Алгебраически компактный модуль

В математике , алгебраически компактные модули , называемые также чистые -инъективных модулями , являются модулями , которые имеют определенное свойство «хорошее» , которая позволяет решение бесконечных систем уравнений в модуле с помощью финитных средств. Решения этих систем допускают расширение некоторых видов гомоморфизмов модулей . Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективным модулям , в которых можно расширить все гомоморфизмы модулей. Все инъективные модули алгебраически компактны, и аналогия между ними довольно точна с помощью вложения категорий.

Определения

Пусть $R$ - кольцо , $M$ - левый $R$ -модуль. Рассмотрим систему бесконечного числа линейных уравнений

{\ displaystyle \ sum _ {j \ in J} r_ {i, j} x_ {j} = m_ {i},}

где оба множества $I$ и $J$ могут быть бесконечными, и для каждого $i$ число ненулевых конечно. ${\ displaystyle m_ {i} \ in M,}$ ${\ displaystyle r_ {i, j} \ in R}$

Цель состоит в том, чтобы решить, имеет ли такая система решение , то есть существуют ли элементы $x j$ из $M$ такие, что все уравнения системы одновременно удовлетворяются. (Не требуется, чтобы только конечное число $x j$ отличалось от нуля.)

Модуль M является алгебраически компактным, если для всех таких систем, если каждая подсистема, образованная конечным числом уравнений, имеет решение, то вся система имеет решение. (Решения для различных подсистем могут быть разными.)

С другой стороны, гомоморфизм модулей $M \to K$ является чистым вложением, если индуцированный гомоморфизм между тензорными произведениями $C \otimes M \to C \otimes K$ является инъективны для каждого правого $R$ - модуля $C$ . Модуль $M$ является чисто инъективным, если любой чистый инъективный гомоморфизм $j : M \to K$ расщепляется (т.е. существует $f : K \to M$ с ). ${\ displaystyle f \ circ j = 1_ {M}}$

Оказывается, модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он чисто инъективен.

Примеры

Все модули с конечным числом элементов алгебраически компактны.

Каждое векторное пространство алгебраически компактно (поскольку оно чисто инъективно). В более общем смысле каждый инъективный модуль алгебраически компактен по той же причине.

Если R является ассоциативная алгебра с 1 над некоторым полем к , то каждый R - модуль с конечным к - размерность алгебраически компактна. Это, вместе с тем фактом, что все конечные модули алгебраически компактны, дает повод для интуиции, что алгебраически компактные модули - это те (возможно, «большие») модули, которые разделяют хорошие свойства «маленьких» модулей.

В группах прюферовых алгебраически компактные абелевые группы (то есть Z -модули). Кольцо р -адических чисел для каждого простого р алгебраически компактно и как модуль над самими собой и модулем над Z . В рациональные числа алгебраически компактно как Z - модуль. Вместе с неразложимыми конечными модулями над Z это полный список неразложимых алгебраически компактных модулей.

Многие алгебраически компактные модули могут быть получены с помощью инъективного когенератора Q / Z абелевых групп. Если Н является правым модулем над кольцом R , образует одну (алгебраический) характер модуль Н * , состоящие из всех гомоморфизмов группы от H до Q / Z . Это то левый R - модуль, а * -operation дает верный контравариантен функтор из правого R -модулями в левой R -модулей. Каждый модуль вида H* алгебраически компактно. Кроме того, существует чистые инъективные гомоморфизмы Н → Н **, естественно , в H . Часто можно упростить задачу, сначала применив * -функцию, поскольку с алгебраически компактными модулями легче работать.

Факты

Следующее условие эквивалентно алгебраической компактности M :

Для каждого индексного множества I отображение сложения M ^(I) → M может быть расширено до гомоморфизма модулей M ^I → M (здесь M ^(I) обозначает прямую сумму копий M , по одной для каждого элемента I ; M ^I обозначает произведение копий M , по одной для каждого элемента I ).

Каждый неразложимый алгебраически компактный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов .

Алгебраически компактные модули имеют множество других свойств с инъективными объектами из - за следующим: существует вложение R -Mod в категорию Гротендик G , при которых алгебраически компактной R -модулей точно соответствовать инъективным объектам в G .

Каждый R -модуль элементарно эквивалентен алгебраически компактному R -модулю и прямой сумме неразложимых алгебраически компактных R -модулей. ^[1]

использованная литература

^ Прест, Майк (1988). Теория моделей и модули . Серия лекций Лондонского математического общества: Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1.

К. У. Дженсен и Х. Ленцинг: теоретико-модельная алгебра , Гордон и Брич, 1989

[1] Прест, Майк (1988). Теория моделей и модули . Серия лекций Лондонского математического общества: Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-34833-1.

[1]