ZFC, так и в NFU . В ZFC, поскольку вселенная не является набором, кажется возможным абстрагировать функции только от элементов небольших областей. Это можно обойти , используя трюк из - Дана Скотт : если R является отношением эквивалентности на вселенную, определяют как совокупность всех у таких , что и ранг от у меньше или равно рангу любого . Это работает, потому что ранги установлены. Конечно, все еще может быть подходящий класс . В NFU основная трудность состоит в том, что тип на один тип выше x, поэтому, например, "карта"${\displaystyle [x]_{R}}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle zRx}$${\displaystyle [x]_{R}}$${\displaystyle [x]_{R}}$${\displaystyle x\mapsto [x]_{R}}$в общем случае не является функцией (набором) (хотя и является набором). Этого можно избежать, используя Аксиому Выбора для выбора представителя из каждого класса эквивалентности для замены , который будет того же типа, что и x , или путем выбора канонического представителя, если есть способ сделать это, не вызывая Выбор. (использование представителей в ZFC тоже вряд ли что-то неизвестно). В NFU более распространено использование конструкций классов эквивалентности для абстрактных свойств общих наборов, как, например, в определениях кардинальных и порядковых чисел ниже.${\displaystyle \{x\}\mapsto [x]_{R}}$${\displaystyle [x]_{R}}$

Порядковые номера [ править ]

Два хорошо упорядочивания и являются подобны и записи только в случае , если существует взаимно однозначное соответствие F из области к области таким образом, что для всех х и у .${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle W_{1}\sim W_{2}}$${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle W_{2}}$${\displaystyle xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)}$

Показано, что подобие является отношением эквивалентности во многом таким же образом, как равное количество было показано выше как отношение эквивалентности.

В новых фондах (NFU), то тип ордера из хорошо упорядочиваний W есть множество всех хорошо порядков , которые похожи на W . Набор порядковых номеров - это набор всех порядковых типов порядков скважин.

Это не работает в ZFC , потому что классы эквивалентности слишком велики. Формально можно было бы использовать уловку Скотта для определения порядковых чисел по существу таким же образом, но чаще используется прием фон Неймана .

Для любого частичного порядка соответствующий строгий частичный порядок <определяется как . Аналогично определяются строгие линейные порядки и строгие порядки.${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}}$

Набор называется транзитивным , если : каждый элемент элемента А также является элементом A . Ординал (фон Неймана) - это транзитивное множество, на котором членство строго упорядочено.${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$

В ZFC, тип порядка хорошо упорядочения W затем определяются как уникальный фон Нейман порядковый который является equinumerous с полем W и членами , на которых изоморфна строгое полном упорядочение , связанное с W . (условие равнодоступности различает хорошие порядки с полями размера 0 и 1, чьи связанные строгие хорошие порядки неразличимы).

В ZFC не может быть набора всех порядковых номеров. Фактически, ординалы фон Неймана представляют собой несовместимую совокупность в любой теории множеств: с помощью скромных теоретических предположений о множествах можно показать, что каждый элемент ординала фон Неймана является ординалом фон Неймана, а ординалы фон Неймана строго упорядочены по принадлежности. . Отсюда следует, что класс ординалов фон Неймана был бы ординалом фон Неймана, если бы он был множеством: но тогда он был бы элементом самого себя, что противоречит тому факту, что членство - это строгое упорядочение ординалов фон Неймана.

Существование порядковых типов для всех хороших порядков не является теоремой теории множеств Цермело : оно требует аксиомы замены . Даже уловка Скотта не может быть использована в теории множеств Цермело без дополнительных предположений (таких как предположение, что каждое множество принадлежит рангу, который является множеством, что существенно не усиливает теорию множеств Цермело, но не является теоремой этой теории).

