Разложение Риччи

В математических областях риманового и псевдо-римановая геометрия , то Риччи разложение представляет собой способ ломки тензора кривизны Римана в виде риманового или псевдориманова многообразия на куски с особыми алгебраическими свойствами. Это разложение имеет фундаментальное значение в римановой и псевдоримановой геометрии.

Определение разложения [ править ]

Пусть ( M , g ) риманово или псевдориманово n -многообразие. Рассмотрим его риманову кривизну как (0,4) -тензорное поле. Эта статья будет следовать соглашению о знаках

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p}+\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

написано многолинейно, это соглашение

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

При таком соглашении тензор Риччи является (0,2) -тензорным полем, определяемым формулой R _jk = g ^il R _ijkl, а скалярная кривизна определяется формулой R = g ^jk R _jk . Определите бесследный тензор Риччи

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk},}$

а затем определим три (0,4) -тензорных поля S , E и W как

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n(n-1)}}{\big (}g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}{\big )}\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{ik}-Z_{ik}g_{jl}+Z_{jk}g_{il}{\big )}\\W_{ijkl}&=R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{aligned}}}$

«Разложение Риччи» - это утверждение

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}.}$

Как уже говорилось, это праздный , так как это просто реорганизация определения W . Важность разложения в свойствах трех новых тензоров S , E и W .

Терминологическое примечание. Тензор W называется тензором Вейля . Обозначение W является стандартным в математической литературе, тогда как C более распространено в литературе по физике. Обозначение R является стандартным для обоих, в то время как стандартизированного обозначения для S , Z и E нет .

Основные свойства [ править ]

Свойства фигур [ править ]

Каждый из тензоров S , E и W имеет ту же алгебраическую симметрию, что и тензор Римана. Это:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&=-S_{jikl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jikl}=-E_{ijlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}\end{aligned}}}$

вместе с

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{aligned}}}$

Тензор Вейля обладает дополнительной симметрией, заключающейся в том, что он полностью бесследный:

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

Герман Вейль показал, что W обладает замечательным свойством измерения отклонения риманова или псевдориманова многообразия от локальной конформной плоскостности ; если он равен нулю, то M можно покрыть картами, относительно которых g имеет вид g _ij = e ^f δ _ij для некоторой функции f, определенной картой за картой.

Свойства разложения [ править ]

Можно проверить, что разложение Риччи ортогонально в том смысле, что

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

напоминая об общем определении. Отсюда вытекает , что можно доказать напрямую, что${\displaystyle T^{ijkl}=g^{ip}g^{jq}g^{kr}g^{ls}T_{pqrs}.}$

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}W^{ijkl}.}$

Терминологическое примечание. Было бы чисто символически представить эту ортогональность как высказывание

${\displaystyle \langle S,E\rangle _{g}=\langle S,W\rangle _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

вместе с

${\displaystyle |\operatorname {Rm} |_{g}^{2}=|S|_{g}^{2}+|E|_{g}^{2}+|W|_{g}^{2}.}$

Однако существует неизбежная двусмысленность с такой нотацией в зависимости от того, рассматриваются ли они как полилинейные карты или как линейные карты, и в этом случае соответствующие нормы и внутренние продукты будут различаться на постоянный коэффициент. Хотя это не приведет к каким-либо противоречиям в приведенных выше уравнениях, поскольку все термины будут изменены одним и тем же фактором, это может привести к путанице в более сложных контекстах. По этой причине индексные обозначения часто легче понять.${\displaystyle \operatorname {Rm} ,S,E,W}$${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \wedge ^{2}T_{p}M\to \wedge ^{2}T_{p}M,}$

Связанные формулы [ править ]

Можно вычислить «формулы нормы»

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}{n(n-1)}}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{\frac {4R^{2}}{n(n-2)}}\\W_{ijkl}W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac {2R^{2}}{(n-1)(n-2)}}\end{aligned}}}$

и "формулы следа"

