Внутреннее уравнение

В геометрии , внутреннее уравнение кривой является уравнением , которое определяет кривую , используя соотношение между внутренними свойствами кривой, то есть, свойства , которые не зависят от местоположения и , возможно , от ориентации кривой. Следовательно, внутреннее уравнение определяет форму кривой без указания ее положения относительно произвольно определенной системы координат.

Чаще всего используются внутренние величины: длина дуги , тангенциальный угол , кривизна или радиус кривизны , а для трехмерных кривых - кручение . Конкретно:${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ тау}$

• Натуральное уравнение является кривым определяется его кривизной и кручением.
• Уравнение Уивелла получается как соотношение между длиной дуги и тангенциальным углом.
• Уравнение Чезаро получается как соотношение между длиной дуги и кривизной.

Уравнение круга (включая линию), например, задается уравнением где - длина дуги, кривизна и радиус круга.${\ displaystyle \ kappa (s) = {\ tfrac {1} {r}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle r}$

Эти координаты значительно упрощают некоторые физические задачи. Например, для упругих стержней потенциальная энергия определяется выражением

${\ displaystyle E = \ int _ {0} ^ {L} B \ kappa ^ {2} (s) ds}$

где - модуль изгиба . Более того, упругости стержней можно придать простую вариационную форму.${\displaystyle B}$${\displaystyle EI}$${\displaystyle \kappa (s)=d\theta /ds}$

Ссылки [ править ]

• RC Yates (1952). Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. С. 123–126.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр.  1 -5. ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Внутреннее уравнение" . MathWorld .