В NFU набор всех порядковых номеров задается методом стратифицированного понимания. Неожиданным образом удается избежать парадокса Бурали-Форти. Существует естественный порядок порядковых номеров, определяемый тогда и только тогда, когда некоторые (и, следовательно, любые) похожи на начальный сегмент некоторых (и, следовательно, любых) . Кроме того, можно показать, что этот естественный порядок является правильным порядком порядковых номеров и, следовательно, должен иметь тип порядка . Казалось бы, порядок порядковых номеров меньше, чем у естественного порядка, что противоречит тому факту, что это порядковый тип всего естественного порядка порядковых номеров (а значит, не любого из его собственных начальных сегментов). Но это полагается на интуицию (правильную в ZFC), что тип порядка естественного порядка на порядковых числах меньше, чем${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle W_{1}\in \alpha }$${\displaystyle W_{2}\in \beta }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \alpha }$является для любого порядкового . Это утверждение нестратифицировано, потому что тип второго на четыре выше, чем тип первого (на два выше, если используется пара уровней типов). Утверждение , которое истинно и доказуемо в NFU, что тип порядка естественного порядка на порядковых меньше , чем это для любого порядкового , где является типом порядка для любого (легко показать , что это не зависит от выбора of W; заметим, что T увеличивает тип на единицу). Таким образом, порядок порядковых номеров меньше, чем при естественном порядке , и . Любое использование здесь может быть заменено на, если используется пара уровня-типа.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T(\alpha )}$${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$${\displaystyle W\in \alpha }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle T^{4}(\Omega )}$${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$${\displaystyle T^{4}}$${\displaystyle T^{2}}$

Это показывает, что операция T нетривиальна, что имеет ряд последствий. Отсюда сразу следует , что отображение синглтона не является множество, так как в противном случае ограничение этой карты будет установить подобие W и для любых хорошо упорядочивания Вт . T (внешне) биективен и сохраняет порядок. Из-за этого факт устанавливает, что это «убывающая последовательность» в порядковых числах, которая не может быть множеством.${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$${\displaystyle W^{\iota }}$${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$${\displaystyle \Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots }$

Ординалы, фиксируемые с помощью T, называются канторианскими ординалами, а ординалы, которые доминируют только с канторианскими ординалами (которые, как легко показать, сами канторианские), называются строго канторианскими . Не может быть набора канторианских ординалов или набора строго канторианских ординалов.

Отступление: ординалы фон Неймана в NFU [ править ]

Можно рассуждать об ординалах фон Неймана в НФУ . Напомним, что ординал фон Неймана - это транзитивное множество A такое, что ограничение принадлежности к A является строго упорядоченным. Это довольно серьезное условие в контексте NFU, поскольку отношение членства включает в себя различие типов. Неймановская порядковое не порядковое в смысле NFU, но принадлежит к порядковому номеру , который можно назвать тип заказа (членства) A . Легко показать, что порядковый тип ординала фон Неймана A канторианский: для любого хорошо упорядоченного W порядкового типа индуцированное хорошее упорядочение начальных сегментов${\displaystyle \in \lceil A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$W по включению имеет тип порядка (он на один тип выше, следовательно, применение T): но типы порядка хорошего упорядочения ординала фон Неймана A по членству и хорошего упорядочения его начальных сегментов по включению явно очевидны. то же самое, потому что два хороших порядка на самом деле являются одним и тем же отношением, поэтому тип порядка A фиксируется под T. Более того, тот же аргумент применяется к любому меньшему порядковому номеру (который будет типом порядка начального сегмента A , также ординал фон Неймана), так что тип порядка любого ординала фон Неймана строго канторианский.${\displaystyle T(\alpha )}$

Единственные ординалы фон Неймана, существование которых можно показать в NFU без дополнительных предположений, - это конкретные конечные ординалы. Однако применение метода перестановки может преобразовать любую модель NFU в модель, в которой каждый строго канторианский ординал является порядковым типом ординала фон Неймана. Это предполагает, что концепция «строго канторианский порядковый номер NFU» может быть лучшим аналогом «порядкового номера ZFC», чем очевидный аналог «порядкового номера NFU».

