Функция Джек
из целого числа разделов , параметры и аргументы могут быть рекурсивны определена следующим образом :
Для m = 1
Для m > 1
где суммирование ведется по всем разбиениям, таким, что косое разбиение представляет собой горизонтальную полосу , а именно
( должно быть равно нулю или иначе ) и
где равно, если и в противном случае. Выражения и относятся к сопряженным разбиениям и соответственно. Обозначение означает, что произведение берется по всем координатам прямоугольников на диаграмме Юнга разбиения .
Комбинаторная формула
В 1997 году Ф. Кноп и С. Сахи [1] дал чисто комбинаторную формулу для полиномов Джека в п переменных:
Сумма берется по всем допустимым таблицам формы и формы.
с участием
Допустимая таблица формы является заполнение диаграммы Юнга с номерами 1,2, ..., п такое , что для любой коробки ( я , J ) в таблицы,
в любое время
когда и
Коробка является критической для таблицы Т , если и
Этот результат можно рассматривать как частный случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда .
C нормализация
Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметричных многочленов со скалярным произведением:
Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Определенная выше нормализация обычно называется J- нормализацией. С нормализацией определяются как
где и обозначают длину руки и ноги соответственно. Следовательно, для - обычная функция Шура.
Подобно полиномам Шура, может быть выражено как сумма по таблицам Юнга. Однако к каждой таблице необходимо добавить дополнительный вес, зависящий от параметра .
Таким образом, формула [2] для функции Джека имеет вид
где сумма берется по всем из таблиц формы , а также обозначает запись в коробке с из T .
Вес можно определить следующим образом: каждую таблицу формы T можно интерпретировать как последовательность разделов.
где определяет перекос формы с содержанием I в T . потом
куда
и произведение берется только по всем ячейкам s в так , что s имеет ячейку из той же строки, но не в том же столбце.
Связь с многочленом Шура
Когда функция Джека является скалярным кратным многочлена Шура
куда
это произведение всех длин крючков .
Характеристики
Если в разделе больше частей, чем количество переменных, то функция Джека равна 0:
Матричный аргумент
В некоторых текстах, особенно по теории случайных матриц, авторы сочли более удобным использовать матричный аргумент в функции Джека. Подключение простое. Если - матрица с собственными значениями , то
Джек, Генри (1970–1971), «Класс симметричных многочленов с параметром», Труды Королевского общества Эдинбурга , Раздел A. Математика, 69 : 1–18, MR 0289462.
Кноп, Фридрих; Сахи, Сиддхартха (19 марта 1997 г.), «Рекурсия и комбинаторная формула для многочленов Джека», Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9–22, arXiv : q-alg / 9610016 , Bibcode : 1997InMat.128 .... 9K , DOI : 10.1007 / s002220050134
Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла , Оксфордские математические монографии (2-е изд.), Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, Руководство по ремонту 1354144
Стэнли, Ричард П. (1989), "Некоторые комбинаторные свойства симметричных функций Jack", Успехи математических наук , 77 (1): 76-115, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (89) 90015-7 , MR 1014073.
внешние ссылки
Программное обеспечение для вычисления функции Джека Пламена Коева и Алана Эдельмана.