В абстрактной алгебре декомпозиция модуля - это способ записать модуль как прямую сумму модулей . Тип разложения часто используется для определения или характеристики модулей: например, полупростой модуль - это модуль, который имеет разложение на простые модули. Для данного кольца типы декомпозиции модулей над кольцом также можно использовать для определения или характеристики кольца: кольцо полупросто тогда и только тогда, когда каждый модуль над ним является полупростым модулем.
Неразложимый модуль представляет собой модуль , который не является прямой суммой двух ненулевых подмодулей. Теорема Адзумая утверждает, что если модуль имеет разложение на модули с локальными кольцами эндоморфизмов, то все разложения на неразложимые модули эквивалентны друг другу; частный случай этого, особенно в теории групп, известен как теорема Крулля – Шмидта .
Частным случаем разложения модуля является разложение кольца: например, кольцо полупросто тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой (фактически произведением) матричных колец над телами (это наблюдение известно как Артин-Wedderburn ).
Идемпотенты и разложения
Дать разложение модуля на подмодули прямой суммой - это то же самое, что дать ортогональные идемпотенты в кольце эндоморфизмов модуля, суммирующие тождественное отображение. [1] Действительно, если, то для каждого , линейный эндоморфизм заданный естественной проекцией, за которой следует естественное включение, является идемпотентом. Они явно ортогональны друг другу ( для ) и резюмируют:
как эндоморфизмы (здесь суммирование хорошо определено, поскольку это конечная сумма на каждом элементе модуля). И наоборот, каждый набор ортогональных идемпотентов такое, что только конечное число отличны от нуля для каждого а также определить разложение прямой суммы, взяв быть изображениями .
Этот факт уже накладывает некоторые ограничения на возможное разложение кольца: пусть кольцо , предположим, что существует разложение
из как левый модуль над собой, где левые подмодули; т.е. левые идеалы. Каждый эндоморфизмможно отождествить с правым умножением на элемент R ; таким образом, где являются идемпотентами . [2] Суммирование идемпотентных эндоморфизмов соответствует разложению единицы R :, которая обязательно является конечной суммой; в частности, должно быть конечным множеством.
Например, возьмем , Кольцо п матрицы с размерностью п матрицы над телом D . потомпрямая сумма n копий, столбцы; каждый столбец является простым левым R -подмодулем или, другими словами, минимальным левым идеалом. [3]
Пусть R - кольцо. Предположим, что существует его (обязательно конечное) разложение как левый модуль над собой
в двусторонние идеалы из R . Как указано выше, для некоторых ортогональных идемпотентов такой, что . С это идеал, и другие для . Тогда для каждого I ,
Это, находятся в центре ; т.е. они центральные идемпотенты. [4] Очевидно, рассуждение можно перевернуть, и поэтому существует взаимно однозначное соответствие между разложением прямой суммы на идеалы и ортогональными центральными идемпотентами, суммирующими до единицы 1. Кроме того, каждый само по себе кольцо, единство, данное , а в качестве кольца R - кольцо произведения
Например, снова возьмем . Это кольцо - простое кольцо; в частности, в нем нет нетривиального разложения на двусторонние идеалы.
Типы разложения
Было изучено несколько типов разложений на прямую сумму:
- Полупростая декомпозиция : прямая сумма простых модулей.
- Неразложимая декомпозиция : прямая сумма неразложимых модулей.
- Разложение с локальными кольцами эндоморфизмов [5] (см. Теорему # Адзумая ): прямая сумма модулей, кольца эндоморфизмов которых являются локальными кольцами (кольцо является локальным, если для каждого элемента x либо x, либо 1 - x является единичным элементом) .
- Последовательная декомпозиция : прямая сумма цепных модулей (модуль цепной, если решетка подмодулей является конечной цепью [6] ).
Поскольку простой модуль неразложим, полупростая декомпозиция является неразложимой (но не наоборот). Если кольцо эндоморфизмов модуля локально, то, в частности, оно не может иметь нетривиального идемпотента: модуль неразложим. Таким образом, разложение с локальными кольцами эндоморфизмов является неразложимым разложением.
