бутылка Клейна

В топологии , разделе математики , бутылка Клейна ( / ˈkl aɪn / ) является примером неориентируемой поверхности ; это двумерное многообразие , относительно которого нельзя последовательно определить систему определения нормального вектора . Неформально это односторонняя поверхность, по которой, если пройти по ней, можно вернуться к исходной точке, перевернув путешественника вверх ногами. Другие связанные неориентируемые объекты включают ленту Мёбиуса и реальную проективную плоскость .. В то время как лента Мебиуса является поверхностью с краем , бутылка Клейна не имеет края. Для сравнения, сфера — это ориентируемая поверхность без границ.

Следующий квадрат является фундаментальным многоугольником бутылки Клейна. Идея состоит в том, чтобы «склеить» вместе соответствующие красные и синие ребра с совпадающими стрелками, как показано на диаграммах ниже. Обратите внимание, что это «абстрактная» склейка в том смысле, что попытка реализовать это в трех измерениях приводит к самопересекающейся бутылке Клейна. ^{[ нужна ссылка ]}

Чтобы построить бутылку Клейна, склейте вместе красные стрелки квадрата (левую и правую стороны), чтобы получился цилиндр. Чтобы склеить концы цилиндра вместе так, чтобы стрелки на кругах совпадали, нужно пропустить один конец через сторону цилиндра. Это создает круг самопересечения — это погружение бутылки Клейна в трех измерениях. ^{[ нужна ссылка ]}

Это погружение полезно для визуализации многих свойств бутылки Клейна. Например, бутылка Клейна не имеет границы там, где поверхность резко обрывается, и она неориентируема , что отражается в односторонности погружения.

Обычная физическая модель бутылки Клейна имеет аналогичную конструкцию. В Музее науки в Лондоне выставлена коллекция выдутых вручную стеклянных бутылок Кляйна, демонстрирующая множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датируются 1995 годом и были изготовлены для музея Аланом Беннеттом. ^[1]

Бутылка Клейна, собственно, не пересекается сама с собой. Тем не менее, есть способ визуализировать бутылку Кляйна как находящуюся в четырех измерениях. Добавляя четвертое измерение к трехмерному пространству, можно устранить самопересечение. Аккуратно вытолкните часть трубки, содержащую пересечение четвертого измерения, из исходного трехмерного пространства. Полезной аналогией является рассмотрение самопересекающейся кривой на плоскости; самопересечения можно устранить, приподняв одну нить над плоскостью. ^{[ нужна ссылка ]}