Многочлены Макдональда

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Апрель 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике многочлены Макдональда P _λ ( x ; t , q ) представляют собой семейство ортогональных симметричных многочленов от нескольких переменных, введенных Макдональдом в 1987 году. Позже он ввел несимметричное обобщение в 1995 году. Макдональд первоначально связывал свои многочлены с весами λ конечных корневых систем и использовал только одну переменную t , но позже понял, что более естественно связать их с аффинными корневыми системами, а не с конечными системами корней, и в этом случае переменная t может быть заменена несколькими различными переменными t = ( t₁ , ..., t _k ), по одной для каждой из k орбит корней аффинной корневой системы. Многочлены Макдональда - это многочлены от n переменных x = ( x ₁ , ..., x _n ), где n - ранг аффинной корневой системы. Они обобщают многие другие семейства ортогональных многочленов, таких как полиномы Джек и полиномами Холла-Литтлвуда и полиномов Аски-Вильсона , которые , в свою очередь , включают в себя большинство из названных 1-переменных ортогональных многочленов в качестве частных случаев. Полиномы Коорнвиндераявляются многочленами Макдональда некоторых неприведенных систем корней. Они имеют глубокую связь с аффинными алгебрами Гекке и схемами Гильберта , которые использовались для доказательства нескольких гипотез, сделанных Макдональдом о них.

Определение [ править ]

Сначала исправим некоторые обозначения:

• R является конечной корневой системой в реальном векторном пространстве V .
• R ⁺ - это выбор положительных корней , которым соответствует положительная камера Вейля .
• W представляет собой группу Вейль из R .
• Q - решетка корней R (решетка, натянутая на корни).
• Р представляет собой вес решетки из R (содержащий Q ).
• Заказ на весах : тогда и только тогда , когда есть неотрицательная линейная комбинация простых корней .${\ displaystyle \ mu \ leq \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda - \ mu}$
• P ⁺ - это набор доминирующих весов: элементы P в положительной камере Вейля.
• ρ - вектор Вейля : половина суммы положительных корней; это особый элемент P ⁺ внутри положительной камеры Вейля.
• F - поле характеристики 0, обычно рациональных чисел.
• = Р ( Р ) является групповая алгебра из Р , с основой из элементов , написанных е ^А , для λ ∈ P .
• Если f = e ^λ , то f означает e ^−λ , и это распространяется по линейности на всю групповую алгебру.
• m _μ = Σ _{λ ∈ W μ} e ^λ - сумма орбит; эти элементы образуют базис подалгебры ^W элементов , установленных W .
• ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})}$, бесконечный символ q-Поххаммера .
• ${\displaystyle \Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.}$
• ${\displaystyle \langle f,g\rangle =({\text{constant term of }}f{\overline {g}}\Delta )/|W|}$является скалярным произведением двух элементов A , по крайней мере, когда t является положительной целой степенью q .

Эти многочлены Macdonald Р _А , для λ ∈ P ⁺ однозначно определяются следующими двумя условиями:

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }}$где u _λμ - рациональная функция от q и t с u _λλ = 1;

P _λ и P _μ ортогональны, если λ <μ.

Другими словами, многочлены Macdonald получаются ортогонализации очевидное основание для A ^W . Существование полиномов с этими свойствами легко показать (для любого внутреннего произведения). Ключевым свойством многочленов Макдональда является их ортогональность : 〈P _λ , P _μ〉 = 0, если λ ≠ μ. Это нетривиальное следствие определения, поскольку P ⁺не полностью упорядочен, и поэтому имеет множество несравнимых элементов. Таким образом, необходимо проверить, что соответствующие многочлены по-прежнему ортогональны. Ортогональность может быть доказана, если показать, что многочлены Макдональда являются собственными векторами для алгебры коммутирующих самосопряженных операторов с одномерными собственными подпространствами, и используя тот факт, что собственные подпространства для различных собственных значений должны быть ортогональными.

