Интегрирование по волокнам

---

В дифференциальной геометрии интегрирование по слоям k- формы дает -форму , где m - размерность волокна, посредством «интегрирования». Это также называется интеграцией волокон .${\displaystyle (км)}$

Пусть – расслоение над многообразием с компактными ориентированными слоями. Если это k -форма на E , то для касательных векторов w _i в точке b пусть${\displaystyle \pi:E\to B}$${\displaystyle \альфа }$

где – индуцированная топ-форма на волокне ; т. е . -форма, заданная: с подъемами до ,${\displaystyle \бета }$${\displaystyle \pi ^{-1}(б)}$${\displaystyle м}$${\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle E}$

(Чтобы увидеть гладкость, определите это в координатах; см. пример ниже.)${\displaystyle b\mapsto (\pi _{*}\alpha)_{b}}$

Тогда — линейное отображение . По формуле Стокса, если слои не имеют границ (т. е. ), отображение сводится к когомологиям де Рама :${\displaystyle \pi _ {*}}$${\displaystyle \Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{km}(B)}$${\displaystyle [d,\int ]=0}$

Теперь предположим, что это пучок сфер ; т. е. типичное волокно представляет собой сферу. Тогда существует точная последовательность K ядро , которая приводит к длинной точной последовательности, отбрасывая коэффициент и используя :${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}$

---