Кардинальные числа [ править ]

Количественные числительные определены в NFU таким образом , обобщающее определение натурального числа: для любого множества A , .${\displaystyle |A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}}$

В ZFC эти классы эквивалентности, как обычно, слишком велики. Уловка Скотта может быть использована (и действительно используется в ZF ), обычно определяется как тип наименьшего порядка (здесь порядковый номер фон Неймана) хорошо упорядоченного A (то, что каждый набор может быть хорошо упорядочен, следует из Аксиомы Выбор обычным способом в обеих теориях).${\displaystyle |A|}$

Естественный порядок кардинальных чисел выглядит хорошо упорядоченным: то, что он рефлексивный, антисимметричный (на абстрактных кардиналах, которые теперь доступны) и транзитивный, было показано выше. То, что это линейный порядок, следует из Аксиомы выбора: два набора с хорошим порядком и начальный сегмент одного с хорошим порядком будут изоморфны другому, поэтому один набор будет иметь мощность меньше, чем у другого. То, что это хороший порядок, аналогичным образом следует из Аксиомы выбора.

С каждым бесконечным кардиналом связано множество типов порядка по обычным причинам (в любой теории множеств).

Теорема Кантора показывает (в обеих теориях), что существуют нетривиальные различия между бесконечными кардинальными числами. В ZFC доказывается. В NFU обычная форма теоремы Кантора неверна (рассмотрим случай A = V), но теорема Кантора является некорректно типизированным утверждением. Правильная форма теоремы в NFU такова : где - множество одноэлементных подмножеств A. показывает, что синглтонов «меньше», чем наборов (очевидная биекция от к V уже не была набором). Фактически в NFU + Choice доказывается, что (где${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$${\displaystyle P_{1}(A)}$${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$${\displaystyle P_{1}(V)}$${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$${\displaystyle \ll }$сигнализирует о существовании многих вмешивающихся кардиналов; много-много урэлементов!). Определение типа средств операции Т на кардиналами , аналогичных операции Т на ординалах: ; это внешний эндоморфизм кардиналов, так же как операция T над ординалами является внешним эндоморфизмом ординалов.${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$

Множество A на всякий случай называется канторианским ; кардинал также называется канторианским кардиналом. Множество A называется строго канториальным (и его кардинал также является сильно канторианским) только в том случае, если ограничение одноэлементного отображения на A ( ) является набором. Хороший порядок строго канторианских множеств всегда строго канторианский ординалы; это не всегда верно для правильного упорядочивания канторианских множеств (хотя самый короткий правильный порядок канторианского набора будет канторианским). Канторианский набор - это набор, удовлетворяющий обычной форме теоремы Кантора.${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

Операции кардинальной арифметики определены теоретико-множественным образом в обеих теориях. . Кто-то хотел бы определить как , и это делается в ZFC , но есть препятствие в NFU при использовании пары Куратовского: один определяет как из-за смещения типа 2 между парой и ее проекциями, что подразумевает смещение типа два между декартовым произведением и его факторами. Несложно доказать, что продукт всегда существует (но требует внимания, поскольку обратное к T не является полным).${\displaystyle |A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}}$${\displaystyle |A|\cdot |B|}$${\displaystyle |A\times B|}$${\displaystyle |A|\cdot |B|}$${\displaystyle T^{-2}(|A\times B|)}$

Определение экспоненциальной операции на кардиналами требует T существенным образом: если был определен как совокупность функций от А до В , это три типа выше , чем A или B , поэтому разумно определить , как так , что это тот же самый тип как A или B ( заменяется парами уровня типа). Результатом этого является то, что экспоненциальная операция является частичной: например, не определено. В ZFC определяется как без труда.${\displaystyle B^{A}}$${\displaystyle |B|^{|A|}}$${\displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle T^{-3}}$${\displaystyle 2^{|V|}}$${\displaystyle |B|^{|A|}}$${\displaystyle |B^{A}|}$

Экспоненциальная операция является полной и ведет себя точно так, как ожидалось, на канторианских кардиналах, поскольку T фиксирует такие кардиналы, и легко показать, что функциональное пространство между канторианскими наборами является канторианским (как и наборы степеней, декартовы произведения и другие обычные конструкторы типов). Это дополнительно поддерживает мнение о том, что «стандартные» мощности в NFU являются канторианскими (действительно, строго канторианскими) мощностями, так же как «стандартные» ординалы кажутся строго канторианскими ординалами.

