Вес (теория представлений)
В математической области теории представлений вес алгебры A над полем F является гомоморфизмом алгебры от A до F или , что то же самое, одномерным представлением A над F . Это алгебраический аналог мультипликативного характера группы . Однако важность этого понятия проистекает из его применения к представлениям алгебр Ли и, следовательно, также к представлениям алгебраические и группы Ли . В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения , а соответствующее собственное пространство называется весовым пространством .
Дан набор S матриц над одним и тем же полем, каждая из которых диагонализируема , и любые две из которых коммутируют , всегда возможно одновременно диагонализовать все элементы S. [примечание 1] Эквивалентно, для любого множества S взаимно коммутирующих полупростых линейных преобразований конечномерного векторного пространства V существует базис V , состоящий из одновременные собственные векторы всех элементов S . Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U в End( V ), порожденный множеством эндоморфизмов S ; этот функционал определяется как отображение, которое ставит в соответствие каждому элементу U его собственное значение на собственном векторе v . Эта карта также является мультипликативной и отправляет идентификатор в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебр из U в базовое поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.
Понятие тесно связано с идеей мультипликативного характера в теории групп , который представляет собой гомоморфизм х из группы G в мультипликативную группу поля F. Таким образом , χ : G → F × удовлетворяет χ ( e ) = 1 (где e — единичный элемент G ) и
В самом деле, если G действует на векторном пространстве V над F , каждое одновременное собственное пространство для каждого элемента G , если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G : собственное значение на этом общем собственном пространстве каждого элемента группы.
Понятие мультипликативного характера можно распространить на любую алгебру A над F , заменив χ : G → F × линейным отображением χ : A → F с:
для всех a , b в A . Если алгебра A действует на векторном пространстве V над F на любое одновременное собственное пространство, это соответствует гомоморфизму алгебр из A в F , сопоставляющему каждому элементу A его собственное значение.