В случае систем корней с непростой связью (B, C, F, G) параметр t может быть выбран таким образом, чтобы он изменялся в зависимости от длины корня, давая трехпараметрическое семейство многочленов Макдональда. Можно также расширить определение до нередуцированной корневой системы BC, и в этом случае можно получить семейство с шестью параметрами (по одному t для каждой орбиты корней плюс q ), известное как полиномы Коорнвиндера . Иногда лучше рассматривать полиномы Макдональда как зависящие от, возможно, нередуцированной аффинной корневой системы. В этом случае есть один параметр t, связанный с каждой орбитой корней в аффинной корневой системе, плюс один параметр q . Количество орбит корней может варьироваться от 1 до 5.

Примеры [ править ]

• Если д = т многочлены Macdonald становятся символами вейлевскими из представлений компактной группы корневой системы, или функций Шуры в случае корневых систем типа А .
• Если д = 0 Macdonald полиномы стали (пересчитано) зональными сферическими функциями для полупростой р -адической группы, или многочлены Холла-Литтлвуд , когда корневая система имеет тип A .
• Если т = 1 многочлены Макдональда становятся суммы по W орбит, которые являются мономиальными симметрическими функциями , когда корневая система имеет тип A .
• Если мы положим t = q ^α и пусть q стремится к 1, многочлены Макдональда станут многочленами Джека, когда корневая система имеет тип A , и многочленами Хекмана – Опдама для более общих корневых систем.
• Для аффинной корневой системы A ₁ многочлены Макдональда являются многочленами Роджерса .
• Для неприведенной аффинной корневой системы ранга 1 типа ( C^∨
  ₁, C ₁ ), многочлены Макдональда являются многочленами Аски – Вильсона , которые, в свою очередь, включают в качестве частных случаев большинство названных семейств ортогональных многочленов от 1 переменной.
• Для неприведенной аффинной корневой системы типа ( C^∨
  _п, C _n ), многочлены Макдональда являются многочленами Коорнвиндера .

Гипотеза о постоянном члене Макдональда [ править ]

Если t = q ^k для некоторого натурального числа k , то норма многочленов Макдональда задается формулой

${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.}$

Это было высказано Макдональдом (1982) как обобщение гипотезы Дайсона и доказано для всех (редуцированных) корневых систем Чередником (1995) с использованием свойств двойных аффинных алгебр Гекке . Гипотеза была ранее доказана в каждом конкретном случае для всех систем корней, кроме систем типа E _n , несколькими авторами.

Существуют две другие гипотезы, которые вместе с гипотезой о норме в совокупности называются гипотезами Макдональда в этом контексте: в дополнение к формуле для нормы Макдональд предположил формулу для значения P _λ в точке t ^ρ и симметрия

${\displaystyle {\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.}$

Опять же, они были доказаны для общих редуцированных систем корней Чередником  ( 1995 ) с использованием двойных аффинных алгебр Гекке , с последующим расширением на случай BC вскоре после этого с помощью работы ван Дейена, Нуми и Сахи.

Гипотеза Макдональда о положительности [ править ]

В случае систем корней типа A _{n −1} многочлены Макдональда - это просто симметричные многочлены от n переменных с коэффициентами, которые являются рациональными функциями от q и t . Определенная преобразованная версия многочленов Макдональда (см. Комбинаторную формулу ниже) образует ортогональный базис пространства симметрических функций над , и поэтому может быть выражена через функции Шура . Коэффициенты K _λμ ( q , t ) этих соотношений называются коэффициентами Костки – Макдональда или qt${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q,t)}$ ${\displaystyle s_{\lambda }}$-Коэффициенты Костки. Макдональд предположил, что коэффициенты Костки – Макдональда являются полиномами от q и t с неотрицательными целыми коэффициентами. Теперь эти предположения доказаны; самым сложным и последним шагом было доказательство положительности, что было сделано Марком Хайманом (2001), доказав n ! предположение .

Поиск комбинаторной формулы для коэффициентов qt -Костки по- прежнему является центральной открытой проблемой алгебраической комбинаторики .