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{aligned}}}$

Математическое объяснение разложения [ править ]

Математически разложение Риччи - это разложение пространства всех тензоров, обладающих симметрией тензора Римана, на его неприводимые представления для действия ортогональной группы ( Besse 1987 , глава 1, §G). Пусть V - n -мерное векторное пространство , снабженное метрическим тензором (возможно, смешанной сигнатуры). Здесь V моделируется на кокасательном пространстве в точке, так что тензор кривизны R (со всеми пониженными индексами) является элементом тензорного произведения V ⊗ V ⊗В ⊗ V . Тензор кривизны кососимметричен в своих первых и последних двух элементах:

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

и подчиняется симметрии взаимообмена

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),\,}$

для всех x , y , z , w  ∈  V ^∗ . В результате, Р является элементом подпространства , второй симметричной мощности второй внешней степени от V . Тензор кривизны также должен удовлетворять тождеству Бианки, что означает, что он находится в ядре линейного отображения, заданного формулой${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$${\displaystyle b:S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w).\,}$

Пространство R V  = ker b в S ² Λ ² V является пространством алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи - это разложение этого пространства на неприводимые множители. Отображение сжатия Риччи

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

дан кем-то

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

Это связывает симметричную 2-форму с алгебраическим тензором кривизны. И наоборот, учитывая пару симметричных 2-форм ч и к , то продукт Кулкарни-Номидзу из ч и к

${\displaystyle (h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k)(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

дает тензор алгебраической кривизны.

Если n > 4, то существует ортогональное разложение на (единственные) неприводимые подпространства

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V

где

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g}$, где - пространство вещественных скаляров${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}S_{0}^{2}V}$, где S²
₀V - пространство бесследовых симметрических 2-форм

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

Части S , E и C разложения Риччи данного тензора Римана R являются ортогональными проекциями R на эти инвариантные множители. В частности,

${\displaystyle R=S+E+C}$

является ортогональным разложением в том смысле, что

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

Это разложение выражает пространство тензоров с симметриями Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля соответственно. Каждый из этих модулей является неприводимым представлением для ортогональной группы ( Singer & Thorpe 1968 ) , и , таким образом , Риччи разложением является частным случаем расщепления модуля для полупростой группы Ли в ее неприводимые множители. В размерности 4 модуль Вейля далее разлагается на пару неприводимых факторов для специальной ортогональной группы : самодвойственные и антисамодуальные части W ⁺ и W ^- harv error: no target: CITEREFSingerThorpe1968 (help).

Физическая интерпретация [ править ]

Разложение Риччи может быть интерпретировано физически в общей теории относительности Эйнштейна , где его иногда называют разложением Женяу-Дебевера . В этой теории уравнение поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

где - тензор энергии-импульса, описывающий количество и движение всей материи, а также всю энергию и импульс негравитационного поля, утверждает, что тензор Риччи - или, что эквивалентно, тензор Эйнштейна - представляет ту часть гравитационного поля, которая возникает из-за непосредственного присутствия негравитационной энергии и импульса. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая может распространяться как гравитационная волна через область, не содержащую материи или негравитационных полей. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обращается в нуль, не содержат гравитационного излучения и также являются конформно плоскими.${\displaystyle T_{ab}}$

См. Также [ править ]

• Бел разложение в тензора Римана
• Конформная геометрия
• Классификация Петрова
• Тензор Плебанского
• Исчисление Риччи
• Тензор Схоутена
• Бесследный тензор Риччи

Ссылки [ править ]

• Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xii + 510, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Шарп, Р. У. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9. В разделе 6.1 обсуждается декомпозиция. Варианты декомпозиции также входят в обсуждение конформной и проективной геометрий в главах 7 и 8.
• Певица, ИМ ; Торп, JA (1969), "Кривизна 4-мерных пространств Эйнштейна", Глобальный анализ (статьи в честь К. Кодаира) , Univ. Tokyo Press, стр. 355–365 CS1 maint: discouraged parameter (link).