Теперь обычные теоремы кардинальной арифметики с аксиомой выбора могут быть доказаны, в том числе . Из этого случая можно вывести существование упорядоченной пары на уровне типа: равно на всякий случай , о чем свидетельствует взаимно однозначное соответствие между парами Куратовского и двойными синглетонами : переопределить как c , которое связано с Куратовский : это понятие упорядоченной пары на уровне типов.${\displaystyle \kappa \cdot \kappa =\kappa }$${\displaystyle |V|\cdot |V|=|V|}$${\displaystyle |V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)}$${\displaystyle |V|}$${\displaystyle |V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \{\{c\}\}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \{\{c\}\}}$${\displaystyle (a,b)}$

Аксиома счета и ниспровержение стратификации [ править ]

Итак, есть две разные реализации натуральных чисел в NFU (хотя они одинаковы в ZFC ): конечные порядковые и конечные кардиналы. Каждый из них поддерживает операцию T в NFU (в основном та же операция). Легко доказать, что это натуральное число, если n - натуральное число в NFU + Infinity + Choice (и поэтому первый бесконечный порядковый номер является канторианским), но в этой теории доказать это невозможно . Однако здравый смысл подсказывает, что это должно быть правдой, и поэтому его можно принять как аксиому:${\displaystyle T(n)}$${\displaystyle |N|}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle T(n)=n}$

• Аксиома россеровской о Counting : Для каждого натурального числа п , .${\displaystyle T(n)=n}$

Одним из естественных следствий этой аксиомы (и действительно ее первоначальной формулировки) является

• ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=n}$для каждого натурального числа n .

Все, что можно доказать в НФУ без подсчета, есть .${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)}$

Следствием подсчета является то, что N - строго канторианское множество (опять же, это эквивалентное утверждение).

Свойства строго канторианских множеств [ править ]

Тип любой переменной ограничивается сильно cantorian множества А может быть поднят или опущен по желанию, заменив ссылки на со ссылками на (типа поднял, это предполагает , что известно , что представляет собой набор, в противном случае следует сказать : « элемент «чтобы получить этот эффект» или (тип пониженного) where for all , поэтому нет необходимости назначать типы таким переменным для целей стратификации.${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \bigcup f(a)}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$${\displaystyle f(a)=\{a\}}$${\displaystyle a\in A}$

Любое подмножество строго канторианского множества является строго канторианским. Набор мощностей строго канторианской системы является строго канторианской. Декартово произведение двух строго канторианских множеств является строго канторианским.

Введение аксиомы подсчета означает, что типы не нужно присваивать переменным, ограниченным N или P ( N ), R (набором действительных чисел), или даже любому множеству, когда-либо рассматривавшемуся в классической математике вне теории множеств.

В ZFC нет аналогичных явлений . См. Основную статью New Foundations для более сильных аксиом, которые могут быть присоединены к NFU для обеспечения «стандартного» поведения знакомых математических объектов.

Знакомые системы счисления: положительные рациональные числа, величины и действительные числа [ править ]

Представляйте положительные дроби как пары положительных натуральных чисел (0 исключен): представлен парой . Чтобы сделать , введите отношение, определяемое . Доказано, что это отношение эквивалентности: определите положительные рациональные числа как классы эквивалентности пар положительных натуральных чисел по этому отношению. Арифметические операции над положительными рациональными числами и отношение порядка на положительных рациональных числах определены так же, как в начальной школе, и доказано (с некоторыми усилиями), что они обладают ожидаемыми свойствами.${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr}$

Представьте величины (положительные действительные числа) как непустые собственные начальные сегменты положительных рациональных чисел без наибольшего элемента. Операции сложения и умножения величин осуществляются поэлементным сложением положительных рациональных элементов величин. Заказ реализован по мере включения.

Представьте действительные числа как разности величин: формально говоря, действительное число - это класс эквивалентности пар величин в соответствии с отношением эквивалентности, определяемым с помощью . Операции сложения и умножения действительных чисел определены так же, как и следовало ожидать от алгебраических правил сложения и умножения разностей. Порядок трактуется также как и в элементарной алгебре.${\displaystyle m-n}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r}$

Это кратчайший набросок построек. Обратите внимание, что конструкции точно такие же в ZFC и в NFU , за исключением разницы в конструкциях натуральных чисел: поскольку все переменные ограничены строго канторианскими множествами, нет необходимости беспокоиться об ограничениях стратификации. Без Аксиомы счета, возможно, потребуется ввести некоторые приложения T при полном обсуждении этих конструкций.

