В математике произведение Хатри – Рао определяется как [1] [2]
в котором ij -й блок представляет собой произведение Кронекера размера m i p i × n j q j соответствующих блоков A и B , предполагая, что количество разбиений по строкам и столбцам обеих матриц одинаково. Размер продукта тогда (∑ i m i p i ) × (∑ j n j q j ) .
Например, если A и B оба являются матрицами с разделами 2 × 2, например:
мы получаем:
Это подматрица произведения Трейси – Сингха двух матриц (каждое разбиение в этом примере является разбиением в углу произведения Трейси – Сингха ), а также может называться блочным произведением Кронекера.
Построенное по столбцам произведение Кронекера двух матриц также можно назвать произведением Хатри – Рао. Этот продукт предполагает, что разделы матриц являются их столбцами. В этом случае m 1 = m , p 1 = p , n = q и для каждого j : n j = p j = 1 . Полученный продукт представляет собой т.пл. × п матрица которой каждый столбец представляет собой произведение Кронекера соответствующих столбцов A и B . Используя матрицы из предыдущих примеров с разделенными столбцами:
чтобы:
Эта колоночная версия произведения Хатри – Рао полезна в подходах линейной алгебры к аналитической обработке данных [3] и при оптимизации решения обратных задач, связанных с диагональной матрицей. [4] [5]
В 1996 году продукт Khatri – Rao по столбцам был предложен для оценки углов прихода (AOA) и задержек многолучевых сигналов [6] и четырех координат источников сигналов [7] на цифровой антенной решетке .
Продукт расщепления граней матриц
Альтернативная концепция матричного произведения, которая использует построчное разбиение матриц с заданным количеством строк, была предложена В. Слюсаром [8] в 1996 году. [7] [9] [10] [11] [12]
Эта матричная операция была названа «произведением расщепления граней» матриц [9] [11] или «транспонированным произведением Хатри – Рао». Этот тип операции основан на построчном произведении Кронекера двух матриц. Используя матрицы из предыдущих примеров с разделенными строками:
результат можно получить: [7] [9] [11]
- Транспонировать ( В. Слюсарь , 1996 [7] [9] [10] ):
- ,
- Билинейность и ассоциативность [7] [9] [10] :
где A , B и C - матрицы, а k - скаляр ,
- , [10]
где это вектор , - Свойство смешанного продукта ( В. Слюсарь , 1997 [10] ):
- ,
- ,
- [13]
- , [14]
где обозначает произведение Адамара , - , [10]
- , [7]
- , [14]
-
- , [11] [13]
По аналогии: - ,
-
- , [10]
- ,
где а также являются векторы , - , [15] ,
-
- , [16]
где а также являются векторами (это комбинация свойств 3 и 8). Аналогично:
-
- ,
где - векторная свертка иявляется матрицей преобразования Фурье (этот результат является развивающимся из графа эскиза свойств [17] ), -
- , [18]
где является матрица является матрица вектор длины единиц , а также вектор длины единиц или же - , [19]
где является матрица означает поэлементное умножение и вектор длины единиц . - ,
где обозначает проникающее лицевое произведение матриц. [11] Аналогично: - , где является матрица является матрица ,.
-
- , [10]
- , [19]
где - вектор, состоящий из диагональных элементов , означает складывать столбцы матрицы друг на друга, чтобы создать вектор. -
- . [11] [13]
По аналогии: - ,
где а также являются векторы
Примеры [16]
Теорема [16]
Если , где независимы, составляют матрицу с iid строками , так что
- а также ,
тогда для любого вектора
с вероятностью если количество строк
В частности, если записи находятся может получить
что соответствует лемме Джонсона – Линденштрауса из когда маленький.
Транспонированный продукт с разделением граней на блоки в контексте модели многолучевого радара
[13]Согласно определению В. Слюсаря [7] [11] блочное произведение граней двух разбитых матриц с заданным количеством строк в блоках
можно записать как:
Транспонированная блок лица расщепление продукт (или блок столбцов версия продукта Кхатри-Rao) из двух секционированных матриц с заданным количеством столбцов в блоках имеет вид: [7] [11]
Основные свойства
- Транспонировать :
- [13]
Произведения Face-splitting и Block Face-splitting используются в тензорно- матричной теории цифровых антенных решеток . Эти операции также используются в:
- Системы искусственного интеллекта и машинного обучения для минимизации операций свертки и тензорных эскизов , [16]
- Популярные модели обработки естественного языка и модели подобия гиперграфов [20]
- Обобщенная модель линейного массива в статистике [19]
- Двумерная и многомерная P-сплайн аппроксимация данных, [18]
- Изучение взаимодействия генотипа x с окружающей средой. [21]