п! предположение [ править ]

П ! Гипотеза о Адриано Гарсия и Марк Хайман утверждает , что для каждого разбиения ц из п пространства

${\displaystyle D_{\mu }=C[\partial x,\partial y]\,\Delta _{\mu }}$

охватывает все высшие частные производные от

${\displaystyle \Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}}$

имеет размерность n !, где ( p _j , q _j ) пробегают n элементов диаграммы разбиения μ, рассматриваемого как подмножество пар неотрицательных целых чисел. Например, если μ - это разбиение 3 = 2 + 1 из n  = 3, то пары ( p _j , q _j ) - это (0, 0), (0, 1), (1, 0), а пространство D _μ натянута на

${\displaystyle \Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle y_{2}-y_{3}}$

${\displaystyle y_{3}-y_{1}}$

${\displaystyle x_{3}-x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle 1}$

который имеет размерность 6 = 3 !.

Доказательство Хаймана гипотезы Макдональда о положительности и n ! Гипотеза заключалась в том, чтобы показать, что изоспектральная схема Гильберта из n точек на плоскости была Коэном – Маколеем (и даже Горенштейном ). Более ранние результаты Haiman и Garsia уже показали, что это подразумевает n ! предположение, и что n ! Из гипотезы следует, что коэффициенты Костки – Макдональда являются градуированными кратностями характеров для модулей D _μ . Отсюда сразу следует гипотеза Макдональда о положительности, потому что кратности символов должны быть неотрицательными целыми числами.

Ян Гройновски и Марк Хайман нашли другое доказательство гипотезы Макдональда о положительности, доказав гипотезу о положительности для полиномов LLT .

Комбинаторная формула для многочленов Макдональда [ править ]

В 2005 г. Дж. Хаглунд, М. Хайман и Н. Лоер ^[1] дали первое доказательство комбинаторной интерпретации многочленов Макдональда. Хотя эта комбинаторная формула очень полезна для вычислений и интересна сама по себе, она не сразу подразумевает положительность коэффициентов Костки-Макдональда, поскольку она дает разложение многочленов Макдональда на мономиальные симметричные функции, а не на функции Шура.${\displaystyle K_{\lambda \mu }(q,t),}$

Формула, в которой используются преобразованные многочлены Макдональда, а не обычные , имеет вид${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }}$

где σ - заполнение диаграммы Юнга формы μ, inv и maj - некоторые комбинаторные статистики (функции), определенные на заполнении σ. Эта формула выражает многочлены Макдональда от бесконечного числа переменных. Чтобы получить полиномы от n переменных, просто ограничьте формулу заполнениями, которые используют только целые числа 1, 2, ..., n . Термин x ^σ следует интерпретировать как где σ _i - количество ящиков в заполнении μ содержимым i .${\displaystyle x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots }$

Преобразованные многочлены Макдональда в приведенной выше формуле связаны с классическими многочленами Макдональда через последовательность преобразований. Во-первых, обозначенная интегральная форма многочленов Макдональда представляет собой повторное масштабирование , очищающее знаменатели коэффициентов:${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)}$${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,t)}$

${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)}$

где - набор квадратов на диаграмме Юнга , а и обозначают плечо и ножку квадрата , как показано на рисунке. Примечание. На рисунке справа используется французская нотация для таблицы, которая перевернута по вертикали по сравнению с английской нотацией, используемой на странице Википедии для диаграмм Юнга. Французские обозначения чаще используются при изучении многочленов Макдональда.${\displaystyle D(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle a(s)}$${\displaystyle l(s)}$${\displaystyle s}$

Преобразованные полиномы Макдональда затем могут быть определены в терминах . У нас есть${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$${\displaystyle J_{\mu }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]}$

где

${\displaystyle n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).}$

Приведенные выше скобки обозначают плетистическое замещение .

Эта формула может быть использована для доказательства формулы Кнопа и Сахи для многочленов Джека .

Несимметричные многочлены Макдональда [ править ]

В 1995 году Макдональд представил несимметричный аналог симметричных многочленов Макдональда, и симметричные многочлены Макдональда могут быть легко восстановлены из несимметричного аналога. В своем первоначальном определении он показывает, что несимметричные многочлены Макдональда - это уникальное семейство многочленов, ортогональных определенному внутреннему произведению, а также удовлетворяющее свойству треугольности при расширении в мономиальном базисе.

