Межквартильный размах

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Межквартильный размах» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( май 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Коробчатая диаграмма (с межквартильным размахом) и функция плотности вероятности (pdf) нормальной популяции

N (0, σ 2)

В описательных статистиках , то межквартильная ( МКР ), также называемый midspread , средний 50% , или Н-спрэд , является мерой статистической дисперсии , равна разнице между 75 - м и 25 - м процентилями , или между верхним и нижней квартилью , ^[1]^[2] IQR = Q ₃ - Q ₁ . Другими словами, IQR - это первый квартиль, вычтенный из третьего квартиля; эти квартили можно четко увидеть на прямоугольной диаграмме данных. Это усеченная оценка, определяемый как 25% усеченный диапазон , и является обычно используемым надежным показателем масштаба .

IQR - это мера изменчивости, основанная на разделении набора данных на квартили. Квартили делят упорядоченный набор данных на четыре равные части. Значения, разделяющие части, называются первым, вторым и третьим квартилями; и обозначаются Q1, Q2 и Q3 соответственно.

Используйте [ редактировать ]

В отличие от общего диапазона , межквартильный диапазон имеет точку разбивки 25% ^[3] и, таким образом, часто предпочтительнее общего диапазона.

IQR используется для построения коробчатых диаграмм , простых графических представлений распределения вероятностей .

IQR используется на предприятиях как маркер уровня их дохода .

Для симметричного распределения (где медиана равна midhinge , среднему значению первого и третьего квартилей), половина IQR равна медианному абсолютному отклонению (MAD).

Медиана является соответствующей мерой центральной тенденции .

IQR можно использовать для выявления выбросов (см. Ниже ).

Квартильное отклонение или полумежквартильный диапазон определяется как половина IQR. ^[4]^[5]

Алгоритм [ править ]

IQR набора значений рассчитывается как разница между верхним и нижним квартилями, Q ₃ и Q ₁ . Каждый квартиль - это медиана ^[6], рассчитанная следующим образом.

Учитывая четное 2n или нечетное 2n + 1 количество значений

первый квартиль Q ₁ = медиана n наименьших значений

третий квартиль Q ₃ = медиана n наибольших значений ^[6]

Вторая квартиль Q ₂ является таким же , как обычными медианы. ^[6]

Примеры [ править ]

Набор данных в таблице [ править ]

Следующая таблица состоит из 13 строк и соответствует правилам для нечетного количества записей.

я	х [я]	Медиана	Квартиль
1	7	Q ₂ = 87 (медиана всей таблицы)	Q ₁ = 31 (медиана верхней половины, с 1 по 6 ряды)
2	7
3	31 год
4	31 год
5	47
6	75
7	87
8	115
8	115		Q ₃ = 119 (медиана нижней половины, с 8 по 13 ряды)
9	116
10	119
11	119
12	155
13	177

Для данных этой таблицы межквартильный размах составляет IQR = Q ₃ - Q ₁ = 119 - 31 = 88.

Набор данных в виде обычного текстового поля [ править ]

  + −−−−− + - +  * | −−−−−−−−−−−− | | | −−−−−−−−−−− | + −−−−− + - +   + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + −−− + число линия 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Для набора данных в этой рамочной диаграмме :

нижний (первый) квартиль Q ₁ = 7
медиана (второй квартиль) Q ₂ = 8,5
верхний (третий) квартиль Q ₃ = 9
межквартильный размах, IQR = Q ₃ - Q ₁ = 2
нижний 1,5 * усы IQR = Q ₁ - 1,5 * IQR = 7 - 3 = 4. (Если нет точки данных в 4, то самая низкая точка больше 4.)
верхний 1,5 * усы IQR = Q ₃ + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Если нет точки данных на 12, тогда наивысшая точка меньше 12.)

Это означает, что усы 1,5 * IQR могут быть неодинаковой длины.

Распределения [ править ]

Межквартильный размах непрерывного распределения может быть рассчитан путем интегрирования функции плотности вероятности (которая дает кумулятивную функцию распределения - также будут работать любые другие средства вычисления CDF). Нижний квартиль, Q ₁ , представляет собой такое число, что интеграл PDF от -∞ до Q ₁ равен 0,25, а верхний квартиль, Q ₃ , является таким числом, что интеграл от -∞ до Q ₃ равен 0,75; в терминах CDF квартили можно определить следующим образом:

{\ displaystyle Q_ {1} = {\ text {CDF}} ^ {- 1} (0,25),}

{\ displaystyle Q_ {3} = {\ text {CDF}} ^ {- 1} (0,75),}

где CDF ⁻¹ - функция квантиля .

