В теории алгебр фон Неймана , в теореме плотности Капланского , в связи с Ирвингом Капланским , является теорема фундаментальной аппроксимации. Важность и повсеместность этого технического инструмента заставила Герта Педерсена прокомментировать в одной из своих книг [1], что:
- Теорема плотности - великий дар Капланского человечеству. Его можно использовать каждый день и дважды по воскресеньям.
Официальное заявление
Пусть К - обозначат замыкание сильного оператора из множества K в B (H) , множество ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н , и пусть ( K ) 1 обозначит пересечение K с единичным шаром B (H) .
- Теорема Капланского о плотности . [2] Если является самосопряженной алгеброй операторов в , то каждый элемент в единичном шаре сильно-операторного замыкания находится в сильно-операторном замыкании единичного шара . Другими словами, . Если является самосопряженным оператором в , тогда находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в .
Теорема Капланского о плотности может быть использована для формулировки некоторых приближений относительно сильной операторной топологии .
1) Если h - положительный оператор в ( A - ) 1 , то h находится в сильно-операторном замыкании множества самосопряженных операторов в ( A + ) 1 , где A + обозначает множество положительных операторов в A .
2) Если является С * -алгеброй , действующие на гильбертовом пространстве H и U представляет собой унитарный оператор в А - , то у находится в замыкании сильного оператора множества унитарных операторов в А .
В теореме плотности и 1) выше результаты также верны, если вместо единичного шара рассматривать шар радиуса r > 0 .
Доказательство
Стандартное доказательство использует тот факт, что ограниченная непрерывная вещественнозначная функция f сильно операторно непрерывна. Другими словами, для чистой { в & alpha ; } из самосопряженных операторов в А , то непрерывный функционал исчислении а → F ( а ) удовлетворяет условию,
в сильной операторной топологии . Это показывает , что самосопряженном часть единичного шара в А - может быть сильно аппроксимируется самосопряжённых элементов в A . Матричное вычисление в M 2 ( A ) с учетом самосопряженного оператора с элементами 0 на диагонали и a и a * на других позициях, затем снимает ограничение самосопряженности и доказывает теорему.
Смотрите также
Заметки
- ^ Стр. 25; Педерсен, Г.К. , C * -алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, ISBN 978-0125494502 .
- ^ Теорема 5.3.5; Ричард Кадисон , Основы теории операторных алгебр, Vol. I: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 .
Рекомендации
- Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 .
- Алгебры VFR Джонса фон Неймана ; неполные заметки из курса.
- М. Такесаки Теория операторных алгебр IISBN 3-540-42248-X