В 2007 году Хаглунд, Хайман и Лоер дали комбинаторную формулу для несимметричных многочленов Макдональда.

Несимметричные многочлены Макдональда специализируются на персонажах Демазюра, взяв q = t = 0, и на ключевые многочлены, когда q = t = ∞.

Комбинаторные формулы, основанные на процессе исключения [ править ]

В 2018 году С. Кортил , О. Мандельштам и Л. Уильямс использовали процесс исключения, чтобы дать прямую комбинаторную характеристику как симметричных, так и несимметричных многочленов Макдональда. ^[2] Их результаты отличаются от более ранних работ Хаглунда отчасти потому, что они дают формулу непосредственно для многочленов Макдональда, а не ее преобразование. Они развивают концепцию многострочной очереди, которая представляет собой матрицу, содержащую шары или пустые ячейки вместе с отображением между шарами и их соседями и комбинаторным механизмом разметки. Несимметричный многочлен Макдональда тогда удовлетворяет:

${\displaystyle E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

где сумма вычисляется по всем многострочным очередям определенного типа и является весовой функцией, сопоставляющей эти очереди с определенными многочленами. Симметричный многочлен Макдональда удовлетворяет:${\displaystyle L\times n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {wt} }$

${\displaystyle P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

где внешняя сумма берется по всем различным композициям, которые являются перестановками , а внутренняя сумма такая же, как и раньше.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Чередник, Иван (1995), "Double аффинной Hecke Алгебра и Гипотезы Макдональда", Анналы математики , вторая серия, Annals математики, 141 (1): 191-216, DOI : 10,2307 / 2118632 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118632
• Гарсия, Адриано; Remmel, Джеффри Б. (15 марта 2005), " Прорывы в теории многочленов Макдональда ", PNAS , 102 (11): 3891-3894, Bibcode : 2005PNAS..102.3891G , DOI : 10.1073 / pnas.0409705102 , PMC  554818 , PMID  15753285
• Марк Хайман Комбинаторика, симметрические функции и схемы Гильберта Современные достижения в математике 2002, вып. 1 (2002), 39–111.
• Хайман, Марк Заметки о многочленах Макдональда и геометрии схем Гильберта. Симметричные функции 2001: обзоры событий и перспектив, 1–64, NATO Sci. Сер. II Математика. Phys. Chem., 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2002. MR 2059359.
• Хайман, Марк (2001), " Схемы Гильберта, полиграфы и гипотеза положительности Макдональда ", J. Amer. Математика. Soc. , 14 (4): 941–1006, arXiv : math.AG/0010246 , doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00373-3 , S2CID  9253880
• Кириллов, А.А. (1997), "Лекции по аффинным алгебрам Гекке и гипотезы Макдональда" , Бюлл. Амер. Математика. Soc. , 34 (3): 251-292, DOI : 10,1090 / S0273-0979-97-00727-1
• Макдональд, И. Г. (1982), "Некоторые гипотезы для корневых систем", SIAM Журнал по математическому анализу , 13 (6): 988-1007, DOI : 10,1137 / 0513070 , ISSN  0036-1410 , МР  0674768
• Макдональд, И. Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр. ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144 
• Макдональд, И. Г. Симметричные функции и ортогональные многочлены. Лекции декана Жаклин Б. Льюис в память о Рутгерском университете, Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси. Серия лекций в университете, 12. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1998. xvi + 53 стр. ISBN 0-8218-0770-6 MR 1488699 
• Макдональд, И. Г. Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены. Séminaire Bourbaki 797 (1995).
• Макдональд, И.Г. (2000–2001), «Ортогональные многочлены, связанные с корневыми системами», Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 45 : Art. B45a, arXiv : math.QA/0011046 , MR  1817334
• Макдональд, И. Г. (2003), аффинные алгебры Гекка и ортогональные полиномы , Кембридж урочище по математике, 157 , Кембридж. Cambridge University Press, стр х + 175, DOI : 10,2277 / 0521824729 , ISBN 978-0-521-82472-9, MR  1976581

Внешние ссылки [ править ]

• Страница Майка Заброцкого о многочленах Макдональда .
• Некоторые статьи Хаймана о многочленах Макдональда.