Распорядок дня Капрекара
В теории чисел подпрограмма Капрекара представляет собой итерационный алгоритм, который на каждой итерации берет натуральное число в заданной системе счисления , создает два новых числа, сортируя цифры его числа в порядке убывания и возрастания, и вычитает второе из первого. чтобы получить натуральное число для следующей итерации. Он назван в честь его изобретателя, индийского математика Д. Р. Капрекара .
Капрекар показал, что в случае 4-значных чисел по основанию 10, если исходное число имеет по крайней мере две различные цифры, после 7 итераций этот процесс всегда дает число 6174 , которое теперь известно как константа Капрекара . [1]
Последовательность называется последовательностью Капрекара, а функция — отображением Капрекара . Некоторые числа отображаются сами на себя; это неподвижные точки отображения Капрекара [3] и называются константами Капрекара . Ноль является константой Капрекара для всех оснований и поэтому называется тривиальной константой Капрекара . Все остальные константы Капрекара являются нетривиальными константами Капрекара .
Все последовательности Капрекара либо достигают одной из этих фиксированных точек, либо приводят к повторяющемуся циклу. В любом случае конечный результат достигается за довольно небольшое количество шагов.
Обратите внимание, что числа и имеют одинаковую сумму цифр и, следовательно, один и тот же остаток по модулю . Следовательно, каждое число в последовательности базовых чисел Капрекара (кроме, возможно, первого) кратно .
В базе 4 легко показать, что все числа вида 3021, 310221, 31102221, 3...111...02...222...1 (где длина последовательности "1" и длина последовательности «2» одинакова) являются неподвижными точками отображения Капрекара.
