В математике полиномы Макдональда-Коорнвиндера (также называемые полиномами Коорнвиндера ) представляют собой семейство ортогональных полиномов от нескольких переменных, введенных Коорнвиндером ( 1992 ) и И. Г. Макдональдом (1987, важные частные случаи), которые обобщают полиномы Аски-Уилсона . Это полиномы Макдональда, присоединенные к неприведенной аффинной корневой системе типа ( C∨
п, C n ) и, в частности, удовлетворяют ( van Diejen 1996 , Sahi 1999 ) аналогам гипотез Макдональда ( Macdonald 2003 , глава 5.3). Вдобавок Ян Фелипе ван Дайен показал, что многочлены Макдональда, связанные с любой классической корневой системой, могут быть выражены как пределы или частные случаи многочленов Макдональда-Корнвиндера, и нашел полные наборы конкретных коммутирующих разностных операторов, диагонализированных ими ( van Diejen 1995 ). Кроме того, существует большой класс интересных семейств многомерных ортогональных многочленов, связанных с классическими корневыми системами, которые являются вырожденными случаями многочленов Макдональда-Курнвиндера ( van Diejen 1999 ). Многочлены Макдональда-Корнвиндера также изучались с помощью аффинных алгебр Гекке ( Noumi 1995 , Sahi 1999 , Macdonald 2003 ).
Многочлен Макдональда-Корнвиндера от n переменных, связанный с разбиением λ, является единственным полиномом Лорана, инвариантом относительно перестановки и обращения переменных, со старшим мономом x λ и ортогональным относительно плотности
на единичном торе
- ,
где параметры удовлетворяют ограничениям
а ( x ; q ) ∞ обозначает бесконечный символ q-Поххаммера . Здесь старший моном x λ означает, что μ≤λ для всех членов x μ с ненулевым коэффициентом, где μ≤λ тогда и только тогда, когда μ 1 ≤λ 1 , μ 1 + μ 2 ≤λ 1 + λ 2 ,…, μ 1 + … + Μ n ≤λ 1 +… + λ n . При дополнительных ограничениях, что q и t действительны и что a , b , c , d действительны или, если они сложны, встречаются в сопряженных парах, данная плотность положительна.
Некоторые конспекты лекций о многочленах Макдональда-Корнвиндера с точки зрения алгебры Гекке см., Например, в ( Stokman 2004 ).
Рекомендации
- ван Дайен, Ян Ф. (1995), Коммутирующие разностные операторы с полиномиальными собственными функциями , Compositio Mathematica , 95 , стр. 183–233, arXiv : funct-an / 9306002 , MR 1313873
- ван Дайен, Ян Ф. (1996), Самодуальные многочлены Корнвиндера-Макдональда , Инвент. Математика, 126 , с. 319–339, MR 1411136
- ван Дайен, Ян Ф. (1999), Свойства некоторых семейств гипергеометрических ортогональных многочленов от многих переменных , Тр. Амер. Математика. Soc., 351 , стр. 233–70, MR 1433128
- Коорнвиндер, Том Х. (1992), Многочлены Аски-Вильсона для корневых систем типа BC , Contemp. Матем., 138 , стр. 189–204, MR 1199128
- Макдональд, И. Г. (2003), аффинные алгебры Гекка и ортогональные полиномы , Кембридж урочище по математике, 157 , Кембридж. Cambridge University Press, стр х + 175, DOI : 10,2277 / 0521824729 , ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581
- Нуми, М. (1995), "Многочлены Макдональда-Куорнвиндера и аффинные кольца Гекке", Различные аспекты гипергеометрических функций , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (на японском языке), 919 , стр. 44–55, MR 1388325
- Сахи, С. (1999), Несимметричные многочлены Коорнвиндера и двойственность , Ann. of Math. (2), 150 , pp. 267–282, MR 1715325.
- Стокман, Джаспер В. (2004), "Конспекты лекций по многочленам Коорнвиндера", Лекции Ларедо по ортогональным многочленам и специальным функциям , Adv. Теория Спец. Функц. Ортогональные многочлены, Hauppauge, NY: Nova Sci. Publ., Pp. 145–207, MR 2085855.