Межквартильный размах и медиана некоторых распространенных распределений показаны ниже.

Распределение	Медиана	IQR
Нормальный	μ	2 Φ ⁻¹ (0,75) σ ≈ 1,349σ ≈ (27/20) σ
Лаплас	μ	2 б п (2) ≈ 1,386 б
Коши	μ	2γ

Тест межквартильного размаха на нормальность распределения [ править ]

МКР, среднее и стандартное отклонение популяции P может быть использовано в испытании простого , является ли или нет Р является нормально распределенным или гауссовым. Если P имеет нормальное распределение, то стандартный балл первого квартиля, z ₁ , равен -0,67, а стандартный балл третьего квартиля, z ₃ , равен +0,67. Учитывая среднее значение = X и стандартное отклонение = σ для P , если P нормально распределено, первый квартиль

{\ Displaystyle Q_ {1} = (\ sigma \, z_ {1}) + X}

и третий квартиль

{\ Displaystyle Q_ {3} = (\ sigma \, z_ {3}) + X}

Если фактические значения первого или третьего квартилей существенно отличаются ^{[ требуется пояснение ]} от расчетных значений, P не имеет нормального распределения. Однако нормальное распределение можно тривиально изменить, чтобы сохранить его Q1 и Q2 std. баллы 0,67 и -0,67 и не имеют нормального распределения (так что вышеупомянутый тест даст ложноположительный результат). Здесь будет указан лучший тест на нормальность, такой как график QQ .

Выбросы [ править ]

График прямоугольной формы с четырьмя умеренными выбросами и одним экстремальным выбросом. На этом графике выбросы определяются как умеренные, выше Q3 + 1,5 IQR, и как экстремальные, выше Q3 + 3 IQR.

Межквартильный размах часто используется для поиска выбросов в данных. Выбросы здесь определяются как наблюдения, которые падают ниже Q1 - 1,5 IQR или выше Q3 + 1,5 IQR. На диаграмме высшее и наименьшее встречающиеся значения в пределах этого предела обозначены усами прямоугольника (часто с дополнительной полосой в конце усов), а любые выбросы - отдельными точками.

См. Также [ править ]

Interdecile диапазон
Midhinge
Надежные меры масштаба

Ссылки [ править ]

^ Аптон, Грэм; Кук, Ян (1996). Понимание статистики . Издательство Оксфордского университета. п. 55. ISBN 0-19-914391-9.
^ Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 18.
^ Rousseeuw, Питер Дж .; Кру, Кристоф (1992). Ю. Додж (ред.). «Явные шкалы для оценки с высокой точкой пробоя» (PDF) . L1-Статистический анализ и связанные с ним методы . Амстердам: Северная Голландия. С. 77–92.
^ Юла, Г. Udny (1911). Введение в теорию статистики . Чарльз Гриффин и компания. стр. 147 -148.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Квартильное отклонение» . MathWorld .
^ a b c Bertil., Westergren (1988). Справочник по бета [beta] математике: концепции, теоремы, методы, алгоритмы, формулы, графики, таблицы . Studentlitteratur . п. 348. ISBN 9144250517. OCLC 18454776 .

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с межквартильным размахом, на Викискладе?

[Upton-1] Аптон, Грэм; Кук, Ян (1996). Понимание статистики . Издательство Оксфордского университета. п. 55. ISBN 0-19-914391-9.

[ZK-2] Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 18.

[3] Rousseeuw, Питер Дж .; Кру, Кристоф (1992). Ю. Додж (ред.). «Явные шкалы для оценки с высокой точкой пробоя» (PDF) . L1-Статистический анализ и связанные с ним методы . Амстердам: Северная Голландия. С. 77–92.

[Yule-4] Юла, Г. Udny (1911). Введение в теорию статистики . Чарльз Гриффин и компания. стр. 147 -148.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Квартильное отклонение» . MathWorld .

[:0-6] Bertil., Westergren (1988). Справочник по бета [beta] математике: концепции, теоремы, методы, алгоритмы, формулы, графики, таблицы . Studentlitteratur . п. 348. ISBN 9144250517. OCLC 18454776 .

[1]