Лемма Кнастера–Куратовского–Мазуркевича

Лемма Кнастера-Куратовского-Мазуркевича — это основной результат математической теории неподвижной точки, опубликованный в 1929 году Кнастером , Куратовским и Мазуркевичем . ^[1]

Лемма ККМ может быть доказана из леммы Шпернера и может быть использована для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке .

Позвольте быть -мерный симплекс с n вершинами , помеченными как .${\ Displaystyle \ Дельта _ {п-1}}$${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ Displaystyle 1, \ ldots, п}$

Покрытие ККМ определяется как множество замкнутых множеств , таких что для любого выпуклая оболочка соответствующих вершин покрывается .${\ displaystyle C_ {1}, \ ldots, C_ {n}}$${\ Displaystyle I \ subseteq \ {1, \ ldots, п \}}$${\ Displaystyle я}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {я \ в I} C_ {я}}$

Лемма ККМ говорит, что в каждом покрытии ККМ общее пересечение всех n множеств непусто , т.е.:

Когда , лемма ККМ рассматривает симплекс , который является треугольником, вершины которого могут быть помечены 1, 2 и 3. Нам даны три замкнутых множества , таких что:${\ Displaystyle п = 3}$${\ Displaystyle \ Дельта _ {2}}$${\ Displaystyle С_ {1}, С_ {2}, С_ {3}}$

Пример покрытия, удовлетворяющего требованиям леммы ККМ

Иллюстрация обобщенной леммы ККМ Бапата.