Операции с индексированными семействами множеств [ править ]

В этом классе конструкций кажется, что ZFC имеет преимущество перед NFU : хотя конструкции явно возможны в NFU , они более сложны, чем в ZFC, по причинам, связанным с расслоением.

В этом разделе предполагается наличие упорядоченной пары на уровне типов. Определите как . Определение общего n -набора с использованием пары Куратовского сложнее, так как нужно сохранять типы всех проекций одинаковыми, а смещение типов между n -набором и его проекциями увеличивается с увеличением n . Здесь n -наборка имеет тот же тип, что и каждая из ее проекций.${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$

Аналогично определяются общие декартовы произведения: ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})}$

Определения в ZFC такие же, но без забот о стратификации (приведенная здесь группировка противоположна обычно используемой, но это легко исправить).

Теперь рассмотрим бесконечное декартово произведение . В ZFC это определяется как набор всех функций f с областью I, такой что (где A неявно понимается как функция, принимающая каждое i в ).${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

В NFU это требует внимания к шрифту. Учитывая набор I и функцию A с множеством значений, значение которой записано в in , Определите как набор всех функций f с областью определения I таким образом, что : обратите внимание, что это стратифицировано из-за нашего соглашения о том, что A является функцией со значениями в отдельных единицах индексов . Обратите внимание, что самые большие семейства наборов (которые не могут быть проиндексированы наборами синглетонов) не будут иметь декартовых произведений в соответствии с этим определением. Обратите внимание, что наборы принадлежат к тому же типу, что и индексный набор I${\displaystyle \{i\}}$${\displaystyle P_{1}(I)}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$${\displaystyle f(i)\in A_{i}=A(\{i\})}$${\displaystyle A_{i}}$(поскольку на один тип выше своих элементов); продукт, как набор функций с доменом I (то есть того же типа, что и I ), на один тип выше (при условии упорядоченной пары на уровне типа).

Теперь рассмотрим произведение кардиналов этих множеств. Мощность | | на один тип выше, чем кардиналы , поэтому правильным определением бесконечного произведения кардиналов является (поскольку обратное к T не является полным, возможно, что этого не существует).${\displaystyle \Pi _{i\in I}|A_{i}|}$${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle |A_{i}|}$${\displaystyle T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)}$

Повторите это для непересекающихся объединений семейств множеств и сумм семейств кардиналов. Опять же, пусть A будет многозначной функцией с доменом : писать для . Непересекающееся объединение - это множество . Этот набор того же типа, что и наборы .${\displaystyle P_{1}(I)}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A(\{i\})}$${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$${\displaystyle A_{i}}$

Таким образом , сумма будет правильным , поскольку нет смещения типа.${\displaystyle \Sigma _{i\in I}|A_{i}|}$${\displaystyle |\Sigma _{i\in I}A_{i}|}$

Эти определения можно расширить для обработки наборов индексов, которые не являются наборами синглтонов, но это вводит дополнительный уровень типа и не требуется для большинства целей.

В ZFC определите непересекающееся объединение как , где сокращает .${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A(i)}$

Методы перестановок могут быть использованы , чтобы показать относительную согласованность с NFU из утверждения , что для каждого сильно cantorian множества А существует множество я того же размера, элементы которого являются самими-синглтонами: для каждого I в I .${\displaystyle i=\{i\}}$

Кумулятивная иерархия [ править ]

В ZFC определите совокупную иерархию как последовательность наборов с порядковым индексом, удовлетворяющую следующим условиям :; ; для предельных ординалов . Это пример конструкции с помощью трансфинитной рекурсии . Ранг множества A называется равным тогда и только тогда, когда . Существование рангов как множеств зависит от аксиомы замены на каждом предельном шаге (иерархия не может быть построена в теории множеств Цермело ); по аксиоме основания каждое множество принадлежит некоторому рангу.${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$${\displaystyle V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })}$${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }}$

Кардинал называется .${\displaystyle |P(V_{\omega +\alpha })|}$${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

