k -ноид

Триноид

7-ноид

В дифференциальной геометрии , A к -noid является минимальной поверхностью с к катеноиду отверстий. В частности, 3-ноид часто называют триноидом. Первые k -ноидальные минимальные поверхности были описаны Хорхе и Миксом в 1983 г. ^[1]

Термин k -ноид и триноид также иногда используется для обозначения поверхностей постоянной средней кривизны , особенно разветвленных версий ундулоида («триундулоиды»). ^[2]

k -ноиды топологически эквивалентны k- проколотым сферам (сферам с удаленными k точками). k -ноиды с симметричными отверстиями могут быть сгенерированы с использованием параметризации Вейерштрасса – Эннепера . ^[3] Это дает явную формулу $f(z)=1/(z^{k}-1)^{2},g(z)=z^{k-1}\,\!$

{\begin{aligned}X(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {-1}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}-(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k+z^{2}-1{\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}Y(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {i}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}+(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k-z^{2}-1){\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}

Z(z)=\Re \left\{{\frac {1}{k-kz^{k}}}\right\}

где - гипергеометрическая функция Гаусса, а обозначает действительную часть . $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ $\Re \{z\}$ $z$

Также возможно создавать k-ноиды с отверстиями в разных направлениях и размерах, ^[4] k-ноиды, соответствующие платоновым телам, и k-ноиды с ручками. ^[5]

Ссылки [ править ]

^ LP Хорхе и WH Микс III, Топология полных минимальных поверхностей конечной полной гауссовой кривизны, Топология 22 (1983)
Перейти ↑ N Schmitt (2007). « N -ноиды постоянной средней кривизны с платоновыми симметриями». arXiv : math / 0702469 .
^ Маттиас Вебер (2001). «Классические минимальные поверхности в евклидовом пространстве на примерах» (PDF) . Indiana.edu . Проверено 5 октября 2012 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Х. Керхер. «Построение минимальных поверхностей, в« Обзоре по геометрии », Токийский университет, 1989 г., и конспектах лекций № 12, SFB 256, Бонн, 1989 г., стр. 1-96» (PDF) . Math.uni-bonn-de . Проверено 5 октября 2012 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Йорген Берглунд, Уэйн Россман (1995). «Минимальные поверхности с катеноидными концами». Pacific J. Math . 171 (2): 353–371. arXiv : 0804.4203 . Bibcode : 2008arXiv0804.4203B . DOI : 10,2140 / pjm.1995.171.353 .

Внешние ссылки [ править ]

Indiana.edu
Page.mi.fu-berlin.de

[1] LP Хорхе и WH Микс III, Топология полных минимальных поверхностей конечной полной гауссовой кривизны, Топология 22 (1983)

[2] Перейти ↑ N Schmitt (2007). « N -ноиды постоянной средней кривизны с платоновыми симметриями». arXiv : math / 0702469 .

[3] Маттиас Вебер (2001). «Классические минимальные поверхности в евклидовом пространстве на примерах» (PDF) . Indiana.edu . Проверено 5 октября 2012 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[4] Х. Керхер. «Построение минимальных поверхностей, в« Обзоре по геометрии », Токийский университет, 1989 г., и конспектах лекций № 12, SFB 256, Бонн, 1989 г., стр. 1-96» (PDF) . Math.uni-bonn-de . Проверено 5 октября 2012 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[5] Йорген Берглунд, Уэйн Россман (1995). «Минимальные поверхности с катеноидными концами». Pacific J. Math . 171 (2): 353–371. arXiv : 0804.4203 . Bibcode : 2008arXiv0804.4203B . DOI : 10,2140 / pjm.1995.171.353 .

[1]