Прямое слагаемое называется максимальным, если оно допускает неразложимое дополнение. Разложениеназывается дополняющим максимальные прямые слагаемые, если для каждого максимального прямого слагаемого L в M существует подмножество такой, что
Два разложения называются эквивалентными, если существует биекция так что для каждого , . [7] Если модуль допускает неразложимое разложение, дополняющее максимальные прямые слагаемые, то любые два неразложимых разложения модуля эквивалентны. [8]
Теорема Адзумая
В простейшей форме теорема Адзумая гласит: [9] с учетом разложения такое, что кольцо эндоморфизмов каждого является локальным (поэтому разложение неразложимо), каждый неразложимо разложение М эквивалентно этим данного разложение. Более точная версия теоремы гласит: [10] все еще дано такое разложение, если, тогда
- если ненулевой, N содержит неразложимое прямое слагаемое,
- если неразложим, его кольцо эндоморфизмов локально [11] и дополняется данным разложением:
- и другие для некоторых ,
- для каждого , существуют прямые слагаемые из а также из такой, что .
Кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины является локальным (например, по лемме Фиттинга ), и, таким образом, теорема Адзумая применима к установке теоремы Крулля – Шмидта . Действительно, если M - модуль конечной длины, то индукцией по длине он имеет конечное неразложимое разложение, которое является разложением с локальными кольцами эндоморфизмов. Теперь предположим, что нам дано неразложимое разложение. Тогда он должен быть эквивалентен первому: так а также для некоторой перестановки из . Точнее, поскольку неразложим, для некоторых . Тогда, поскольку неразложим, и так далее; т.е. дополнения к каждой сумме можно рассматривать как прямые суммы некоторых с.
Другое приложение - следующее утверждение (которое является ключевым шагом в доказательстве теоремы Капланского о проективных модулях ):
- Учитывая элемент , существует прямое слагаемое из и подмножество такой, что а также .
Чтобы в этом убедиться, выберите конечное множество такой, что . Затем, написав, по теореме Адзумая, с некоторыми прямыми слагаемыми из а затем, по модульному закону , с участием . Тогда, поскольку является прямым слагаемым , мы можем написать а потом , откуда в силу конечности F следует, чтодля некоторого J повторным применением теоремы Адзумая.
В постановке теоремы Адзумая, если, кроме того, каждый является счетнопорожденным , то есть следующее уточнение (из первоначально Crawley-Йонссон , а затем в Warfield): изоморфен для некоторого подмножества . [12] (В некотором смысле это расширение теоремы Капланского и доказывается двумя леммами, использованными в доказательстве теоремы.) Согласно ( Facchini 1998 ) , неизвестно, было ли предположение " счетно генерируемый "можно отбросить, т. е. эта уточненная версия верна в целом.
Разложение кольца
Что касается разложения кольца, самое основное, но все же важное наблюдение, известное как теорема Артина – Веддерберна, заключается в следующем: для кольца R следующие условия эквивалентны:
- R - полупростое кольцо ; т.е. - полупростой левый модуль.
- где обозначает кольцо п матрицу с размерностью п матриц и положительных целых чиселопределяются R (ноне определяются R ).
- Каждый левый модуль над R полупрост.
Чтобы увидеть эквивалентность первых двух, обратите внимание: если где являются взаимно неизоморфными левыми минимальными идеалами, то с учетом того, что эндоморфизмы действуют справа,
где каждый можно рассматривать как матричное кольцо над телом . (Обратное происходит потому, что разложение 2 эквивалентно разложению на минимальные левые идеалы = простые левые подмодули.) Эквивалентность 1. 3. потому, что каждый модуль является фактором свободного модуля, а фактор полупростого модуля, очевидно, полупрост.
Смотрите также
Заметки
- ^ Андерсон и Фуллер , следствие 6.19. и следствие 6.20.
- ^ Здесь кольцо эндоморфизмов считается действующим справа; если он действует с левой, эта идентификация для противоположного кольца R .
- ^ Processi , гл.6., § 1.3.
- ^ Андерсон и Фуллер , Предложение 7.6.
- ^ ( Якобсон , абзац перед теоремой 3.6.) называет модуль сильно неразложимым, если он не равен нулю, и имеет локальное кольцо эндоморфизмов.
- ↑ Андерсон и Фуллер , § 32.
- ^ a b Андерсон и Фуллер , § 12.
- ^ Андерсон и Фуллер , Theorrm 12.4.
- ^ Факкини , теорема 2.12.
- ^ Андерсон и Фуллер , Теорема 12.6. и лемма 26.4.
- ^ Факкини , лемма 2.11.
- ^ Факкини , Следствие 2.55.
Рекомендации
- Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487
- Фрэнк В. Андерсон, Лекции о некоммутативных кольцах , Орегонский университет, осень, 2002.
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7
- Ю. Лам, работы Басса по теории колец и проективных модулях [MR 1732042]
- Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402 .
- Р. Варфилд: Обмен кольцами и разложения модулей, Math. Annalen 199 (1972), 31-36.