Скаляр Кречмана

В теории лоренцевых многообразий , особенно в контексте приложений к общей теории относительности , скаляр Кречмана является квадратичным скалярным инвариантом . Его представил Эрих Кречманн . ^[1]

Определение [ править ]

Инвариант Кречмана равен ^{[1] [2]}

${\ Displaystyle К = R_ {abcd} \, R ^ {abcd}}$

где - тензор кривизны Римана (в этом уравнении использовалось правило суммирования Эйнштейна , и оно будет использоваться на протяжении всей статьи). Поскольку это сумма квадратов компонент тензора, это квадратичный инвариант.${\ displaystyle R_ {abcd}}$

Для использования системы компьютерной алгебры имеет смысл написать более подробное описание:

${\ Displaystyle К = R_ {abcd} \, R ^ {abcd} = \ sum _ {a = 0} ^ {3} \ sum _ {b = 0} ^ {3} \ sum _ {c = 0} ^ {3} \ sum _ {d = 0} ^ {3} R_ {abcd} \, R ^ {abcd} {\ text {with}} R ^ {abcd} = \ sum _ {i = 0} ^ {3 } g ^ {ai} \, \ sum _ {j = 0} ^ {3} g ^ {bj} \, \ sum _ {k = 0} ^ {3} g ^ {ck} \, \ sum _ { \ ell = 0} ^ {3} g ^ {d \ ell} \, R_ {ijk \ ell}. \,}$

Примеры [ править ]

Для Шварцшильда черной дыры массы , скалярное Кречманна является ^[1]${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle K = {\ frac {48G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4} r ^ {6}}} \ ,.}$

где - гравитационная постоянная.${\ displaystyle G}$

Для общего пространства-времени FRW с метрикой

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

скаляр Кречмана

${\displaystyle K={\frac {12\left(a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right)}{a(t)^{4}}}.}$

Связь с другими инвариантами [ править ]

Другой возможный инвариант (который использовался, например, при написании гравитационного члена лагранжиана для некоторых теорий гравитации более высокого порядка ):

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

где - тензор Вейля, тензор конформной кривизны, который также является полностью бесследной частью тензора Римана. В размерностях это связано с инвариантом Кречмана ^[3]${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

где - тензор кривизны Риччи, а - скалярная кривизна Риччи (полученная путем взятия последовательных следов тензора Римана). Тензор Риччи обращается в нуль в пространстве-времени вакуума (например, в решении Шварцшильда, упомянутом выше), и, следовательно, там тензор Римана и тензор Вейля совпадают, как и их инварианты.${\displaystyle R^{ab}}$${\displaystyle R}$

Скаляр Кречмана и скаляр Черна-Понтрягина

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

где - левый двойственный к тензору Римана, математически аналогичны (до некоторой степени физически аналогичны) знакомым инвариантам тензора электромагнитного поля${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}}$

См. Также [ править ]

• Инварианты Карминати-Макленагана для набора инвариантов.
• Классификация электромагнитных полей , подробнее об инвариантах тензора электромагнитного поля.
• Инвариант кривизны для инвариантов кривизны в римановой и псевдоримановой геометрии в целом.
• Инвариант кривизны (общая теория относительности) .
• Разложение Риччи, чтобы узнать больше о тензоре Римана и Вейля.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Грён, Эйвинд ; Hervik, Sigbjørn (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• BF Schutz (2009), Первый курс общей теории относительности (второе издание) , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. S .; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0