Это построение не может быть выполнено в NFU, потому что операция набора мощности не является заданной функцией в NFU ( на один тип выше, чем A для целей стратификации).${\displaystyle P(A)}$

Последовательность кардиналов может быть реализована в НФУ. Напомним, что определяется как , где - удобный набор размера 2, а . Позвольте быть наименьшим набором кардиналов, который содержит (мощность набора натуральных чисел), содержит кардинал всякий раз, когда он содержит , и который замкнут относительно супремумов наборов кардиналов.${\displaystyle \beth _{\alpha }}$${\displaystyle 2^{|A|}}$${\displaystyle T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)}$${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|P(A)|}$${\displaystyle \beth }$${\displaystyle |N|}$${\displaystyle 2^{|A|}}$${\displaystyle |A|}$

Соглашение о порядковой индексации любого хорошо упорядоченного элемента определяется как элемент x поля такого, что тип упорядочения ограничения до равен ; затем определите как элемент с индексом в естественном порядке элементов . Кардинал - это элемент с индексом в естественном порядке на всех бесконечных кардиналах (который является правильным, см. Выше). Отметим, что это сразу следует из этого определения. Обратите внимание, что во всех этих конструкциях тип индекса на два выше (с упорядоченной парой на уровне типов), чем тип .${\displaystyle W_{\alpha }}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{y\mid yWx\}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beth _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beth }$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \aleph _{0}=|N|}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle W_{\alpha }}$

Каждое множество A в ZFC имеет транзитивное замыкание (пересечение всех транзитивных множеств, которое содержит A ). По аксиоме основания ограничение отношения принадлежности к транзитивному замыканию A является хорошо обоснованным отношением . Отношение либо пусто, либо имеет верхний элемент A , поэтому это отношение является установленным изображением . В ZFC можно доказать, что каждое изображение множества изоморфно некоторому .${\displaystyle TC(A)}$${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$

Это предполагает, что (начальный сегмент) кумулятивной иерархии можно изучать, рассматривая классы изоморфизма установленных изображений. Эти классы изоморфизма являются наборами и составляют набор в NFU . Существует естественное отношение множества, аналогичное членству в классах изоморфизма изображений множества: если - изображение множества, напишите его класс изоморфизма и определите как имеющийся, если является классом изоморфизма ограничения y на замыкание вниз одного из элементов прообраза под y верхнего элемента y${\displaystyle x}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [x]E[y]}$${\displaystyle [x]}$. Отношение E - это установленное отношение, и несложно доказать, что оно хорошо обосновано и экстенсионально. Если определение Е сбивает с толком, оно может быть выведено из наблюдения , что она индуцируется именно отношения , которые имеют место между множеством изображением , связанным с A и множество изображением , связанное с B , когда в обычной теории множеств.${\displaystyle A\in B}$

Существует операция T над классами изоморфизма изображений множества, аналогичная операции T над порядковыми числами: если x - изображение множества, то так и есть . Определите как . Это легко увидеть .${\displaystyle x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}}$${\displaystyle T([x])}$${\displaystyle [x^{\iota }]}$${\displaystyle [x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])}$

Аксиома экстенсиональности для этой моделируемой теории множеств следует из экстенсиональности E. Из его обоснованности следует аксиома основания. Остается вопрос, какое понимание может иметь аксиома E. Рассмотрим любую коллекцию заданных изображений (совокупность заданных изображений, поля которых полностью состоят из одиночных изображений). Поскольку каждый на один тип выше, чем x (с использованием упорядоченной пары на уровне типа), замена каждого элемента поля каждого в коллекции на${\displaystyle \{x^{\iota }\mid x\in S\}}$${\displaystyle x^{\iota }}$${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle x^{\iota }}$${\displaystyle (x,\{a\})}$приводит к набору наборов изображений, изоморфных исходному набору, но с непересекающимися полями. Объединение этих изображений множества с новым верхним элементом дает изображение множества, чей тип изоморфизма будет иметь в качестве своих прообразов под E в точности элементы исходной коллекции. То есть для любого набора типов изоморфизма существует тип изоморфизма , прообраз которого под E является в точности этим набором.${\displaystyle [x^{\iota }]=T([x])}$${\displaystyle [y]}$

В частности, будет тип изоморфизма [v] , прообраз которого под E является набором всех T [ x ] (включая T [ v ]). Так как T [ v ] Е V и Е хорошо обосновано, . Это напоминает разрешение парадокса Бурали – Форти, обсуждавшееся выше и в статье « Новые основы» , и фактически является локальным разрешением парадокса Мириманова множества всех хорошо обоснованных множеств.${\displaystyle T[v]\neq v}$

Существуют ранги классов изоморфизма изображений множеств так же, как ранги множеств в обычной теории множеств. Для любого набора изображений множества A определите S ( A ) как множество всех классов изоморфизма изображений множества, чей прообраз под E является подмножеством A; назовите A "полным" набором, если каждое подмножество A является прообразом для E. Набор "рангов" - это наименьший набор, содержащий пустое множество и закрытый при операции S (которая является своего рода конструкцией набора мощности) и при союзы его подколлекций. Несложно доказать (как и в обычной теории множеств), что ранги хорошо упорядочены по включению, и поэтому ранги имеют индекс в этом хорошем порядке: назовите ранг с индексом как${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle R_{\alpha }}$. Это доказано для полных рядов . Объединение полных рангов (которое будет первым неполным рангом) с отношением E выглядит как начальный сегмент вселенной теории множеств в стиле Цермело (не обязательно как полная вселенная ZFC, потому что она может быть недостаточно большой) . Это доказуемо , что если это первый неполный ранг, то есть полный ранг и , таким образом . Таким образом, существует «ранг кумулятивной иерархии» с «внешним автоморфизмом» T, перемещающим ранг вниз, в точности условие нестандартной модели ранга в кумулятивной иерархии, при котором модель NFU строится в Новых фондах.${\displaystyle |R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }}$${\displaystyle R_{\alpha }}$${\displaystyle R_{\alpha }}$${\displaystyle R_{T(\alpha )}}$${\displaystyle T(\alpha )<\alpha }$статья. Необходимо проверить технические детали, но есть интерпретация не только фрагмента ZFC, но и самого NFU в этой структуре, которая определяется как : это «отношение» не является отношением набора, но имеет такое же смещение типов между своими аргументами, как и обычное отношение принадлежности .${\displaystyle [x]\in _{NFU}[y]}$${\displaystyle T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}}$${\displaystyle E_{NFU}}$${\displaystyle \in }$

Таким образом, внутри NFU существует естественная конструкция кумулятивной иерархии множеств, которая усваивает естественную конструкцию модели NFU в теории множеств в стиле Цермело.

В соответствии с Аксиомой канторовских множеств, описанной в статье New Foundations , строго канторианская часть множества классов изоморфизма множественных изображений с отношением E как членство становится (собственно классовой) моделью ZFC (в которой n - кардиналов Mahlo для каждого  n ; это расширение NFU строго сильнее, чем ZFC). Это правильная модель классов, потому что классы строго канторианского изоморфизма не составляют набор.

Методы перестановки могут использоваться для создания из любой модели NFU модели, в которой каждый тип строго канторианского изоморфизма наборов изображений фактически реализуется как ограничение истинного отношения принадлежности к транзитивному замыканию набора.

См. Также [ править ]

• Аксиоматическая теория множеств

Ссылки [ править ]

• Кейт Девлин , 1994. Радость множеств , 2-е изд. Springer-Verlag.
• Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным множеством . Academia-Bruylant. Издатель любезно согласился разрешить распространение этого введения в NFU через Интернет. Авторские права защищены.
• Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия , 2-е изд. Oxford Univ. Нажмите.
• Суппес, Патрик, 1972. Аксиоматическая теория множеств . Дувр.
• Турлакис, Джордж, 2003. Лекции по логике и теории множеств, Vol. 2 . Cambridge Univ. Нажмите.

Внешние ссылки [ править ]

• Metamath: веб-сайт, посвященный продолжающемуся выведению математики из аксиом ZFC и логики первого порядка .
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • Новые основы Куайна - Томас Форстер.
  • Альтернативные аксиоматические теории множеств - Рэндалл Холмс.
• Рэндалл Холмс: Домашняя страница New Foundations